Diapositive 1

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(No Transcript)
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Le nombre total des élèves est 160
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(No Transcript)
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Prendre comme amplitude de base A 1
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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1-5-2-h  Graphique en radar.
Montre lévolution ou la fréquence des séries de
données entre elles et par rapport à un point
central. Chaque catégorie possède son propre axe
des valeurs (Y) qui rayonne à partir du point
central. Des courbes relient toutes les marques
de données appartenant à la même série. Ce type
de graphique est couramment utilisé dans les pays
dExtrême-Orient.
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1-5-3  Polygone statistique. Polygones
cumulatifs variable continue
Considérons la distribution statistique portant
sur lâge des ouvriers dune entreprise, et dont
lequel les classes dâge ont toutes la même
amplitude.
Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants
20, 25 25, 30 30, 35 35, 40 40, 45 45, 50 50, 55 55, 60 Total 9 27 36 45 18 9 3 3 150 9 36 72 117 135 144 147 150 150 141 114 78 33 15 6 3
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Les rectangles construits ont tous même base
leurs hauteurs sont proportionnelles aux
effectifs quelles veulent représenter nous
pouvons en conclure que leffectif correspondant
à une classe est traduit par la surface du
rectangle construit en prenant cette classe comme
base.
Supposons que le tableau qui a servi à construire
lhistogramme ait été tel que les effectifs des
deux dernières classes aient été regroupés et
que, par exemple, la fin du tableau se soit
présentée de la façon suivante.
Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants
. . 45, 50 50, 60 Total . . 9 6 150 . . 144 150 . . 15 6
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Il serait inexact, les classes données nayant
pas toutes même amplitude (la dernière classe a
une amplitude double de celle des autres), de
représenter lhistogramme comme il a été dit plus
haut. On obtiendrait en effet lhistogramme
suivant.
Cet histogramme est faux, car il représente une
série statistique qui correspondrait aux
effectifs suivants (pour les dernières classes)
Age en années Effectifs ni
45, 50 50, 55 55, 60 9 6 6
Effectifs qui ne sont pas ceux quil fallait
représenter.
Il est facile de voir que lamplitude de la
classe 50, 60 étant double de lamplitude de
chacune des autres classes, il fallait
représenter, sur le segment 50-60, un rectangle
de hauteur moitié de leffectif donné,
cest-à-dire un rectangle de hauteur 6/2 3. On
aurait ainsi obtenu lhistogramme exact, obtenu
précédemment.
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Dune façon générale, si une classe est
damplitude k fois plus grande (ou plus petite)
que lamplitude prise pour unité, il sera bon,
avant la présentation de lhistogramme
correspondant, de diviser (ou de multiplier) par
k leffectif correspondant à la classe en
question, leffectif corrigé obtenu donnant la
hauteur du rectangle à présenter. Cette remarque
met laccent sur le fait que, en matière de
représentation à laide dun histogramme, cest
laire des rectangles, et non leur hauteur, qui
est proportionnelle à leffectif.
Polygone statistique.
En joignant par des segments de droite les points
milieux des côtés supérieurs des rectangles
constituant lhistogramme (ces points ont pour
abscisses les valeurs centrales des classes) on
obtient le polygone statistique qui donne
lallure générale de la distribution du caractère
étudié.
On complète ce polygone en le faisant commencer
au point de coordonnées (x17.5 y 0) et finir
au point (x62.5 y 0). Laire du polygone est
égale à laire de lhistogramme (vrai uniquement
si toutes les classes sont de même amplitude).
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Polygones cumulatifs.
Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants
20, 25 25, 30 30, 35 35, 40 40, 45 45, 50 50, 55 55, 60 Total 9 27 36 45 18 9 3 3 150 9 36 72 117 135 144 147 150
A partir du même exemple construisons dans un
repère cartésien orthogonal les points dont les
abscisses sont égales aux bornes supérieures des
classes, (sauf pour le premier point) et dont les
ordonnées sont les effectifs cumulés croissants
correspondants.
En joignant ces points par des segments de
droites nous obtenons le polygone cumulatif
croissant ou polygone des effectifs cumulés
croissants de la série donné.
Sur la représentation graphique, on peut lire
aisément que, par exemple, 72 ouvriers (ou 48 de
leffectif total de la population étudié) ont
moins de 35 ans.
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Construisons également dans un repère cartésien
orthogonal les points dont les abscisses sont
égales aux bornes inférieures des classes, (sauf
pour le dernier point) et dont les ordonnées sont
les effectifs cumulés décroissants
correspondants. En joignant ces points par des
segments de droites nous obtenons le polygone
cumulatif décroissant de la série donnée. Sur
cette représentation on lit aisément, par
exemple, que 114 ouvriers (ou 76 de leffectif
total de la population) ont un âge supérieur à 30
ans. On construirait de la même façon les
polygones cumulatifs des fréquences. Il serait
facile de voir que les deux polygones cumulatifs,
représentés sur un même système daxes, sont
symétriques par rapport à laxe parallèle à laxe
des abscisses et dordonnée 150/2 75 (en
effectif cumulés) ou 100/2 50 (en fréquence
cumulés).
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Remarque
Dans le cas dune variable statistique discrète,
on ne peut pas tracer de polygone cumulatif
puisque la variable passe de lune de ses valeurs
à la suivante de façon discontinue, et on non
progressivement comme dans le cas dune variable
continue. Utilisant lexemple suivant
statistique du personnel dune entreprise daprès
le nombre denfants à charge.
Nb denfants à charge Effectifs ni Effectifs cumulés croissants
0 1 2 3 4 5 6 Total 5 17 31 20 11 4 1 89 5 22 53 73 84 88 89
La représentation graphique obtenue est celle
dune fonction en escalier, appelée fonction
de répartition des effectifs, cest la
fonction E x ---- E(x), E(x) étant la somme
des effectifs des xi tels que xi lt x. Sur la
représentation on lit, par exemple, que E(2)
22, ce qui signifie que 22 ouvriers ont moins de
2 enfants à charge.
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1-5-3-  Représentation des séries chronologiques.
Nous nous proposons maintenant de représenter
graphiquement non plus la structure dune
population, mais lévolution dans le temps dune
variable statistique. Celle-ci pourra être le
chiffre daffaire, le montant des frais fixes
etc. Il faudra pour cela choisir un type de
coordonnées et une échelle adéquate.
1-5-3- a Les coordonnées cartésiennes et
logarithmiques.
Cest le type le plus courant de coordonnées que
lon utilise dans la plus part des cas. Le temps
est représenté sur laxe des abscisses, la
variable étudié sur laxe des ordonnées. Deux
types déchelle sont utilisées couramment
léchelle arithmétique et léchelle
logarithmique. Dans le cas de léchelle
arithmétique, les graduations sont établies
suivant la succession logique des nombres entiers.
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Limportance du rapport entre léchelle des temps
et léchelle du chiffre daffaires dans notre
exemple, détermine linterprétation plus ou moins
objectif qui peut être faite du phénomène
correspondant. Les mêmes chiffres peuvent être
représentés comme suit
Les conclusions peuvent parfois être fortement
affectées par le choix de léchelle
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Dans le cas de léchelle de type arithmétique, on
représente par une longueur égale (unité sur les
axes) une variation absolue identique. La
différence entre 150 et 300 sera représentée par
la même longueur que celle entre 4200 et 4350,
puisque sa valeur est toujours de 150. Dans bien
des cas, il est plus intéressant de sattacher à
la variation relative par exemple, on cherchera
à connaître le taux de sa variation du chiffre
daffaires plutôt que de se fixer à sa variation
en valeur absolue. On représentera la variable à
laide de coordonnées logarithmique. Le graphique
semi-logarithmique est un excellent moyen de
mettre en évidence une idée ou un résultat grâce
aux propriétés des logarithmes décimaux.
Rappels sur le logarithme décimal Le
logarithme décimal d'un nombre est la puissance à
laquelle il faut élever 10 pour obtenir ce
nombre. Appliquons cette définition à quelques
nombres. Quel est, par exemple, le logarithme
décimal de  1 ? C'est la puissance à laquelle il
faut élever 10 pour obtenir 1 100 1 On écrira
donc log 1 0 Quel est le logarithme décimal
de 100 ? C'est la puissance à laquelle il faut
élever 10 pour obtenir 100 102 100, parce
qu'il faut élever 10 à la puissance 2 pour
obtenir 100. Donc 2 est le logarithme décimal de
100. On écrira par conséquent log 100 2
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Inversement, si l'on demande "De quel chiffre 3
est-il le logarithme décimal ?", on fera le
raisonnement inverse. Sachant que 103 1000, la
réponse est donc log 1000 3 Autrement dit,
3 est le logarithme décimal de 1000. Exemple 1
  L'échelle logarithmique permet de mieux voir
les différences de progression
On décide de comparer le nombre de contrats
conclus par deux vendeurs en 2004 et 2005
  2004 2005 Progression
Vendeur 1 300 log(300)2,48 600 log(600)2,78 multiplié par 2
Vendeur 2 100 log(100)2 400 log(400)2,6 multiplié par 4
Le tableau montre que le nombre de contrats
conclus par le vendeur 1 a été multiplié par deux
et que le nombre de contrats conclus par le
vendeur 2 a été multiplié par 4. Sur un graphique
ordinaire (à gauche ci-dessous), les deux
progressions sont parallèles. En revanche, sur un
graphique avec une ordonnée logarithmique, on
voit clairement que la progression du vendeur 2
est plus rapide que celle du vendeur 1.
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Exemple 2 L'échelle semi-logarithmique convient
mieux à la mise en évidence des variations
relatives en particulier les graphiques montrant
des évolutions à taux constant.
Lorsquon veut représenter des valeurs très
éloignées dans le temps, léchelle arithmétique
nest pas appropriée car on sintéresse souvent
au taux de variation et non pas à la valeur
absolue. Prenant lévolution de lindice des
actions américaines Dow-Jones depuis 1850.
lindice a passé de 17.48 en 1850 à 11497 en
1999. le fameux crash boursier de 1929 et des
débuts des années 30 napparaît sur ce graphique
que par une petite baisse de lindice. Or la
baisse a été très forte (environ 80 ). Il faut
prendre des valeurs relatives et non pas des
valeurs absolues. Dans le cas où on prend en
ordonnée le logarithme décimal de lindice on
obtient le graphique suivant
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Dans ce graphique le crash de 1929 est bien
visible et la baisse de ces dernières années peut
être comparée à celle des années trente.
Léchelle arithmétique et léchelle logarithmique
sont les suivantes
Echelle arithmétique
Echelle logarithmique
Dans une échelle arithmétique, des longueurs
égales représentent des variations égales tandis
que dans une échelle logarithmique des longueurs
égales représentent des rapports égaux.