Inteligencia Artificial

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Inteligencia Artificial

• 3.2 Lógica de Primer Orden

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Objetivo

• Presentar una lógica suficiente para construir
  agentes basados en el conocimiento.

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Introducción

• La lógica proposicional es uno de los lenguajes
  de representación más sencillos, que permite
  mostrar las cuestiones fundamentales.
• Sin embargo, su ontología es muy limitada, y
  abarca sólo aquellos mundos constituidos por
  hechos.
• La lógica de primer orden tiene alcances
  ontológicos más amplios. Considera el mundo
  constituido por objetos y propiedades que los
  distingan.

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Introducción

• Entre estos objetos hay varios tipos de
  relaciones, algunas de las cuales son las
  funciones.
• Ejemplos
• Objetos gente, casas, números, teorías, Ronald
  McDonald, colores, juegos de béisbol, guerras,
  siglos,
• Relaciones hermano de, mayor que, dentro de,
  parte de, de color, sucedió luego de, es el dueño
  de,
• Propiedades rojo, redondo, de varios pisos,
  falso, lo mejor,
• Funciones padre de, mejor amigo de, tercer
  tiempo de, uno más que,

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Introducción

• Uno más dos es igual a tres
• Objetos uno, dos, tres, uno más dos.
• Relación es igual a
• Función más
• Los cuadros cercanos al wumpus apestan
• Objetos cuadros, wumpus
• Propiedad apestosos
• Relación cercanía
• El malvado rey Juan gobernó Inglaterra en 1200
• Objetos Juan, Inglaterra, 1200
• Relación gobernó
• Propiedades malvado, rey

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Sintaxis y semántica

• En la lógica proposicional, cada expresión es una
  oración, que representa un hecho. En la lógica de
  primer orden hay oraciones, pero también términos
  que representan objetos.
• Los signos que representan constantes, las
  variables y los signos de funciones sirven todos
  para construir términos los cuantificadores y
  los signos de predicados sirven para construir
  oraciones.

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Sintaxis y semántica

• Elementos
• Signos de constantes A, B, C, Juan
• Signos de predicado Redondo, Hermano
• Ejemplo, Hermano hace referencia al conjunto de
  tuplas ltRey Juan, Ricardo Corazón de Leóngt
  ltRicardo Corazón de León, rey Juangt
• Signos de funciones Coseno, PadreDe,
  PiernaIzquierdaDe
• Son relaciones de en las que un objeto está
  relacionado justamente con otro objeto.

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Sintaxis y semántica

• Términos
• Un término es una expresión lógica que se refiere
  un objeto. Los signos de constante son términos.
• A veces es más práctico utilizar una expresión
  para referirse a un objeto, por ejemplo, en vez
  de LaPiernaIzquierdaDeJuan es más práctico usar
  PiernaIzquierdaDe(Juan)

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Sintaxis y semántica

• Oraciones atómicas
• Los términos y signos de predicado se combinan
  para formar oraciones atómicas, mediante las que
  se afirman hechos.
• Una oración atómica está formada por un signo de
  predicado y por una lista de términos entre
  paréntesis, ejemplo
• Hermano (Ricardo, Juan)
• Casado (PadreDe (Ricardo), MadreDe (Juan))
• Se dice que una oración atómica es verdadera si
  la relación a la que alude el signo de predicado
  es válida para los objetos a los que aluden los
  argumentos.

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Sintaxis y semántica

• Oraciones complejas
• Mediante los conectores lógicos se pueden
  construir oraciones más complicadas, como en
  cálculo proposicional, ejemplo
• Hermano (Ricardo, Juan) ? Hermano (Juan, Ricardo)
• Mayor (Juan, 30) ? Menor (Juan, 30)
• Mayor (Juan, 30) ? ?Menor (Juan, 30)
• ?Hermano (Robin, Juan)

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Sintaxis y semántica

• Cuantificadores
• Los cuantificadores permiten expresar propiedades
  de grupos completos de objetos en vez de
  enumerarlos por sus nombres.
• La lógica de primer orden contiene dos
  cuantificadores estándar, denominados universales
  y existenciales.

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Sintaxis y semántica

• Cuantificación universal (?)
• Facilita la expresión de reglas generales,
  ejemplo en vez de decir Mancha es un gato y
  Mancha es un mamífero se usa
• ?x Gato (x) ? Mamífero (x)
• Lo cual equivale a
• Gato (Mancha) ? Mamífero (Mancha) ? Gato (Rebeca)
  ? Mamífero (Rebeca) ? Gato (Félix) ? Mamífero
  (Félix) ? Gato (Juan) ? Mamífero (Juan) ?

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Sintaxis y semántica

• Cuantificación universal (?)
• Por lo tanto la primera expresión será valida si
  y sólo si todas estas últimas son también
  verdaderas, es decir, si P es verdadera para
  todos los objetos x del universo. Por lo tanto, a
  ? se le conoce como cuantificador universal.
• Cuando un término no tiene variables se le conoce
  como término de base.

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Sintaxis y semántica

• Cuantificación existencial (?)
• Con ella podemos hacer afirmaciones sobre
  cualquier objeto del universo sin tener que
  nombrarlo, ejemplo, si queremos decir que Mancha
  tiene un hermano que es un gato
• ?x Hermano (x, Mancha) ? Gato (x)
• En general, ?x P es verdadero si P es verdadero
  para cierto objeto del universo.

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Sintaxis y semántica

• Cuantificación existencial (?)
• ?x Hermano (x, Mancha) ? Gato (x) equivale a las
  oraciones
• (Hermano (Mancha, Mancha) ? Gato (Mancha)) ?
  (Hermano (Rebeca, Mancha) ? Gato (Rebeca)) ?
  (Hermano (Félix, Mancha) ? Gato (Félix)) ?
  (Hermano (Ricardo, Mancha) ? Gato (Ricardo)) ?
• Así como ? es el conector natural para ?, ? es el
  conector natural para ?.

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Sintaxis y semántica

• Cuantificadores anidados
• Para toda x y toda y, si x es el padre de y,
  entonces y es el hijo de x
• ?x,y Padre (x,y) ? Hijo (y,x)
• Para toda x y toda y, si x es hermano de y,
  entonces y es hermano de x
• ?x,y Hermano (x,y) ? Hermano (y,x)
• Todas las personas aman a alguien
• ?x ?y Aman (x,y)
• Siempre hay alguien a quien todos aman
• ?y ?x Aman (x,y)

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Sintaxis y semántica

• Una oración como ?x P (y), en la que y carece de
  cuantificador, es incorrecta.
• El término fórmula bien configurada o fbc se
  emplea para calificar oraciones en las que todas
  sus variables se han introducido adecuadamente.

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Sintaxis y semántica

• Relaciones entre ? y ?
• Ambos cuantificadores están estrechamente
  relacionados entre sí mediante la negación.
• A todos les desagradan las espinacas ? No hay
  alguien a quien le gusten las espinacas
• ?x ?LeGustan(x, espinacas) ?? ??x LeGustan (x,
  espinacas)
• A todos les gusta el helado ? No hay alguien a
  quien no le guste el helado
• ?x LeGusta(x, helado) ?? ??x ?LeGusta (x, helado)

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Sintaxis y semántica

• Relaciones entre ? y ?
• Puesto que ? es una conjunción de objetos del
  universo y ? es su disyunción, es natural que
  obedezcan las leyes de De Morgan

?x ?P ? ??x P ??x P ? ?x ?P ?x P ? ??x ?P ?x P ? ??x ?P ?P ? ?Q ? ?(P ? Q) ?(P ? Q) ? ?P ? ?Q P ?Q ? ? (?P ? ?Q) P ?Q ? ? (?P ? ?Q)
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Sintaxis y semántica

• Igualdad
• Para formular aseveraciones en las que los dos
  términos se refieren a un mismo objeto se utiliza
  el símbolo de igualdad
• Padre(Juan) Enrique
• El signo de igualdad sirve para describir las
  propiedades de una función determinada o se puede
  emplear en la negación para insistir en que dos
  términos no son el mismo objeto
• ?x,y Hermano(Mancha, x) ? Hermano(Mancha, y) ?
  ?(xy)

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Extensiones en la Notación

• Lógica de orden superior
• El nombre lógica de primer orden se basa en el
  hecho de que con ella se cuantifican objetos (las
  entidades de primer orden que en realidad existen
  en el mundo), aunque no permiten cuantificar las
  relaciones o funciones que existen entre dichos
  objetos.
• Mediante la lógica de orden superior es posible
  cuantificar relaciones y funciones al igual que
  objetos.
• ?x,y (xy) ? (?p p(x) ? p(y))
• ?f,g (fg) ? (?x f(x) ? g(x))

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Extensiones en la Notación

• Expresiones funcionales y de predicado usando el
  operador ?.
• El operador ? se usa para convertir términos en
  funciones, especificando sus argumentos
• ?x,y x2 - y2
• Esta expresión se aplica a los argumentos para
  producir un término lógico de la misma manera que
  lo haría una función común
• (?x,y x2 - y2) (25,24) 252 242 49

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Extensiones en la Notación

• El cuantificador de unicidad ?!
• Se utiliza para afirmar la existencia de un
  objeto específico que satisface determinado
  predicado.
• Existe un solo rey
• ?! Rey(x)
• Todo país tiene exactamente un gobernante
• ? c País(c) ? ?! r Gobernante(r, c)

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Extensiones en la Notación

• El operador de unicidad ?
• Se utiliza para representar directamente el
  objeto específico, ejemplo
• El único gobernante de Libertania está muerto
• Muerto (? r Gobernante(r, Libertania))
• Que es una abreviatura de
• ?! r Gobernante (r, Libertania) ? Muerto (r)

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Uso de una lógica de primer orden

• En la representación del conocimiento, un dominio
  es un fragmento del mundo acerca del que deseamos
  expresar un determinado conocimiento.

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Uso de una lógica de primer orden

• El dominio del parentesco
• En este dominio están presentes hechos tales como
  Isabel es la madre de Carlos y Carlos s el
  padre de Guillermo y reglas como Si x es la
  madre de y y y es padre de z, entonces x es la
  abuela de z
• Los objetos de este dominio son personas. Entre
  las propiedades que poseen están el género y las
  relaciones que guardan entre sí son las de
  padres, hermanos, esposos, etc. Por lo tanto, hay
  dos predicados unarios Hombre y Mujer. La
  mayoría de las relaciones de parentesco serán
  predicados binarios Progenitor, Hijo, Hermano,
  Hermana, Progenie, Hijo, Hija, Esposo, Esposa,
  Cónyuge, Abuelo, Nieto, Primo, Tía, Tío.
• Para Madre y Padre se usarán funciones, puesto
  que todo mundo cuenta con ellos desde un punto de
  vista biológico.

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Uso de una lógica de primer orden

• El dominio del parentesco
• La madre de alguien es su progenitor femenino
• ?m,c Madre(m,c) ? Mujer(m) ? Progenitor(m,c)
• El esposo de alguien es su cónyuge masculino
• ?w,h Esposo(h,w) ? Hombre(h) ? Cónyuge(h,w)
• Masculino y femenino son categorías disyuntas
• ?x Hombre(x) ? ?Mujer(x)

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Uso de una lógica de primer orden

• El dominio del parentesco
• Progenitor y progenie son relaciones inversas
• ?p,c Progenitor(p,c) ? Progenie(c,p)
• Un(a) abuelo(a) es progenitor del progenitor de
  alguien
• ?g,c Abuelo_a(g,c) ? ?p Progenitor(g,p) ?
  Progenitor(p,c)
• Un hermano es otro de los hijos de los
  progenitores de alguien
• ?x,y Hermanos(x,y) ? x?? y ? ?p Progenitor(p,x) ?
  Progenitor(p,y)

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Uso de una lógica de primer orden

• Axiomas, definiciones y teoremas
• Los matemáticos crean axiomas para capturar los
  hechos básicos acerca de un dominio, para definir
  otros conceptos en función de tales hechos
  básicos y para utilizar los axiomas y las
  definiciones para demostrar teoremas.
• Cómo saber si se han postulado una cantidad
  suficiente de axiomas de tal manera que un
  dominio quede completamente especificado?
  Postulando un conjunto de predicados básicos en
  función de los cuales se pueden definir los
  demás.
• Y si tenemos demasiadas oraciones? Revisar
  cuáles oraciones no son necesarias y se pueden
  inferir con otras oraciones.

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Uso de una lógica de primer orden

• Axiomas, definiciones y teoremas
• Sin embargo, hay axiomas independientes, que son
  aquellos que no se pueden obtener a partir de
  otros axiomas.
• Un axioma como ?x,y P(x,y) ? se conoce como
  definición de P, porque sirve para definir
  exactamente para qué objetos P se cumple y para
  cuáles no.

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Uso de una lógica de primer orden

• El dominio de los conjuntos
• En este dominio, ConjuntoVacío es una constante,
  Miembro y Subconjunto son predicados
  Intersección, Unión y Adyunción o Incorporación
  son funciones. Conjunto es un predicado
  únicamente válido en los conjuntos.
• Los ocho axiomas siguientes estipulan que
• Los únicos conjuntos son el conjunto vacío y
  aquellos que resultan de incorporar algo a un
  conjunto
• ?s Conjunto(s) ? (s ConjuntoVacio) ? (?x,s2
  Conjunto(s2) ? sAdyunto(x, s2))

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Uso de una lógica de primer orden

• El conjunto vacío es aquel que no tiene
  incorporado ningún elemento.
• ??x,s Adyunto(x, s) ConjuntoVacío
• La adyunción de un elemento que ya esté en el
  conjunto no produce efecto alguno.
• ?x,s Miembro(x,s) ? s Adyunto(x,s)
• Los únicos miembros de un conjunto son los
  elementos que ya fueron incorporados a dicho
  conjunto.
• ?x,s Miembro(x) ? ?y,s2 (sAdjunto(y, s2) ? (xy
  ? Miembro(x,s2)))

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Uso de una lógica de primer orden

• Un conjunto es subconjunto de otro si y sólo si
  todos los miembros del primer conjunto son
  miembros del segundo conjunto.
• ?s1,s2 Subconjunto(s1,s2) ? (?x Miembro(x, s1) ?
  Miembro(x, s2)))
• Dos conjuntos son iguales si y sólo si cada uno
  de ellos es subconjunto del otro.
• ?s1,s2 (s1 s2) ? (Subconjunto(s1,s2) ?
  Miembro(s2, s1)))

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Uso de una lógica de primer orden

• Un objeto es miembro de la intersección de dos
  conjuntos si y sólo si es también miembro de cada
  uno de los conjuntos.
• ?x,s1,s2 Miembro (x, Intersección(s1,s2)) ?
  Miembro (x,s1) ? Miembro (x,s2)
• Un objeto es miembro de la unión de dos conjuntos
  si y sólo si es también miembro de uno de los dos
  conjuntos
• ?x,s1,s2 Miembro (x, Unión(s1,s2)) ? Miembro
  (x,s1) ? Miembro (x,s2)

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Uso de una lógica de primer orden

• Notaciones especiales para conjuntos, listas y
  aritmética

? Conjunto vacío x Adjunto(x, Conjunto vacío) x,y Adjunto(x, Adjunto(y, Conjunto vacío) x,ys Adjunto (x, Adjunto(y,s)) r ? s Unión(r,s) r ? s Intersección (r,s) x? s Miembro(x,s) r ? s Subconjunto(r,s) Nada x Cons(x, Nada) x,y Cons(x, Cons(y, Nada)) x,yl Cons(x, Cons(y, l))
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Uso de una lógica de primer orden

• Cómo formular preguntas y obtener respuestas
• Para añadirle oraciones a la base de
  conocimientos BC, diríamos
• Decir(BC, (?m,c Madre(m,c) ? Mujer(m) ?
  Progenitor(m,c)))
• Decir(BC, (Mujer(Maxi) ? Progenitor(Maxi,Mancha)
  ? Progenitor(Mancha,Botas)))
• Y luego podríamos preguntar
• Preguntar(BC, Abuelo_a(Maxi, Botas))

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Uso de una lógica de primer orden

• Cómo formular preguntas y obtener respuestas
• Las oraciones añadidas al utilizar DECIR se
  llaman aseveraciones.
• A las preguntas formuladas mediante PREGUNTAR se
  les conoce como consultas u objetivos.
• También se pueden hacer preguntas básicamente
  cuantificadas como
• Preguntar(BC,?x Hijo(x,Mancha))
• Las preguntas del tipo Existe una x tal que?
  se resuelve proporcionando esa x, mediante una
  sustitución o lista de enlace.

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Agentes lógicos para el mundo de wumpus

• Se consideran tres arquitecturas
• Agentes reflejos
• Agentes basados en modelos
• Agentes basados en metas
• Lo primero que se debe hacer es definir la
  interfaz entre el agente y el ambiente.
• Percepción(Hedor, Brisa, Resplandor, Nada,5)
• La acción del agente debe ser una de las
  siguientes
• Vuelta(Derecha), Vuelta(Izquierda), Adelante,
  Disparar, Tomar, Soltar, Saltar

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Agentes lógicos para el mundo de wumpus

• Para decidir cuál es la mejor, la función
  HACER-CONSULTA-SOBRE-ACCION crea una consulta tal
  como
• ?a Acción(a,5)

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Un agente reflejo simple

• El más sencillo de los agentes funciona mediante
  reglas que conectan directamente percepciones y
  acciones. Tales reglas se parecen a los reflejos
  o a los instintos, ejemplo
• ?s,b,u,c,t Percepción(s,b,Resplandor,u,c,t) ?
  Acción(Tomar,t)
• La relación entre percepción y acción puede estar
  regulada por reglas de percepción, mediante las
  cuales se elabora una abstracción de la entrada
  perceptual inmediata y se le convierte en formas
  más útiles.
• ?b,g,u,c,t Percepción(Hedor,b,g,u,c,t) ?
  Hedor(t)
• ?s,g,u,c,t Percepción(s,Brisa,g,u,c,t) ?
  Brisa(t)
• ?s,b,u,c,t Percepción(s,b,Resplandor,u,c,t) ?
  EnOro(t)

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Un agente reflejo simple

• De esta forma, se puede establecer una conexión
  entre los predicados anteriores y las posibles
  acciones
• ?t , EnOro(t) ? Acción(Tomar, t)

42
Un agente reflejo simple

• Limitaciones de los agentes reflejos simples
• El mundo del wumpus es difícil para los simples
  agentes reflejos.
• La acción Saltar permite ver el porqué. Un agente
  reflejo puro no sabe con seguridad cuándo saltar,
  puesto que ni tener el oro ni estar en el cuadro
  inicial son parte de su percepción.
• También son incapaces de evitar los ciclos
  infinitos.

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Cómo representar los cambios en el mundo

• Cualquier sistema que tome sus decisiones
  basándose en percepciones anteriores puede ser
  reelaborado para que en vez de tales percepciones
  utilice un conjunto de oraciones que se refieran
  al estado actual del mundo.
• Las reglas que describen la manera como cambia (o
  no cambia) el mundo se conocen como reglas
  diacrónicas, del griego a través del tiempo.

44
Cómo representar los cambios en el mundo

• Una manera de manejar el cambio es sustituir
  oraciones en la BC. La inconveniencia es que
  pierde todo conocimiento acerca del pasado.
• Otra es que el agente pueda explorar estados del
  pasado y posibles estados del futuro, donde cada
  uno se representa mediante una BC diferente
• En principio, representar situaciones y acciones
  no es distinto que representar objetos más
  concretos como los gatos y los reyes, o
  relaciones concretas como el hermanazgo.

45
Cómo representar los cambios en el mundo

• Cálculo de situaciones
• Es el nombre dado para una manera particular de
  describir el cambio en la lógica de primer orden.
• Concibe al mundo como una secuencia de
  situaciones, cada una de las cuales es como una
  instantánea del estado del mundo.
• Las situaciones se generan mediante acciones
  desde situaciones anteriores.

46
Cómo representar los cambios en el mundo

• Cálculo de situaciones
• Para hacer esto, se proporciona al predicado
  correspondiente un argumento de situación
  adicional. Por ejemplo, en vez de usar En(Agente,
  ubicación), tendríamos
• En(Agente, 1,1,S0 ? Agente, 1,2,S1)

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Cómo representar los cambios en el mundo

• Cálculo de situaciones
• Para representar cómo cambia el mundo de una
  situación a otra se emplea la función resultado
• Resultado (HaciaAdelante,S0) S1
• Resultado (DarVuelta(ALaDerecha, S1) S2
• Resultado (HaciaAdelante,S2) S3

48
Cómo representar los cambios en el mundo

• Cálculo de situaciones
• También se cuenta con
• Axiomas de efecto, para definir el efecto que
  produce el realizar alguna acción.
• Axiomas de cuadro, para describir cómo el mundo
  permanece igual
• Axiomas de estado sucesor, para definir cuando un
  predicado es válido después de una acción siempre
  y cuando sea verdadero o lo siga siendo, y falso
  en cualquier otro caso.

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Hacia un agente basado en metas

• Una vez encontrado el oro, las políticas deben
  modificarse radicalmente. El objetivo ahora es
  regresar al cuadro de partida a la brevedad
  posible. Lo que ahora desearíamos es inferir que
  el agente tiene como meta encontrarse en la
  ubicación 1,1.

50
Hacia un agente basado en metas

• Lo anterior se puede lograr de tres maneras por
  lo menos
• Inferencia
• Búsqueda
• Planificación