MIC7340

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MIC7340 Chapitre 12 Filtres
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Quatres types fondamentaux
Passe-bas
Passe-haut
Idéal Réalisable
fc
fc
Passe-bande
Coupe-bande
fc1
fc2
fc1
fc2

• Peuvent être réalisés par des moyens analogiques
  ou numériques
• Lanalyse de la réponse en fréquence se fait
  généralement avec la transformée de Fourier, la
  synthèse part de la transformée de Laplace

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Série de Fourier

• Permet de représenter tout signal périodique par
  une combinaison de signaux sinusoïdaux
• où

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Série et transformée de Fourier

• Légalité sin(??) j cos(??)e j? permet aussi
  décrire
• où
• Chaque terme se distingue par une amplitude ck et
  un angle de phase ?kk?0t
• Lorsque s(t) nest pas périodique ou T est
  infini, on utilise la transformée de Fourier
• où
• s(t) comprend un nombre infini de composant et
  F(?) est une fonction continue
• La transformée de Fourier est aussi applicable
  aux fonctions de durée finie ou périodiques F(?)
  est alors discontinu
• Dans tous les cas, les paires (ck,?k) ou F(?)
  décrivent le spectre de fréquences de s(t)

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Transformée de Laplace

• Définie par
• où et
• Peut être vue comme une extension de la
  transformée de Fourier où j? est remplacé par s?
  j?
• Lusage de s au lieu de j? permet de rendre
  compte aussi du comportement transitoire dun
  circuit
• ? permet détudier la réponse transitoire et j?
  la réponse permanente
• Utile pour déterminer la stabilité dun circuit
  pour différente conditions dopération
• On passe souvent de la transformée de Fourier à
  la transformée de Laplace en rempaçant j? par s
  dans lune ou lautre
• En pratique, la transformée de Fourier est plus
  facile dusage

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Propriété fondamentale

• Les relations
• s(t) ?F(?)
• s(t)?F(s)
• sont bi-univoques
• Pour chaque s(t), le F(?) ou F(s) correspondant
  est unique sil existe, et vice-versa
• Par conséquent limpact dun circuit sur un
  signal s(t) peut se faire de manière équivalente
  en faisant une analyse dans le temps ou dans lun
  des espaces j? ou s, dépendant de qui est le
  plus avantageux

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Fonction de transfert

• Définie par H(s)Y(s)/X(s) ou Y(s) et X(s) sont
  la sortie et lentrée du circuit étudié
• Joue un rôle similaire à celui la fonction de
  réponse en fréquence, mais dans le domaine de
  Laplace
• Dans tous les cas
• En pratique, on retrouve aussi souvent lune que
  lautre formulation

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Moyens de mise en oeuvre des filtres

• Filtres numériques implémentés par
  microprocesseur, microcontrôleurs, FPGA ou autre
  moyen numérique
• Le filtre calcule directement la fonction de
  réponse en fréquence en matériel ou logiciel

• Filtres analogiques la mise en œuvre est basée
  sur des composants analogiques qui réalisent la
  fonction de réponse en fréquence
• Les filtres passifs utilisent uniquement R, L et
  C et ont un gain inférieurs à 1.
• Les filtre analogiques actifs ajoutent des
  composants actifs (habituellement des
  amplificateurs operations) pour un gain
  arbitraire

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Filtre analogiques passifs
.

0 dB
R

-3 dB
Diagramme de Bode
C
VI
VO
_
_
?
1/RC
Filtre passe-bas de permier ordre
1
x
Diagramme linéaire
0.707
?
1/RC
0
Réponse en amplitude
10
Filtre analogiques passifs
0 dB
.

-3 dB
Bode
C

R
Vi
VO
_
1/RC
_
?
1/RC
1
Filtre passe-haut de premier ordre
.
x
0.707
Linéaire
?
0
1/RC
11
Filtre analogiques passifs

C
L

VO
R
Vi
_
_
Filtre passe-bande du second-ordre
12
Filtre analogiques passifs
Example

R

L
VO
Vi
_
C
_
Matlab num 1 0 300000 den 1 3100
300000 w 1 5 10000 Bode(num,den,w)
Filtre coupe-bande de second-ordre
Bode
Matlab
13
Filtre analogiques actifs
Filtre passe-bas du 1er ordre
Filtre passe-haut du 1er ordre
Filtre coupe-bande du 2nd ordre
Rappel Pour un ampli-op inverseur G-Zf/Zi
Filtre passe-bande du 2nd ordre
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Filtres numériques

• Deux types fondamentaux
• À réponse impulsionnelle de durée finie (RIF)
• À réponse impulsionnelle de durée infinie (RII)
• Analysés et conçus à laide de la transformée z
• Adaptation de la transformée de Laplace aux
  systèmes à temps échantillonnés avec le
  changement de variable z eTs
• Permet donc de
• Déterminer la réponse dun filtre numérique à un
  signal dentrée
• Étudier sa réponse en fréquence
• Étudier sa stabilité

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Transformée Z

• La transformée z dun signal à temps
  échantillonné quelconque xn est définie par
• où z esTe, s étant la variable de Laplace et
  Te la période déchantillonnage pour un signal
  causal k00.
• Il existe une relation biunivoque entre le signal
  et sa transformée z

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Fonctions de transfert numériques

• Si xn est lexcitation, hn la fonction de
  réponse du filtre á une impulsion et y n sa
  sortie, alors
• et H( ) est la fonction de transfert du
  système.
• Résultat similaire à ceux trouvés pour les
  transformée de Fourier et Laplace

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Diagrammes de placement des pôles-zéros et
réponse en fréquence
Ex. donne

• Leffet du numérateur et du dénominateur peut
  être représenté par des vecteurs qui partent de
  pôles ou zéros et se rejoignent en un point
  commun sur le cercle unité.
• Les rapports damplitudes et les angles des
  vecteurs définissent la réponse en fréquence.

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Comparaison entre RII et RIF
RIF RII
Stable par défaut Demande ngtgt 1 pour une bonne performance Peut demander un temps de calcul escessif La gamme dynamique se calcule facilement Réponse en phase linéaire si filtre causal Ne possède pas déquivalent analogique stable La stabilité dépend de la position des pôles de H(z) Peut donner une performance adéquate pour n1 ou 2 La gamme dynamique se calcule difficilement Peut nuire à la performance Réponse en phase non linéaire en général Effets de quantification et darrondi plus prononcés que pour RIF. Possède un équivalent analogique
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Propriétés dun filtre RIF

• Équation de/s

xn représente les valeurs successives du
signal dentrée, bk représente les coefficients
de la fonction de transfert du filtres, yn
représente les valeurs successives du signal de
sortie, N est le nombre de coefficients du
filtre (lordre).
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Réponse en fréquence dun filtre FIR

• La transformée z de

est

• La fonction de réponse en fréquence du filtre est
  obtenue en remplaçant z by ej?Te

• La similarité de H(?) avec une série de Fourier
  suggère une méthode pour trouver hn !

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Propriétés dun filtre RII

• Équation de/s

xn représente les valeurs successives du
signal dentrée, ak, bk représentent les
coefficients de la fonction de transfert du
filtres, yn représente les valeurs successives
du signal de sortie, N, M représentent les
ordres du numérateur et du dénominateur de H(Z)
(M est souvent appelé lordre du filtre).
22
Réponse en fréquence dun filtre RII

• La transformée z de

est

• La fonction de réponse en fréquence du filtre est
  obtenue en remplaçant z by ej?Te

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Propriétes de la réponse en fréquence numérique

• Puisque e-j2?k 1, on a
• La réponse en fréquence est périodique avec
  période 2?/Te dans le cercle de rayon unité. Si
  on normalise Te à 1, on a

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Conception dun filtre numérique

• Cinq étapes requises
• Spécification du filtre
• Calcul des coefficients.
• Choix dune architecture de mise en oeuvre.
• Simulation (option).
• Implémentation.
• Dans la suite, on discute les filtres RII

25
Étape 1 spécification du filtre
26
Étape 2 calcul des coefficients

• Il existe deux approches
• Placement direct des pôles et zeros dans la plan
  z
• Conversion dun filtre analogique
• Par transformation bilinéaire
• En utilisant le principe de linvariance de la
  réponse impulsionnelle
• Dans le cas de la transformation dun filtre
  analogique, on part souvent de léquation dun
  filtre passe bas normalisé que lon adapte au
  type désiré (passe haut, passe bande, etc.) avant
  la conversion.

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Méthode du placement des pôles et zéros

• Basée sur le principe que, dans le plan z
• Le placement dun zéros z1 minimise la
  fonction de réponse en fréquence du filtre à cet
  endroit.
• Le placement dun pôle z1 maximise la
  fonction de réponse en fréquence du filtre à cet
  endroit.
• Pour obtenir un filtre avec des coefficients
  réels (donc réalisable), il faut que les pôles et
  zéros soient à valeurs réelles ou quils
  apparaissent pas paires conjuguées.
• Méthode intuitive mais qui demande un réglage fin

28
Méthode du placement des pôles et zéros

• Exemple

29
Méthode du placement des pôles et zéros

• Conception et simulation dun filtre par
  placement de pôles et zéros
• pole1 0.50.5i création
  de deux paires de pôles conjugués
• pole2 0.8 0.25i
• pole3 conj(pole1) pole4 conj(pole2)
• poles pole1 pole2 pole3 pole4
• zero1 -0.5 0.8i création
  de deux paires de zéros conjugués
• zero2 -0.2 0.9i
• zero3 conj(zero1) zero4 conj(zero2)
• zeros zero1 zero2 zero3 zero4
• denzpoly(poles) conversion des pôles en
  dénominateur de H(z)
• numzpoly(zeros)
  numérateur de H(z) 1
• zplane(numz, denz) affichage
  des pôles et zéros
• figure(2) freqz(numz,denz,256) affichage de
  la réponse en fréquence
• t01127 test avec 128 valeurs dun sinus
  corrompu
• xsin(2pit/24)

30
Méthode du placement des pôles et zéros
31
Méthode du placement des pôles et zéros
Autre exemple en utilisant des coordonnées
polaires angl0.2 0.1 0.5pi/2
création de 4 paires conjuguées de
pôles poles0.85exp(jangl) polespoles
0.85exp(-jangl) denzpoly(poles)
conversion des pôles en dénominateur de
H(z) numz1
numérateur de H(z) 1 zplane(numz, denz)
affichage des pôles et
zéros figure(2) freqz(numz,denz,256)
affichage de la réponse en fréquence
t01127 test avec 128 valeurs dun
sinus bruité xsin(2pit/24) xxrand(1,128)-0.5
yfilter(numz,denz,x) figure(3)
plot(t,500x,'b',t,y,'k')axis(0 128 -1000
1000)axis('normal')
32
Méthode du placement des pôles et zéros
33
Conversion dun filtre analogique

• Méthode la plus  simple 
• Exploite le fait quil existe des méthodes
  établies de conception de filtres analogiques.
• Consiste à concevoir un filtre analogique et à le
  convertir en filtre numérique.
• Les deux méthodes les plus utilisés sont
• Linvariance de la réponse impulsionnelle
• La transformation bilinéaire

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Méthode de linvariance de la réponse
impulsionnelle

• Conception dun filtre par la méthode de
  linvariance de la réponse impulsionnelle
• num,denbutter(15,2pi,'s') Filtre Passe Bas
  de Butterworth dans le domaine s avec N15, fc1
  Hz
• a,p,K residue(num,den) Décomposition
  en fractions élémentaires par la méthode des
  résidus
• figure(1) plot(p,'xk') digramme des pôles
  maqués par des x noirs
• figure(2) freqs(num,den) réponse en fréquence
  analogique
• dans s donne
  dans t, ce qui donne dans z
  
• Te0.05
  fe20Hz (gt fc normalisé 1Hz/(fe/2) 0.1)
• pzexp(pTe) conversion
  des pôles dans s en des pôles dans z
• az-a.pz détermination des
  coefficients des fractions élémentaires
  correspondantes
• KKsum(a) Terme
  continu
• numz,denz residue(az,pz,K)
  détermination de H(z) à partir des fractions
  élementaires dans z
• figure(3) zplane(numz, denz) digramme des
  pôles et zéros dans le plan z
• figure(4) freqz(numz,denz) réponse en
  fréquence numérique

35
Méthode de linvariance de la réponse
impulsionnelle
fc??c/2?1 Hz
fc?(?c/2?)fe1 Hz
36
Méthode de la transformation bilinéaire

• Normalement
• On peut donc dériver H(z) de H(s) par la
  transformation
• Cette transformation donne des équations
  compliquées
• La transformation bilinéaire utilise
  lapproximation dune surface continue par un
  ensemble de surfaces trapézoïdales.

37
Méthode de la transformation bilinéaire

• Si , alors et
  jouent le même rôle
• dans les domaines s et z
• On peut donc dériver H(z) de H(s) par la
  transformation

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Étape 5 mise en oeuvre
/IIR.c IIR filter using cascaded Direct Form II.
y(n)S ax(n-k)-by(n-j)/ Void IIR_Isr(void)
short a1 0x0 // coefficients du
filtre short a2 0x15f6 short b0
0x257d short b1 0x4afd short b2
0x257d static short p10, p20 // variables
persistentes short xn, p0, y0 // variables
de/s int prod1, prod2, prod3, prod4, prod5 //
termes intermédiaires xn input_sample() pnx
n-((b0p1)gtgt15)-((b1p2)gtgt15) yn((a0pn)gtgt15)
((a1p1)gtgt15) ((a2p2)gtgt15) p2 p1 p1
p0 output_sample(y0) // Envoyer le signal
au port de sortie sériel

• gtgt15 non requis si calculs fait en virgule
  flottante
• Noter labsence de boucles for.

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Étape 5 mise en oeuvre

• Code c plus rapide

void IIR_Isr (void) short a1 0x0 //
coefficients du filtre short a2 0x15f6
short b0 0x257d short b1 0x4afd short
b2 0x257d static short p10, p20 //
variables persistentes short xn, p0, y0 //
variables de/s int prod1, prod2, prod3, prod4,
prod5 // termes intermédiaires xn
input_sample() prod1 _mpy(p2,a2) prod2
_mpy(p1,a1) p0 xn (short)((prod1
prod2)gtgt15) prod3 _mpy(p1,b1) prod4
_mpy(p2,b2) prod5 _mpy(p0,b0) y0
(short)((prod3prod4prod5)gtgt15) p2 p1 p1
p0 output_sample(y0) // Envoyer le signal
au port de sortie sériel
gtgt15 non requis si calculs fait en virgule
flottante
40
(No Transcript)