Fourier

1
Fourier
2
Transformation Car
Hjem
Bilverksted
3
Music - Digital
Analog
Digital
Ren tone
Reell tone Digitalisering
Tabell FourierTransform Sammensetn av rene toner
Integrasjon
Derivasjon
4
Transformation Computing
Rom 1
Rom 2
4 16 20
2 8 10
Transformasjon
5
Transformation Computing - Logarithm
Rom 1 y
Rom 2 x
8 32 256
3 5 8
Transformasjon
6
Transformation Theory
F(u) Tf(x)
Transformasjon
f(x)
F(u)
Room 1
Room 2
f(x) T-1(F(u))
7
Transformation Theory Integral Transformation
F() Tf()
f()
F()
Room 1
Room 2
f() T-1(F())
8
Transformation Theory Integral Transformation Wave
let - Laplace - Fourier
Wavelet
Laplace
f()
F()
Fourier
9
Transformation-theory
Transformasjon
f(x)
F(u)
Fourier
Laplace
Wavelet
10
Definition of The Continuous Wavelet Transform
CWT
The continuous-time wavelet transform (CWT) of
f(x) with respect to a wavelet ?(x)
L2(R)
11
Wavelets
Fjerner lav-frekv. W
Fjerner høy-frekv. W
Kreftsvulster
Bomring
Video-komprimering
12
The Norwegian RadiumhospitalMammography
13
Mexican Hat - 3 Dim
14
Image processing IIIWavelet-transformation
15
Compress 150
Original
JPEG
Wavelet
16
Ultrasound Image - Edge detectionSINTEF
Unimed Ultrasound - Trondheim
- Ultrasound Images- Egde Detection - Noise
Removal - Egde Sharpening - Edge Detection
17
ArthritisMeasure of bone
Morlet
External part
External part
E/I bone edge
E/I bone edge
18
Wavelet TransformMorlet Wavelet -
Non-visible Oscillation 1/2
19
ECG
20
Seismic trace
21
Laplace transformasjon
Diff./Integral.lign.
Ordinær ligning
Laplace transformasjon
22
Fourier Transformation
Fourier Transformasjon
f(x)
F(u)
23
Continuous Fourier TransformDef
The Fourier transform of a one-dimentional
function f(x)
The Inverse Fourier Transform
Fourier Transformasjon
f(x)
F(u)
24
Continuous Fourier TransformExample -
cos(2?ft)
25
Signals and Fourier TransformFrequency
Information
FT
FT
FT
26
Stationary / Non-stationary signals
Stationary
FT
Non stationary
FT
The stationary and the non-stationary signal both
have the same FT. FT is not suitable to take care
of non-stationary signals to give information
about time.
27
Transient SignalFrequency Information
Constant function in -3,3. Dominating frequency
? 0 and some freequency because of edges.
Transient signal resulting in extra frequencies gt
0.
Narrower transient signal resulting in extra
higher frequencies pushed away from origin.
28
Transient SignalNo Information about Position
Moving the transient part of the signal to a new
position does not result in any change in the
transformed signal. Conclusion The Fourier
transformation contains information of a
transient part of a signal, but only the
frequency not the position.
29
Signals and Fourier TransformFrequency
Information
FT
FT
FT
30
The Fourier Series Expansionan,bn coefficients
an bn
Fourier Transformasjon
f(x)
f(x)
F(u)
31
Pulse Train approximated by Fourier Serie
f(x) square wave (T2)
N1
N2
N10
32
Fourier SeriesZig tag
Zig tag approximated by Fourier Serie
N 1
N 2
N 5
N 10
33
Fourier SeriesNegative sinus function
Negative sinus function approximated by Fourier
Serie
N 1
N 2
N 5
N 10
34
Fourier SeriesTruncated sinus function
Truncated sinus function approximated by Fourier
Serie
N 1
N 2
N 5
N 10
35
Fourier SeriesLine
Line approximated by Fourier Serie
N 1
N 2
N 5
N 10
N 50
36
Fourier SeriesSimulation
37
The Two-Dimensional DFT and Its Inverse
Fourier Transformasjon
f(x)
F(u)
38
FourierSampling - Digitalisering
Analog
Digital
39
FourierSampling - Digitalisering
40
FourierSampling - Digitalisering
41
FourierSampling - Digitalisering
42
FourierAnvendelse
Svingninger
Bølger
Varmetransport
F(t) f(x) g(x) f(x)
Disse funksjonene kan være
kompliserte. Problemene kan løses vha
Fourier
43
FourierMotivasjon
Svingninger
F Ytre påtrykt kraft
k
m
44
FourierMotivasjon - Eks 1 - Eksakt
løsning
Svingninger
F 4t Ytre påtrykt kraft
k
m
45
FourierMotivasjon - Eks 1 - Tilnærmet
løsning vha Fourier
Svingninger
F 4t Ytre påtrykt kraft
k
m
Eksakt løsning
1
Løsning vha Fourier
46
FourierMotivasjon - Eks 2 - Tilnærmet
løsning vha Fourier
Svingninger
F Ytre påtrykt kraft
k
m
Odde funksjon med periode 2L
47
FourierMotivasjon - Eks 2 - Tilnærmet
løsning vha Fourier
Svingninger
F Ytre påtrykt kraft
k
m
F
10
Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2
1
2
t
-10
48
FourierMotivasjon - Eks 2 - Tilnærmet
løsning vha Fourier
Svingninger
F Ytre påtrykt kraft
k
m
Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2
1
2
Hvis det finnes et ikke-null ledd i
Fourier-rekken til F(t) med så vil dette leddet
forårsake resonans. Grunnen er at ligningen mx
kx Bnsin?0t har resonans-løsning
Løsning
49
FourierMotivasjon - Eks 3 - Tilnærmet
løsning vha Fourier
Svingninger
F 5t Ytre påtrykt kraft
k
m
Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L
4
2
50
FourierMotivasjon - Eks 4 - Tilnærmet
løsning vha Fourier
Svingninger
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping
k
m
Utvider F(t) til en odde funksjon med periode
2L og skriver F(t) som en Fourier-rekke
Løsningen finnes nå vha superposisjon
51
FourierMotivasjon - Eks 5 - Tilnærmet
løsning vha Fourier
Svingninger
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping
k
m
Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L
2? og skriver F(t) som en Fourier-rekke
Løsningen finnes nå vha superposisjon
52
Fourier Transformation
Fourier Transformasjon
f(x)
F(u)
53
Continuous Fourier TransformDef
The Fourier transform of a one-dimentional
function f(x)
The Inverse Fourier Transform
54
Fourier-rekkeDef
f(t) Stykkevis kontinuerlig funksjon med periode
2L
2L
55
Fourier-rekkeEks 1
1
2
4
6
2L 4
56
Fourier-rekkeEks 2
3
5
10
15
2L 10
57
Fourier-rekkeEks 3
2?
4?
6?
2L 2?
Alternativ form med c 0
58
Fourier-rekkeEven - OddDef
Even
Odd
Symmetrisk om y-aksen
Symmetrisk om origo
59
Fourier-rekkeEvenBevis
Even
Symmetrisk om y-aksen
60
Fourier-rekkeOddBevis
Odd
Symmetrisk om origo
61
Fourier-rekkeEven - OddUtvidelse - Def
f(t) definert for 0 lt t lt L
Even utvidelse med periode 2L
Odd utvidelse med periode 2L
62
Fourier-rekkeEven - OddPeriodisk - Eks
Periode 2L 10
Periode 2L 2?
63
Fourier-rekkeEven - OddUtvidelse - Eks
Utvid f(t) sint 0 lt t lt ? til en Fourier cos
serie
Utvid f(t) t 0 lt t lt 2 til en Fourier
sin serie
Utvid f(t) t 0 lt t lt 2 og en Fourier cos
serie
64
Fourier-rekkePulstog - Odd
1
2
4
6
2L 4
65
Diff.lign.Innledning - Benyttes til å
beskrive prosessendringer
Typer av diff.lign. ODE Ordinære Endringer
mht en enkelt variabel PDE Partielle Endring
er mht flere variabler
Newtons 2.lov Radioaktivitet Kvantefysikk SHM
Varmetransport Bølger Elektrisk krets
66
Diff.lign.Radioaktivitet
Antall atomer som desintegrerer er proporsjonal
med antall atomer som vi har i øyeblikket. N0 Ant
all atomer ved tiden t 0 N Antall atomer ved
tiden t
N
N0
N0/2
?
t
Halveringstid ? Tiden det tar før halvparten av
atomene er desintegrert.
67
Diff.lign.Separabel
Separabel Oppsplitting slik at venstre side er
en funksjon av kun y, høyre side er en funksjon
av kun x. For en 1.ordens ordinær diff.lign. vil
den generelle løsningen inneholde en vilkårlig
konstant.
68
Diff.lign.Integrerende faktor
69
Diff.lign.2.ordens diff.lign.
70
Diff.lign.Oversikt
Diff.lign.
Lineær
Ikke-lineær
u1 og u2 løsninger ? u Au1 Bu2 løsning Den
generelle løsning inneholder alle løsninger En
partikulær løsning er en spesiell løsning
En løsning som ikke kan genereres fra den
generelle løsningen kalles en singulær løsning
ODE
PDE
En generell løsning vil inneholde like
mange vilkårlige konstanter som graden av
diff.lign.
En generell løsning vil inneholde like
mange vilkårlige, uavhengige funksjoner som
graden av diff.lign.
71
Part.diff.lign.Eks 1 - Bølgeligning
Vis at
er en løsning av den part.diff.lign.
hvor
72
Part.diff.lign.Eks 2 - Varmeligning
Vis at
er en løsning av følgende initialverdiproblem
73
Part.diff.lign.Eks 3 - Varmeligning
Løsning av følgende initialverdiproblem
(1)
(2)
(3)
Mulige løsninger av (1)
Generelt må vi forvente en superposisjon av
uendelig mange ledd for å oppfylle
inertialverdi-problemet
Oppfyller (1) (2)
Oppfyller (1) (2) (3)
74
Part.diff.lign.Superposisjon av løsninger
1. u(x,t) 0 lt x lt L t gt 0 Kontinuerlig og
leddvis deriverbar 2. 3. u(x,t) 0 ? x ?
L t ? 0 Kontinuerlig u(x,t) Entydig
løsning av initialverdi-problemet
75
Part.diff.lign.Eks 4 - Løsningsmetoder
a) Løs ligningen
b) Finn en partikulær løsning som oppfyller
a)
b)
76
Part.diff.lign.Eks 5 - Separasjon av variable
Løs initialverdiproblemet
vha separasjon av variable
77
Part.diff.lign.SvingeligningGenerell løsning av
2.ordens diff.lign. m/konst. koeff.
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping
k
m
ax bx cx f(t) 0 lt t lt
L x(0) x(L) 0 1. Finn
den generelle løsning xc c1x1 c2x2 av den
assosierte homogene diff.lign. 2. Finn en
partikulær løsning xp av den inhomogene
lign. 3. Bestem konstantene c1 og c2 slik at x
xc xp tilfredsstiller randbetingelsene.
78
Part.diff.lign.Svingeligning - Diff.lign.
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping
k
m
Newtons 2.lov anvendt på klossen (horisontalt)
79
Part.diff.lign.Svingeligning - Fri, udempet
svingning c 0 F 0
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping
k
m
80
Part.diff.lign.Svingeligning - Fri, dempet
svingning F 0
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping
k
m
81
Part.diff.lign.Svingeligning - Tvungen
svingning
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping
k
m
Løsning av homogen ligning F 0
Partikulær løsning Steady state
82
Part.diff.lign.Bølgeligning - SHM
(x,y)
83
Part.diff.lign.Bølgeligning - Utledning 1
F2
F2y
(x,y)
F
F
F1y
F1
x ?x
x
84
Part.diff.lign.Bølgeligning - Utledning 2
T(x,t)
(x,y)
T(x0,t)
x0
x
?1 yx
T
Ty
yx
Tx
1
85
Heat
Partiell derivasjon Fourier
86
Part.diff.lign.Varmeligning - Innledning
Lengde L
Temperatur
Temperatur
T1
T2
Tverrsnitt A
Termisk konduktivitet K
Varmeledning (energioverføring (varme)) pr
tidsenhet H Proporsjonal med tverrsnitt
A Proporsjonal med temperaturdifferens T1
T2 Omvendt proporsjonal med lengden L
Fluks Varmeledning pr areal
87
Part.diff.lign.Varmeligning - Fluks / Varme
i x-retning
D
C
Masse ?m Tetthet ? Spesifikk
varmekapasitet c Temperatur u
z
G
H
?z
A(x,y,z)
B
y
?x
x
?y
F
E
Fluks
Varme
Netto varme inn i x-retning
88
Part.diff.lign.Varmeligning - Netto varme
inn
D
C
Masse ?m Tetthet ? Spesifikk
varmekapasitet c Temperatur u
z
G
H
?z
A(x,y,z)
B
y
?x
x
?y
F
E
Netto varme inn i x-retning
Netto varme inn
89
Part.diff.lign.Varmeligning - Formel
D
C
Masse ?m Tetthet ? Spesifikk
varmekapasitet c Temperatur u
z
G
H
?z
A(x,y,z)
B
y
?x
x
?y
F
E
Kalorimetri
Netto varme inn
Diffusivitet
90
Part.diff.lign.Varmeligning - Alternativ
utledning
Masse ?m Tetthet ? Spesifikk
varmekapasitet c Temperatur u
z
D
y
x
Kalorimetri
Energi
Energi-endring Varme
Varme-fluks over randen
Divergens-teoremet
91
Diff.lign. - FourierAnvendelse
Svingninger
Varmeledning
Bølger
F(t) f(x) f(x)
g(x) Disse funksjonene kan være
kompliserte. Problemene kan løses vha
Fourier
92
Diff.lign.Spesielle løsninger
cosh
sinh
cos
sin
93
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen dempning
F Ytre påtrykt kraft
k
m
mx kx F(t) 0 lt t lt L
x(0) x(L) 0
Generell løsning x(t) x0 xp
Fourierutvikling av F
Fourierutvikling av x
Fouriersinusutvikling ivaretar tilleggsbetingelsen
e x(0)x(L)0
94
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen
dempningEks 01 - Eksakt løsning
F Ytre påtrykt kraft
k
m
x 4x 4t 0 lt t lt 1
x(0) x(1) 0
Løsning av homogen ligning
Generell løsning
Partikulær løsning
95
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen
dempningEks 01 - Løsning vha Fourier
F Ytre påtrykt kraft
k
m
x 4x 4t 0 lt t lt 1
x(0) x(1) 0
Fouriersinusutvikling av F(t) 4t
Fouriersinusutvikling av x(t)
Innsatt i diff.lign.
2L 2
Løsning
96
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen
dempningEks 01 - Oppsummering
F Ytre påtrykt kraft
k
m
x 4x 4t 0 lt t lt 1
x(0) x(1) 0
Eksakt løsning
Fourierløsning
97
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen
dempningEks 02 - Løsning vha Fourier
F Ytre påtrykt kraft
10
0lttlt1 Odde periodisk 2x 32x
F(t) F(t) med
periode 2
-10 1lttlt2
k
m
Fouriersinusutvikling av F(t)
Fouriersinusutvikling av x(t)
Innsatt i diff.lign.
Løsning
98
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen
dempningResonans
F Ytre påtrykt kraft
mx
kx F(t)
k
m
Diff.lign.
Det finnes et ledd nr N i Fourierrekken til F som
svarer til systemets egenfrekvens ?0
Diff.lign. når F har samme frekvens som systemets
egenfrekvens ?0
Løsning når F har samme frekvens som systemets
egenfrekvens ?0 x(t) ? ? pga faktoren t
Løsning når F har ett ledd med samme frekvens
som systemets egenfrekvens ?0
99
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen
dempningEks 03 - Resonans
F Ytre påtrykt kraft
2x 32x F(t) Odde periodisk
k
m
Ingen ren resonans
Ren resonans
100
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen
dempningEks 04 - Tilnærmet resonans
F Ytre påtrykt kraft
k
m
x 10x F(t) F(t) 5t -2lttlt2
med periode 2L 4
Fouriersinusutvikling av F(t)
Fouriersinusutvikling av x(t)
Innsatt i diff.lign.
Løsning
Stor amplitude
101
Part.diff.lign.Svingeligning - Dempning
F Ytre påtrykt kraft
k
m
mx cx kx F(t)
Hvis ytre påtrykt kraft er periodisk med kun en
frekvens, vil systemet etter hvert påtvinges
denne ytre påtrykte frekvensen.
102
Part.diff.lign.Svingeligning - DempningEks
05
F Ytre påtrykt kraft
k
m
3x 0.02x 27x F(t) F(t) ?t-t2
Odde periodisk 2?
Fouriersinusutvikling av F(t)
Superposisjon
Ledd nr 2 dominerer pga tilnærmet samme
frekvens som det udempede systemets egenfrekvens.
Systemets frekvens er 3 ganger frekvens til
ytre påtrykt kraft.
Løsning
103
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav -
Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 1
Lengde L
Bestem temperaturen u i staven som funksjon av
posisjonen x og tiden t
x L
x 0
104
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav -
Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 2
Lengde L
Bestem temperaturen u i staven som funksjon av
posisjonen x og tiden t
x L
x 0
105
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav -
Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 3
Egenverdi-problem med ikke-trivielle løsninger
cosh
sinh
cos
sin
106
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav -
Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 4
107
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav -
Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 5
Lengde L
Bestem temperaturen u i staven som funksjon av
posisjonen x og tiden t
x L
x 0
108
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav -
Eks 1 1/2
Lengde L
x L
x 0
En jernstav (k 0.15 cm2/s) med lengde 50
cm holdes i vanndamp inntil temperaturen i hele
staven er 100 0C. Ved tiden t 0 isoleres
overflaten og de to endepunktene omgis av is med
temperatur 0 0C. Bestem temperaturen i stavens
midtpunkt etter en halv time.
109
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav -
Eks 1 2/2
110
FourierHeat
111
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av
part.diff.lign. m/Fourier - 1
Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av
posisjonen x og tiden t
x L
x 0
Problem A
Problem B
112
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av
part.diff.lign. m/Fourier - 2Problem A
Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av
posisjonen x og tiden t
x L
x 0
113
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av
part.diff.lign. m/Fourier - 3Problem A
Egenverdi-problem med ikke-trivielle løsninger
cosh
sinh
cos
sin
114
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av
part.diff.lign. m/Fourier - 4Problem A
115
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av
part.diff.lign. m/Fourier - 5Problem A -
Eks
Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av
posisjonen x og tiden t
x L
x 0
x L/2
116
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av
part.diff.lign. m/Fourier - 6Problem B
117
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av
part.diff.lign. m/Fourier - 7Problem B -
Eks
Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av
posisjonen x og tiden t
x L
x 0
118
END