Riconoscimento di forme e Trasformata di Hough

1
Riconoscimento di forme e Trasformata di Hough

• Virginio Cantoni
• Laboratorio di Visione Artificiale
• http//vision.unipv.it/
• Università di Pavia
• Via A. Ferrata 1, 27100 Pavia
• virginio.cantoni_at_unipv.it

2
Riconoscimento di forme

• Il problema fondamentale nella visione
  artificiale è il riconoscimento di oggetti
• In generale è un problema difficile
• Gli oggetti subiscono traslazioni
• Gli oggetti variano per colore
• Gli oggetti subiscono rotazioni
• Gli oggetti subiscono cambiamenti
• di scala

3
Riconoscimento di forme

• Gli oggetti sono spesso occlusi
• Le acquisizioni sono rumorose

4
Definizione di forma

• Nella definizione di una forma occorre tenere
  conto del contesto in cui questa appare

5
Apoprocci per il RF
APPROCCIO RAPPRESENTAZIONE FUNZIONE DISCRIMINANTE
Matching diretto Segmento Correlazione
Teoretico decisionale Vettore di descrittori Massima verosimiglianza Minimo rischio, etc
Linguistico Grammatica Appartenenza al linguaggio
Hough Tabella Statistico - Ricerca dei punti di accumulazione
Ibrido Combinazioni dei precedenti Combinazioni dei precedenti
6
Trasformata di Hough

• Una delle soluzioni più efficaci per il
  riconoscimento è la trasformata di Hough (HT)
• La HT nella sua formulazione originaria (primi
  anni 60) permette di individuare forme descritte
  in forma analitica (prima è stata introdotta per
  le rette, poi per i cerchi, per le parabole,
  ecc.)
• La HT è parzialmente insensibile alle occlusioni
  (e al rumore)
• La HT trasforma il problema della ricerca di una
  curva (spesso) nella semplice ricerca di massimi

7
Trasformata di Hough

• In generale una curva piana è definita in forma
  analitica tramite un insieme (limitato se è
  semplice) di parametri.
• Una equazione lega i parametri alle coordinate
  cartesiane
• f((x,y), (a1,a2,...,an))0 (x,y) è un punto
  della curva
• (a1,a2,...,an) è una n-upla di valori che
  individuano un punto nello spazio dei parametri
• Un punto nello spazio dei parametri individua in
  modo univoco una curva analitica

8
HT proprietà

• In generale ad ogni punto P nello spazio
  immagine (SI) corrisponde una ipersuperficie
  nello spazio dei parametri (SP) in cui ogni punto
  rappresenta una curva passante per P.
• n punti nello SI appartenenti ad una stessa curva
  generano n superfici che si intersecano in uno
  stesso punto in SP, corrispondente ai parametri
  della curva.
• Più ricca è levidenza nello spazio immagine (es.
  oltre al passaggio, anche la direzione della
  curva, oppure la curvatura nel punto), più
  limitato è linsieme delle compatibilità in SP.

9
HT esempio rette
y

• Equazione classica della retta
• y mxq
• può essere riscritta come
• f((x,y), (m,q)) y-mx-q 0
• Fissato un punto (xi,yi) nello SI l'equazione q
  yi-mxi
• descrive la curva delle compatibilità (che
  rimane ancora una retta) nello SP.
• Noto lorientamento (dyi/dxi mi) la
  compatibilità è ridotta ad un punto
  (mi,qi)

x
q
m
10
HT esempio cerchio
y

• (y-yc)2(x-xc)2r2
• Primo approccio ricerca di cerchi di raggio
  noto, in questo caso lo SP è bidimensionale e la
  curva generata da ogni punto nello SI è essa
  stessa un cerchio. N.B. è raro che a una curva
  corrisponda la stessa curva nello SP
• Lo spazio dei parametri è generato dalle
  coordinate del centro (xc,yc)
• Nota la tangente nel punto (dyi/dxi) la
  compatibilità è ridotta ad un punto (xc,yc)
  dista r da (xi,yi) in direzione ?

x
yc
xc
11
HT esempio cerchio

• Caso generale anche il raggio è incognito. In
  questo caso lo SP è tridimensionale
• f((x,y),(xc,yc),r) (y-yc)2(x-xc)2-r20
• La curva generata in questo caso è un cono.
• Nota la tangente nel punto (dyi/dxi) la
  compatibilità è ridotta ad una retta yc -1/mi
  xc (yi- mixi).
• Nota la curvatura nel punto (?r) la compatibilità
  è ridotta ad un punto xc,yc

r
x
12
Il processo di voto

• I voti si possono pesare in base alla
  significatività
• La ricerca dei massimi può essere sufficiente per
  stabilire la presenza della curva cercata
• La soglia può essere fissata anche con criteri
  teorici valore aspettato e rapporto S/N
• La soglia deve comunque rappresentare un
  compromesso fra il rischio di non rilevare
  oggetti presenti e quello di ottenere falsi
  positivi

13
HT ricerca di curve (espresse in forma
analitica)

• Ogni punto nello SI genera una superficie nello
  SP
• Quindi nello SP una intersezione di molte
  superfici è l'indizio della presenza di una
  particolare istanza della curva analitica cercata
  
• In generale occorrerà un numero di punti
  almeno pari al numero dei parametri per
  individuare una curva (cioè le sue
  caratteristiche)
• La HT permette perciò di convertire un problema
  di ricerca di curve in quello più semplice di
  ricerca di intersezioni

14
HT ricerca di rette

• L'equazione classica della retta presenta dei
  problemi perché
• -? lt m, q lt ?.
• Lo spazio immagine per immagini reali è
  ovviamente limitato (per esempio 256x256).
• Per ovviare al problema descritto si usa una
  diversa rappresentazione della retta r x
  cos(q) y sin(q).
• In questo caso i parametri risultano limitati 0
  lt r lt L?2 -? ? q ? ?.

15
Il processo di voto

• Da un punto di vista implementativo occorre
  discretizzare lo SP in celle (n-dimensionali)
• La dimensione delle celle dipende dalla
  precisione massima richiesta
• Ogni cella corrisponde ad una edizione
  (quantizzata) della curva
• Per ogni evidenza nello SI si incrementa ogni
  cella compatibile dello SP (processo di voto)
• Ogni cella misura perciò il numero di contributi
  al riconoscimento della curva corrispondente

16
HT per ricerca di segmenti rettiliei

• Definire un accumulatore A(q, r) di dimensioni
  opportune
• Inizializzare A(q, r) a 0
• Per ogni evidenza dell'immagine si incrementano
  tutti i punti dell'accumulatore compatibili con
  una regola di mappatura e pesi predefiniti.
• Seleziona i massimi (magari con unanalisi
  locale) nell'accumulatore corrispondono alle
  edizioni più votate della curva cercata.

17
Uso del gradiente

• Gli operatori differenziali (Sobel per esempio,
  ma con più precisione lisotropico) producono
  anche informazioni sulla direzione del gradiente
• Questo ulteriore dato permette di ridurre di uno
  i gradi di libertà nello SP (cioè il numero di
  parametri indipendenti)
• Esempi
• retta r x cos(q) y sin(q)
• si vota solo il punto (r,q)
• cerchio xc x - r sin(q) yc y - r
  cos(q) si vota solo il punto (xc, yc)

18
Uso del gradiente

• Nel caso in cui la curva sia descritta da due
  soli parametri ad ogni punto dello SI corrisponde
  un solo punto nello SP
• In questo caso si sono perciò ridotti di molto il
  numero dei voti dispersi
• Sono perciò presenti solo i punti che
  corrispondono effettivamente a curve
  nell'immagine e pochi altri di rumore
• Il rapporto segnale-rumore è perciò migliorato

19
Esempio di voto
20
Esempio di voto
21
Esempio di voto
22
Trasformata di Hough generalizzata

• La HT è estendibile sotto lipotesi di moto
  rigido, a oggetti di forma arbitraria.
• Come prima ipotesi consideriamo fissi scala e
  rotazione
• Occorre scegliere un punto di riferimento
  P0(x0,y0)(non necessariamente il baricentro)
• Il generico punto di contorno P(x,y) può essere
  riferito a P0
• X0 x r cos(a) Y0 y r sin(a)

23
Trasformata di Hough generalizzata

• Per ogni punto P si determina la direzione della
  tangente b al contorno
• La tabella-R (tabella di riferimento) è una lista
  dei valori di R e a corrispondente ai punti di
  contorno utili alla descrizione della forma
  cercata
• Il metodo è generalizzabile per forme di
  rotazione e scala variabili introducendo due
  nuovi parametri. Lo SP risultante è quindi
  (X0,Y0,S,f)
• Le tabelle-R per le rotazioni e i cambiamenti di
  scala possono facilmente essere ottenuti da
  quello originale per orientamento e scala
  fissate

24
Algoritmo di Hough generalizzato

• passo 0 Costruisci la tabella di riferimento RT
• passo 1 Inizializza l'accumulatore
• passo 2 Ripeti per ogni punto di contorno
• passo 2.1 Calcola ?
• passo 2.2 Calcola i possibili centri per ogni
  tupla di RT
• xc x S r cos(a(b))
• yc y S r sin(a(b))
• passo 2.3 Vota (incrementa l'accumulatore)
• passo 3 Analizza SP per i massimi e i rispettivi
  intorni

25
Trasformata di Hough generalizzata

• La tabella può anche essere costruita con gli
  angoli misurati relativamente alla tangente
• xc x r(q) cos(qb)yc y r(q) sin(qb)
• Si introduce cioè l'orientamento relativo. La
  descrizione del contorno è perciò invariante per
  rotazione

26
Esempio
27
Ricerca di forme geometriche
Cercata Presente




28
Esempio ricerca del quadrato
29
Esempio di voto chiave 1
30
Esempio di voto chiave 2
31
Esempio di voto chiave 4
32
Esempio di voto chiave 5
33
Poligoni regolari

• Per i poligoni regolari ogni punto ha una regola
  di mappatura, cioè vota lungo un segmento
  proporzionale alla lunghezza del lato

34
Esempio di voto cerchio
35
Esempio di voto ottagono
36
Esempio di voto esagono
37
Esempio di voto pentagono
38
Esempio di voto quadrato
39
Esempio di voto triangolo
40
Esempio di voto cerchio
41
Esempio di voto esagono
42
Esempio di voto quadrato
43
Esempio di voto triangolo
44
HT Forme arbitrarie
45
HT Forme arbitrarie-segmentate
46
Prova HT per poligoni e forme arbitrarie
47
Prova HT per rette
48
Aspetti Implementativi Etichettatura

• Nella tabella di riferimento i punti del contorno
  possono essere classificati sulla base di qualche
  criterio di omogeneità (ad esempio in base al
  contesto locale) e raggruppati in sottotabelle
  possibilmente disgiunte
• Nel piano immagine per ognuno dei punti rilevati
  si identifica la sottotabella di appartenenza, la
  sola che interviene nel processo di voto
• Il picco aspettato sul punto di riferimento non
  cambia di intensità, ma diminuisce il numero dei
  voti sparsi, quindi il rapporto segnale rumore

49
Aspetti implementativi Tempo di esecuzione

• Il tempo di esecuzione dipende linearmente dal
  prodotto del numero dei punti rilevati NE per la
  cardinalità della tabella di riferimento NRF.
• Nel caso di etichettatura è la somma pesata per
  la cardinalità delle sottotabelle del numero di
  occorrenze delle etichette.
• Il processo di voto è parallelizzabile sia sul
  pixel dello SI, sia sulla tupla della RF