Trasformata di Hough

1
Trasformata di Hough
2
Caratteristiche di immagini

• In Visione Computazionale il termine feature di
  immagini si può riferire a due entità possibili
• Una proprietà globale di unimmagine o una
  regione (es. il livello di grigio medio, la
  distribuzione di colore, ...)
• Una parte dellimmagine con alcune proprietà
  speciali (es. una linea, unellisse,...).

3
Feature locali

• Un passo importante dellelaborazione visiva
  consiste nellidentificare feature locali che
  siano utili ad interpretare limmagine
• Le feature locali sono parti dellimmagine
  facilmente rilevabili, che possono
  corrispondere o meno a parti della scena
• Abbiamo già visto
• Edge
• Corner e SIFT
• Oggi parliamo della ricerca di feature per le
  quali esiste una descrizione analitica, tramite
  un semplice esempio
• le linee

4
Rilevamento di linee

• Le linee sono feature importanti perché
  permettono di definire analiticamente o
  approssimare molte forme
• (in particolare di oggetti costruiti dalluomo)
• Le linee possono essere rilevate in (almeno) due
  modi diversi
• Tramite template matching, utilizzanto un insieme
  di maschere che modellino landamento locale di
  una retta
• Tramite trasformata di Hough, ossia tramite un
  sistema di voting che segue una fase di edge
  detection

5
Template matching (velocemente)

• IDEA cercare i picchi nella convoluzione tra
  limmagine e un insieme di maschere che modellano
  la struttura locale di rette.
• Se una maschera M in un punto p ritorna una
  risposta superiore ad una soglia, diciamo che in
  quel punto passa un segmento di retta la cui
  orientazione e spessore è modellato da M

-1 -1 -1
2 2 2
-1 -1 -1
Esempio di maschera che definisce un segmento di
rettacon orientazione 0
6
Trasformata di Hough (HT)

• IDEA CHIAVE
• Mappare un problema difficile di riconoscimento
  di forme nel seguente problema (più facile)
• rilevare i picchi nello spazio dei parametri
  della curva cercata (linee nel nostro caso)

7
HT per il rilevamento di rette

• Una retta ymxnè identificata dalla coppia di
  parametri (m,n)
• Nel caso delle rette lo spazio dei parametri è un
  piano (ho 2 soli parametri m e n)
• Nello spazio dei parametri la retta è
  rappresentata da un punto

8
HT per il rilevamento di rette
n
y
.
m
x
9
HT per il rilevamento di rette

• Al contrario, un punto nello spazio di partenza
  (x,y)rappresenta una linea nx(-m)y
  nello spazio dei parametri
• Ogni punto di questa linea corrisponde ad una
  linea nello spazio di partenza che passa per il
  punto (x,y).

10
HT per il rilevamento di rette
n
.
y
(m1,n1)
.
(m2,n2)
.
(x,y)
.
(m3,n3)
m
x
11
HT per il rilevamento di rette
n
y
.
.
P2
Q
.
P1
m
x
Due punti appatenenti alla stessa retta r,
corrispondono nello spazio dei parametri a due
rette, la cui intersezione ci fornisce i
parametri (m,n) della retta r
12
HT per il rilevamento di rette

• Quindi una retta nello spazio di partenza
  definita da N punti P1, ..., PN viene
  identificata come intersezione nello spazio dei
  parametri di N rette, ognuna corrispondente ad un
  Pi

n
.
y
P4
.
P3
Caso ideale...
.
.
Q
P2
.
P1
m
x
13
HT per il rilevamento di rette

• In presenza di rumore non è detto che i Pi siano
  esattamente collineari
• Quindi lintersezione può non essere unica

.
n
y
P4
.
P3
.
.
?
.
.
.
P2
.
P1
m
x
14
HT per il rilevamento di rette

• Se si hanno abbastanza punti nello spazio di
  partenza, il problema può essere tradotto in un
  problema di detezione di picchi nello spazio dei
  parametri

n
.
y
P4
.
P3
.
!
.
P2
.
P1
m
x
15
Nel caso di immagini...

• I punti dello spazio di partenza possono essere
  punti di edge

16
Un algoritmo semplice

• Assumiamo che unimmagine contenga solo 1 retta,
  di parametri (m,n) costituita dai punti di edge
  P1, ..., PN
• Dividiamo lo spazio dei parametri (m,n) in una
  griglia finita di celle e associamo ad ognuna di
  esse un contatore C(m,n)
• Per ogni punto Pi(xi,yi)
• calcoliamo la retta si nello spazio dei parametri
  che abbia (xi,yi) come coefficienti
• Incrementiamo tutti i contatori relativi alla
  retta si nello spazio dei parametri
• In assenza di rumore tutte le si passano per la
  cella (m,n) quindi C(m.n)N e tutte le altre
  celle hanno valori più piccoli (quali?)
• La retta viene identificata trovando questo picco

17
Un algoritmo semplice

• Due problemi
• In caso di rumore non è detto che tutte le rette
  si incontrino nella stessa cella
• Se ci sono più rette nellimmagine
• Per questi motivi si individuano i massimi locali
  nello spazio dei parametri (fissando una
  soglia...)

18
Una piccola modifica

• Lo spazio dei parametri è infinito
• Nellimplementare lalgoritmo occorre fissare un
  valore minimo e massimo per n ed m Come?
• Una semplificazione si può ottenere scegliendo
  una rappresentazione alternativa delle
  rette x cos? y sin? r

19
Una piccola modifica

• Una semplificazione si può ottenere scegliendo
  una rappresentazione alternativa delle
  rette x cos? y sin? r

?
y
??0,p
.
r
?
r
x
20
Una piccola modifica

• Considerando anche il fatto che i punti nello
  spazio di partenza appartengono ad unimmagine
  anche r appartiene ad un intervallo finito

?
y
??0,p
M
.
r
?
r
N
x
21
Schema algoritmo costruzione dello spazio dei
parametri

• max_rsqrt((M2)(N2))
• delta_rmax_r/(R-1)
• dromdro/2
• delta_tetapi/(T-1)
• r0delta_rmax_r
• teta0delta_tetapi
• Azeros(R,T)
• i,jfind(image1)
• for h1T
• r_h(icos(teta(h)))(jsin(teta(h)))
• for y1size(i,1)
• c,kmin(abs(r-r_h(y)))
• if (cltdelta_r)
• A(k,h)A(k,h)1
• end
• end
• end

22
1. Edge detection
Materiale tratto da CVonline
23
2. Lo spazio dei parametri
24
3. Stima dei picchi e riproiezione sullo spazio
di partenza
Al variare della sogliatura.....
25
Generalizzazioni..

• Possiamo utilizzare la stessa procedura per
  rilevare altre forme
• Ad esempio nel caso delle circonferenze
• In questo caso lo spazio dei parametri è 3D
  (a,b,r)
• Per curve più complesse questo approccio diventa
  sempre meno pratico