Expos

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Exposé de Mathématiques

• Réalisé Par
• Bourdin Julien
• Conti Florian

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Sujet Al Kashi

• Qui Est-il ?
• Qua-t-il Trouvé ?
• Petits Exercices.
• Sources Internet.

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Qui Est-il ?

• Al Kashi , de son véritable nom Ghiyat al-dîn
  djamashîd b.mahs'ûd b.mahmûd al Kashi est née à
  Kachan entre Isaphan et Téhéran. Il grandit dans
  la pauvreté durant une période de sa vie suite a
  des conquêtes militaires de sa région par lémir
  Tîmur Lang (13701405).
• Après la mort de Tîmur , les conditions
  saméliorèrent grandement, Al Kashi pouvait se
  consacrer aux mathématiques et à lastronomie
  grâce au successeur de Tîmur Shah Rohk qui
  soutenait grandement les intérêts artistiques et
  intellectuels.
• Ce sera à la date du 2 Juin 1406, que sera lune
  de ses premières observations notables marquée
  par une éclipse de lune.
• Cest à Samarkand quAl Kashi vivait sous la
  protection du prince Ulugh-Beg (13941409) qui
  était le fondateur dune université comprenant
  une soixantaine de chercheurs étudiant la
  théologie et les sciences. Cest ici quAl Kashi
  deviendra le premier directeur de lobservatoire
  et cest ici aussi quil sadonnera pleinement à
  ses travaux.
• De nombreuses lettres, ainsi que certains
  ouvrages ont survécu. Nous reviendrons sur ces
  ouvrages dans la partie Qua-t-il Trouvé ? .
• On ne connaît que sa date approximative de mort
  1436 ou 1439.
• Al Kashi restera le dernier grand mathématicien
  arabe à entrer dans lhistoire avant que le monde
  occidental prenne le relais.

Tîmur Lang
Ulugh-Beg
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Qua-t-il trouvé ?

• Durant sa vie , Al Kashi a écrit de nombreux
  traités. Cest à travers ces différents traités
  quil nous démontra son ingéniosité, et quil
  aida grandement la science des mathématiques.
• Dans son traité dastronomie Khaqan Zij
• Il nous donne des tables trigonométriques
  proposant des valeurs à quatre chiffres de la
  fonction sinus ainsi que de nombreuses
  informations importantes sur ses trouvailles en
  astrologie.
• Dans son traité sur le cercle
• Jemsid Al Kashi Trouve, daprès la méthode des
  périmètres (méthode dArchimède), une valeur
  approchée de Pi, en base 60 (9 positions), soit
  léquivalent de 16 décimales.
• (voir image).
• Dans son traité Miftha Al Hisab
• Cest dans ce principal traité quil nous
  explique lintérêt des nombres sexagésimaux
  (système de numérotation en base 60). Cet ouvrage
  sera essentiellement destiné aux chercheurs ,
  étudiant lastronomie,larchitecture, la
  comptabilité ou le commerce.
• Il nous démontre aussi le calcul n-ième de
  racine par algorithme, mais aussi nous propose
  des calculs de racine n-ième dun nombre par une
  technique (technique dOmar Khayyam) appelée
  aujourdhui Triangle de Pascal .
• On lui doit aussi son nom, généralisant le
  théorème de Pythagore (pour un triangle
  quelconque), on lappellera
• Théorème dAl Kashi ou Loi Des Cosinus pour
  les autres langues. (voir image).
• Nous reviendrons sur ce théorème plus en détails
  sur la page suivante.
• Dans son traité sur la corde et le sinus
• Il nous présente le calcul de sin (1) avec une
  grande précision, mais aussi une étude dune
  équation du 3eme degré liée a la trisection de
  langle. (partager un angle en 3 parties
• égales).

Suite
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Qua-t-il trouvé ? (suite)

• Explication du Théorème dAl Kashi
• Le théorème dAl Kashi est un théorème de
  géométrie du triangle couramment utilisé en
  trigonométrie. Il utilise les bases du théorème
  de Pythagore mais pour les triangles non
  rectangles.
• Il relie le 3eme coté du triangle dun triangle
  aux deux autres cotés ainsi quau cosinus de
  langle formé pas ces deux autres cotés.
• Exemple Soit un Triangle DEF, ayant pour cotés
  respectifs aux angles k,u,y, les lettres A,B,C
  (voir figure)
• Donc Daprès la Formule dAl Kashi , cela nous
  donne
• C² A² B² - 2AB.Cosy
• Doù la formule générale exprimée sur la page
  précédente.
• Dans la pratique générale , ce théorème est donc
  utilisé en triangulation, pour trouver le
  troisième coté dun triangle dont nous ne
  connaissons quun angle et ses cotés adjacents.
• Il existe aussi un corollaire de cette formule
  dans le cas dune application de deux triangles
  semblables
• CC AA BB ( AB AB).Cosy
• Ce théorème dispose dune multitude de formules
  générales qui sappliquent dans différents cas.
  Ici je cite les 2 formules principalement
  utilisées.
• En effet, il existe sept types de formule qui
  sappliquent dans six cas différents qui sont

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Exercices

• ABCD est un losange tel que ABBCCDDA1,l'unité
  de longueur étant le cm.
• On pose l'angle BAC y.
• 1) Exprimer AC et BD en fonction de et vérifier
  que AC BD 22 cos(-pi/4)
• 2) Déterminer tel que ACBD 6 et faire une
  figure dans ce cas.
• Correction
• Soit ABC un triangle non aplati
• 1) Démontrer l'égalité suivante sin²a
  Sin²(b) Sin²(c) -2 Sin(b).Sin(c).Cos(a).
• 2) Montrer que ABC est un triangle rectangle en
  A si et seulement si sin²(a) sin²(b) sin²(c)
• Correction

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Correction Des Exercices !

• Exercice n1
• 1)
• Soit O le point de rencontre de (AC) et (DB)
• Le triangle AOB est rectangle en O puisque les
  diagonales d'un losange se coupe à angle droit
  (et en leurs milieux).
• AC/2 AO AB.cos(alpha)
• AC/2 1cos(alpha)
• AC 2.cos(alpha)
• ---
• BD/2 OB AB.sin(alpha)
• BD 2.sin(alpha)
• ---
• AC BD 2.cos(alpha) 2.sin(alpha)
• AC BD 2(cos(alpha) sin(alpha))
• AC BD 2.V2.cos(alpha - (Pi/4)) (Avec V pour
  racine carrée)
• -----
• 2)
• AC BD V6

Suite Exercice 2
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Corrections des Exercices !

• Exercice n2
• 1) sin²a Sin²(b) Sin²(c) - 2
  sin(b).sin(c).cos(a) ?
• abc Pi (la somme des angles d'un triangle
  180)a Pi-(bc)Sin²(Pi-(bc)) ?
  Sin²(b) Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(Pi-(bc))
  Sin²(bc) ? Sin²(b) Sin²(c) 2
  Sin(b).Sin(c).Cos(bc)(Sin(b).Cos(c)Cos(b).Sin(c
  ))² ? Sin²(b) Sin²(c) 2
  Sin(b).Sin(c).(Cos(b).Cos(c)-Sin(b).Sin(c))Sin²(b
  ).Cos²(c)Cos²(b).Sin²(c) 2Sin(b).Cos(b).Sin(c).
  Cos(c) ?
• Sin²(b) Sin²(c) 2
  Sin(b).Sin(c).Cos(b).Cos(c) - 2.Sin²(b).Sin²(c)Si
  n²(b).Cos²c Cos²(b).Sin²(c) ? Sin²(b)
  Sin²(c) - 2.Sin²(b).Sin²(c)Sin²(b).Cos²c
  2.Sin²(b).Sin²(c) Cos²(b).Sin²(c) ?
  Sin²(b) Sin²(c)Sin²(b).Cos²c Sin²(b).Sin²(c)
  Sin²(b).Sin²(c) Cos²(b).Sin²(c) ?
  Sin²(b) Sin²(c)Sin²(b).(Cos²c Sin²(c))
  Sin²(c)(Sin²(b) Sin²(c)) ? Sin²(b)
  Sin²(c)Sin²(b) Sin²(c) ? Sin²(b)
  Sin²(c)Qui est une identité.Donc en partant de
  Sin²a Sin²(b) Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a)
  , on aboutit a une identité --gtOn a bien Sin²a
  Sin²(b) Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a) dans
  un triangle.
• 2)On a sin²a Sin²(b) Sin²(c) - 2
  Sin(b).Sin(c).Cos(a)Si a 90, Cos(a) 0
  sin²a Sin²(b) Sin²(c)Donc l'expression
  Sin²a Sin²(b) Sin²(c) est vrai si le triangle
  est rectangle en A. (1)Reste à démontrer la
  réciproque.Si on a Sin²a Sin²(b)
  Sin²(c)Comme on a aussi dans tout triangle
  Sin²a ? Sin²(b) Sin²(c) - 2
  Sin(b).Sin(c).Cos(a)
• Sin²(b) Sin²(c) Sin²(b) Sin²(c) - 2
  Sin(b).Sin(c).Cos(a)Sin(b).Sin(c).Cos(a)
  0Comme le triangle n'est pas plat, b et c sont
  différents de 0 et donc Sin(b).Sin(c) est
  différent de 0
• cela implique que Cos(a) 0, soit a 90
  donc si on a Sin²a Sin²(b) Sin²(c), le
  triangle est rectangle en A. (2)
• (1) et (2) --gt ABC est un triangle rectangle en
  A si et seulement si Sin²a Sin²(b) Sin²(c)

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.Sources Internet.

• IleMaths
• Wikipédia
• Col-Camus De Strasbourg
  

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