Katz S

1
Katz SándorMódszertani szempontból fontos
feladatok

2

• Olyan feladatokat vizsgálunk, amelyek segítenek
  fogalmak, tételek
• kialakításában,
• tisztázásában,
• elmélyítésében.

3

• Miért /most/ fontosak ezek a feladatok?
• Kinek szólnak ezek ?

4

• 1. probléma
• Muveletek tulajdonságainál az asszociativitást
• (a o b) o c a o (b o c) (1.)
• a tanulók idonként kiegészítik pl így
• (a o b) o c a o (b o c) (a o c) o b. (2.)
• Adjunk példát olyan muveletre, amelyre (1.)
  igaz, de (2.) nem!

5
Másképp

• Adjunk meg olyan muveletet, amely asszociatív,
  de nem kommutatív!
• Tehát olyat, amelyre
• (a o b) o c a o (b o c).
• de a o b ? b o a ,
• ezért (a o b) o c ? (a o c) o b.

6
(a o b) o c ? (a o c) o b. Adjunk meg olyan o
muveletet, amelyre

7
Mi is az a kétváltozós muvelet?

• Van két bemeno elem,
• és egy kijövo.
• (ab) ? c

8
Az (ab) ? b muvelet asszociatív, de nem
kommutatív.
Valóban (a o b) o c a o (b o c).
9
de (a o b) o c ? (a o c) o b
10
2. probléma

• Adott körbe írjunk maximális területu konvex
  hatszöget!

11
Tegyük fel, hogy a hatszögnek van két különbözo
oldala!

• Ekkor a terület növelheto

12
Következtetés

• Ha a konvex hatszögnek nem minden oldala
  egyenlo, akkor nem lehet a legnagyobb területu.
• Tehát a legnagyobb területu beírt konvex hatszög
  a szabályos hatszög.
• Mi a véleményük a következtetésrol?

13
Egy eljárás maximum keresésére

• Adott egy A számhalmaz, és keressük ezen
• halmaz legnagyobb elemét. Ennek érdekében
  megadunk egy ezen a halmazon értelmezett
  hozzárendelést, amely egy a?A számhoz önmagát
  rendeli, de az A halmaz minden más b eleméhez a
  halmaznak egy b-nél nagyobb elemét rendeli hozzá.
  Tehát a-n kívül egyik sem lehet a halmaz
  legnagyobb eleme, mert ezeknél az elemeknél van
  van nagyobb. Tehát a a halmaz legnagyobb eleme.
  

14
Ellenpélda

• Legyen
• , azaz A1, 2, 3,
  
• és legyen a hozzárendelés
• Ez a hozzárendelés n1-hez önmagát, minden más
  n-hez nála nagyobbat rendel. Ha fenti eljárás
  jó, akkor n1 a halmaz legnagyobb eleme, ami
  nyilván nem igaz.

15
Hol a hiba?

• A fenti módszer jó véges halmazok esetén.
• Végtelen halmaznak nem biztos, hogy van
  legnagyobb eleme. Ha van legnagyobb elem, akkor
  is jó az eljárás, de bizonyítani kell, hogy
  létezik legnagyobb elem.
• (Izoperimetrikus probléma.)

16
Megmentheto-e a beírt hatszögre vonatkozó
bizonyítás?

• Az egyik lehetoség, hogy bizonyítjuk az analízis
  eszközeivel, hogy van legnagyobb területu beírt
  hatszög. Nem ezt tesszük.
• Ehelyett tetszoleges hatszögbol fokozatos
  közelítéssel jutunk el a szabályos hatszöghöz,
  úgy, hogy a terület közben no.

17
Megjegyzés

• A maximális területu konvex hatszög belsejében
  tartalmazza a kör középpontját.
• Ha nem tartalmazná, akkor a területet lehetne
  növelni.

18
Az oldalakhoz tartozó középponti szög lesz a
vizsgált mennyiség.

• Ha az oldalak nem mind egyenlok, akkor létezik
  olyan ? és ß középponti szög, hogy egyik kisebb
  60-nál, a másik nagyobb. Addig közelítsük
  ezeket egymáshoz, amíg egyik
• 60-os lesz.

19
A következokben két egyenletet oldunk meg,
amelyek mindegyikénél a megoldás menete jónak
látszik, de a kapott gyökkel mégis valami gond
van.

• 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következo
  egyenletet!
• 2
  (1.)

20

• Emeljük köbre mindkét oldalt az
• azonosságot használva!
• Helyettesítsünk az eredeti egyenlet szerint
• helyére 2-t

21
Folytatás
A második tényezonek nincs zérushelye, ezért az
egyetlen megoldás x 2. Számoljunk utána!
22
(1.)-nek és
(2.)-nek még nem gyöke, de (3.)- nak már gyöke

• Miért jöhet be az eredeti egyenlet
  visszahelyettesítésénél hamis gyök?
• Ennél a visszahelyettesítésnél azt mondhattuk
  volna helyesen, hogy
• ha az eredeti egyenletnek van gyöke, akkor a bal
  oldal 2-vel egyenlo.

23
2. Egyenlet

• 2. Oldjuk meg a következo egyenletet a valós
  számok halmazán!

24

• Alkalmazzuk a
  azonosságokat!
• A kapott gyökök kielégítik az (1.) egyenletet.

25

• A kapott gyökök jók, de az is látható, hogy
• is kielégíti.
• Hogy lehetséges ez, hol veszett el ez a gyök?
• A
• azonosságok alkalmazásánál az értelmezési
• tartomány szukebb lesz!

26

• Ezért ezeknek az azonosságoknak az alkalmazásakor
  meg kell vizsgálni, nem vesztettünk-e gyököt,
  azaz hogy azok a számok, amelyekkel az
  értelmezési tartomány szukebb lett, megoldásai-e
  az eredeti egyenletnek.
• Látható, re az azonosságok bal
  oldalai értelmezettek, a jobb oldalak nem, ezért
  az eredeti (1.) egyenletnek ez gyöke, de (2.)-nek
  és a következoknek már nem.
• Tehát az (1.) egyenlet gyökei
• és , ahol .

27
Különleges függvények

• A továbbiakban néhány érdekes függvényt
  vizsgálunk, amelyek segítenek fogalmak
  szétválasztásában, függvények vizsgálatával
  kapcsolatosan gyakran eloforduló hibák
  kiküszöbölésében

28
Kölcsönösen egyértelmu szigorúan monoton

• A egyenletnél a
  gyakorlottabb tanulók nem helyettesítenek be,
  hanem arra hivatkoznak, hogy ha az
• f(x)g(x)
• egyenlet mindkét oldalára ugyanazt a h
  kölcsönösen egyértelmu, mindenütt értelmezett
  függvényt alkalmazzuk
• h(f(x))h(g(x)),
• akkor ekvivalens egyenlethez jutunk.

29

• Ugyanígy, ha h kölcsönösen egyértel-mu,
  mindenütt értelmezett függvény, akkor
  elhagyható vagyis a
• h(f(x))h(g(x))
• egyenlet ekvivalens az
• f(x)g(x)
• egyenlettel. Pl. a egyenlet
  ekvivalens a 2x-3 x egyenlettel.
• Itt azonban nem a kölcsönösen
  egyértelmuségre, szoktak hivatkozni hanem arra,
  hogy a függvény szigorúan monoton növekvo.

30
Mi a kapcsolat a kölcsönösen egyértelmuség és pl.
a szigorúan monoton növekedés között?

• 1.Létezik-e olyan R-en értelmezett függvény,
  amely szigorúan monoton növekvo, de nem
  kölcsönösen egyértelmu?
• 2.Létezik-e olyan függvény, amely kölcsönösen
  egyértelmu, de nem szigorúan monoton?

31
Kölcsönösen egyértelmu, de nem monoton
32
Egyenleteknél kerüljük a szigorúan monotonitásra
való hivatkozást!

• Ha az ? 2x-3x átalakításnál azt
  
• mondjuk hogy ez elvégezheto, mert az 1/x
  függvény szigorúan monoton, akkor ez hibás
  állítás.
• A helyes indoklás Ez az átalakítás elvégezheto,
  mert az 1/x függvény kölcsönösen egyértelmu.

33
Kérdés

• 2.Létezik-e olyan függvény, amely kölcsönösen
  egyértelmu, de egyetlen intervallumon sem
  szigorúan monoton?

34
Az f

• függvény kölcsönösen egyértelmu, de
• egyetlen intervallumon sem monoton.

2
35
Dirichlet-típusú függvények

• Az f
• eredeti Dirichlet-féle függvény egyetlen
  intervallumon sem folytonos, egyetlen
  intervallumon sem integrálható.

36
Az f függvény csak egyetlen pontban
folytonos. Grafikonja alapján lehetne páros és
páratlan is. Melyik igaz?
37

• Az f
• függvény egyetlen intervallumon sem korlátos.
• Az f
• függvény egyetlen intervallumon sem folytonos,
• mégis integrálható! Minden racionális pontban
  szakadása van, de minden irracionális helyen
  folytonos.

38
Egy különösen érdekes függvény

• Az f
• A hozzárendelésrol eloször azt lássuk be, hogy
  függvény!
• (Azaz, ha egy szám eloállítható ab alakban,
  akkor ez csak egyféleképp lehetséges.)
• Hogy nézhet ki ennek a függvénynek a grafikonja?

39

• Íme a grafikon!
• Olvassuk le a grafikonról függvény tulajdon-
• ságait! Páros? Páratlan? Periodikus?

40
Sierpinski

• E függvény grafikonjának pontjai a síkban
  mindenütt surun helyezkednek el, azaz a sík
  bármely P(x y) pontjának bármely környezetében a
  függvény grafikonjának végtelen sok pontja van.
• Megmutatjuk, hogy a sík tetszoleges P(x y)
  pontjához megadhatók olyan an és bn racionális
  számsorozatok, hogy
• és
  .

41

• Ha vannak ilyen sorozatok, akkor azokat a
  következoképpen határozhatjuk meg szorozzuk meg
  az elso egyenloséget -
• vel, és vonjuk ki belole a másodikat, majd a
  másodikat szorozzuk -vel, és az elsot vonjuk
  ki belole.
• Azt kapjuk, hogy az an, bn sorozatokra a
  következonek kell teljesülni
• és

42
,

• Tetszoleges P(x y) pont, azaz (x y) számpár
  esetén megadható a fenti feltételeknek eleget
  tevo an és bn racionális számsorozat.
• Tehát a sík tetszoleges P(x y) pontjához a
  függvény-grafikon pontjainak
• koordinátákkal meghatározott sorozata konvergál.

43

• Legyen a sík egy pontja pl. P(63), ekkor
• lim an3 -6 -1,7574 és lim bn6 -3
  5, 4853
• Közelítsük an-t és bn-t a megfelelo tizedes
  jegyekkel
• a1-1, a2-1,7, a3-1,75 a4-1,757,
  a5-1,7574
• b15, b25,4, b35,48 b45,485,
  b55,4853
• x16,1 x25,94 x35,9998 x45,99996
  x55,99998
• y13,6 y22,995 y33,005 y43,0002,
  y52,99996

44
A típusú függvények

• A folytonosság, differenciálszámítás témakörben
  fontos mintapéldákat adhatunk meg fenti típusú
  függvényekkel.

45
típusú differenciálható függvények

46
A szélsoérték létezésének szükséges fel-tétele-e
az, hogy a derivált elojelet váltson?

• Ez a derivált nem vált elojelet a 0 helyen mert
  az elso két tag 0-hoz tart, de a harmadik 0
  bármely környezetében minden -1 és 1 közötti
  értéket felvesz.

47
Mi a szükséges és elegendo feltétel?

• Annak, hogy egy differenciálható függvénynek
• x0-ban szélsoértéke legyen, szükséges feltétele,
• hogy f(x0) 0.
• Ha a derivált x0-ban elojelet vált, ez elegendo
• feltétele, hogy legyen szélsoérték.
• De ez utóbbi feltétel nem szükséges. Az elobbi
• példában adott függvénynek az x00 helyen
• minimuma van, de a deriváltja nem vált elojelet.

48
Néhány konstrukciós feladat

• 1. Adj meg olyan R-en értelmezett függvényt,
  amelynél
• egyetlen xo pontban sem létezik, de
• és létezik!
• 2. Adj meg olyan R-en értelmezett f függvényt,
  amely
• minden valós számra értelmezett,
• egyetlen pontban sem folytonos, de
• f mindenütt folytonos!
• 3. Adj meg olyan R-en értelmezett függvényt,
• - amely, felülrol korlátos, de
• - egyetlen intervallumon sem veszi fel
  maximumát.
• 4. Adj meg olyan R-en értelmezett függvényt,
  amely,
• - csak egyetlen pontban differenciálható!

49
Néhány konstrukciós feladat

• 5. Adj meg olyan R-en értelmezett f függvényt,
  amely minden valós értéket pontosan kétszer vesz
  fel !
• 6. Mutassuk meg, hogy a Dirichlet-féle függvény
  periodikus! Milyen számok lehetnek a periódusai,
  van-e a függvénynek legkisebb periódusa?
• 7. Adjunk meg olyan függvényt, amely periodikus,
  nincs legkisebb periódusa, és végtelen sok
  különbözo értéket vesz fel! (KöMaL, 1978. évi 7.
  szám P. 308.)

50
Látszik

• Adott egy kör kerületén n pont. A pontokat
  összeköto húrok legfeljebb hány részre osztják a
  kört?

51

• Pontok részek
• száma száma
• n 1 k 1
• n 2 k 2
• n 3 k 4
• n 4 k 8
• n 5 k 16
• Látszik, hogy k ?

52

• Pontok részek
• száma száma
• n6 k31 (!)

Hova lett a 32-edik rész?
53
Számoljuk össze a részek számát, ha a kerületen
n pont van!

• Kezdetben volt 1
  rész
• Minden új húr, 1 új rész húr
  új rész.
• Minden új metszéspont,
• 1 új rész metszéspont új
  rész.
• Összesen rész.

54
Honnan ismeros a kifejezés?

• Miért duplázódtak az eredmények egy ideig?
• 1
• 1 1
• 1 2 1
• 1 3 3 1
• 1 4 6 4 1
• 1 5 10 10 5 1
• 1 6 15 20 15 6 1

55
Néhány további feladat arra, amikor egy szabály
sokáig jónak látszik

• 1. Legfeljebb hány részre osztja a síkot n kör?
• 0 kör 1 rész
• 1 kör 2 rész
• 2 kör 4 rész
• 3 kör 8 rész
• n kör ?

56

• 2. Igaz-e hogy
• a)
• b)
• minden n-re prímszámot állít elo?
• a) prím lesz, ha n 0, 1, 2, ... , 40
• b) prím lesz, ha n 0, 1, 2, ... , 79

57
Dobókockák problémája

• Két kockára felírjuk véletlenszeruen az
• 1, 2, 3, ..., 12 számokat.
• Ezután A választ egy kockát, o azzal, és B a
  maradék kockával dob. Minden dobásnál az nyer,
  aki nagyobbat dob.
• Hányféle olyan felírás van, amelynél A nyer?
  Mennyi a valószínusége, hogy A nyer?

58

• Azt, hogy két kocka közül melyik a jobb, úgy
  lehet eldönteni, hogy az elso kockára írt minden
  számhoz felírjuk, hogy a másodikon hány nála
  kisebb szám van, és az így kapott számokat
  összeadjuk.
• Mivel 6x6 számot hasonlítunk össze, ezért a két
  kocka egyforma, ha a kapott összeg 18 az elso
  kocka a jobb, ha az összeg nagyobb 18-nál és a
  második a jobb, ha az összeg kisebb 18 -nál.

59
Példák

• Pl. ha a két kockán a számok
• I. 1, 2, 3, 4, 11, 12 II. 5, 6, 7, 8,
  9, 10
• akkor az elso kockához tartozó szám
• 00006612lt18,
• ezért a második kocka jobb.
• Ha a két kockán a számok
• I. 1, 2, 3, 10, 11, 12 II. 4, 5, 6, 7,
  8, 9
• akkor az elso kockához tartozó szám
• 00066618, ezért az elso és második kocka
  egyforma jó.

60
Három dobókocka

• Három kockára felírjuk az 1, 2, 3, ..., 18
  számokat.
• Ezután A választ egy kockát, majd a maradék
  kettobol B választ egy kockát és mindketten saját
  kockájukkal dobnak. Minden dobásnál az nyer, aki
  nagyobbat dob. Fel lehet-e írni a számokat a
  kockákra úgy, hogy B-nek legyen nagyobb a nyerési
  esélye?

61
Véges sok kocka között nincs legjobb?

• Vajon van-e az I., II., III. kockáknak olyan
  kitöltése, hogy
• I. jobb mint II.,
• II jobb mint III.,
• és III. jobb mint I. ?

62
Mit várunk?

• Egy kitöltés Összehasonlítás
• I. II. III. I-II. II.-III. III.-I.
• 1 5 2 0 3
• 10 6 3 5 3
• 11 7 4 5 3
• 12 8 15 5 3
• 13 9 16 5 3
• 14 18 17 5 6
• Össz. 25 21 ?

63
Véges sok kocka között nincs legjobb?

• Kitöltés Összehasonlítás
• I. II. III. I-II. II.-III. III.-I.
• 1 5 2 0 3 1
• 10 6 3 5 3 1
• 11 7 4 5 3 1
• 12 8 15 5 3 6
• 13 9 16 5 3 6
• 14 18 17 5 6 6
• Össz. 25 21 21!!!

64
Irodalomjegyzék

• Varga Tamás Amikor egy tranzitív reláció
  intranzitív
• A Matematika Tanítása 1967/2.
• Varga Tamás Pontok a kör kerületén
• A Matematika Tanítása 1968/2.
• (3) Pintér Lajos Berkes Jeno A valós függvény
  fogalmának elmélyítése
• A Matematika Tanítása 1969/1.
• Bognár Stefánia Az f(x)f1(x)sin 1/x típusú
  függvények tulajdonságai
• A Mat.Tanítása 1974/2
• Dorofeev-Rozov Periodikus és nemperiodikus
  függvé-nyek.
• Kvant 1977/1.
• Zemljakov Páros és páratlan függvények.
• Kvant 1977/4.

65
Irodalomjegyzék

• (7) Katz Sándor A bizonyítási készség
  fejlesztése függvénytani feladatok segítségével
• A Matematika Tanítása 1980/5.
• (8) Katz Sándor Különleges függvények szerepe
  a középiskolai matematika tanításában
• A Matematika Tanítása 1981/1.
• (9) Pintér Lajos Egy nagyon várható tanulói
  kérdésrol POLYGON 1991/2.
• (10)Szalay István Patalogikus függvények
  standard tulajdonságai POLYGON 1991/2.
• (11)Katz Sándor Egyenletek ekvivalenciája
• Matematika Kincsestár 2002. szeptember