Flohrian

1
Chaos und Fraktale M. Bostelmann
Michael Bostelmann
2
gewinnt meist das Chaos,
Wo das Chaos auf die Ordnung
trifft,
denn es ist besser organisiert.
Michael Bostelmann
3
Teil 1 Fraktale und ihre Dimension
Unser Protagonist Flohrian
Michael Bostelmann
4
Flohrian ist verliebt
Michael Bostelmann
5
Sie liebt mich ..., sie liebt mich
nicht... Lieber nicht!
Michael Bostelmann
6
Lieber was mit Springen ...
Michael Bostelmann
7
Flohrian zeichnet eine Strecke von A nach B. Dann
stellt er sich in der Mitte auf.
Er wirft eine Münze und springt nach folgender
Regel Kopf 2/3 der Strecke von der aktuellen
Position bis A Zahl 2/3 der Strecke von der
aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
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Erster Wurf Zahl
Kopf 2/3 der Strecke von der aktuellen
Position bis A Zahl 2/3 der Strecke von der
aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
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Zweiter Wurf Zahl
Kopf 2/3 der Strecke von der aktuellen
Position bis A Zahl 2/3 der Strecke von der
aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
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Dritter Wurf Kopf
Kopf 2/3 der Strecke von der aktuellen Position
bis A Zahl 2/3 der Strecke von der aktuellen
Position bis B
Michael Bostelmann
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Flohrian nimmt sich vor, solange zu springen, bis
er einen Punkt erreicht, auf dem er schon einmal
war. Liegt dieser Punkt in der linken Hälfte der
Strecke AB, dann wird seine Liebe erwidert.
Liegt er in der rechten Hälfte, dann liebt sie
ihn nicht. Im Falle der Mitte zählt der
vorherige Punkt.
Michael Bostelmann
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Aufgabe 1
Die Strecke AB wird durch das Intervall 01
repräsentiert. Stelle eine Definitionsgleichung
für die Folge (xn) der Sprünge auf mit x0
0,5. Hinweis Der Übergang von xn auf xn1 hängt
natürlich vom Ergebnis des Münzwurfs ab.
Xn1
Kopf 2/3 der Strecke von der aktuellen Position
bis A Zahl 2/3 der Strecke von der aktuellen
Position bis B
Michael Bostelmann
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Aufgabe 2
Schreibe ein Programm flohrian(n) für den TI-92,
das für n Sprünge die Markierungen setzt.
For k,1,n rand(2) ? p If pgt1 Then
x/3 ? x Else 2/3x/3 ? x EndIf
PtOn x,.5 EndFor EndPrgm
flohrian(n) Prgm Local k,p,x ClrDraw PtText
"x",-.02,.54 PtText "x",.98,.54 PtText
"A",-.07,.6 PtText "B",1.03,.6 .5 ? x
Michael Bostelmann
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(No Transcript)
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MUSTER!?! Da steckt doch Mathematik dahinter!
Eine einfache Regel muss her!
Lieber rechnen als springen!
Michael Bostelmann
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Kopf 2/3 der Strecke von der aktuellen
Position bis A Zahl 2/3 der Strecke von der
aktuellen Position bis B
Kopf x1
0,16666... x0 0,5 Zahl x1 0,83333...
Das gibt ja ganz eklige Perioden!!!
Wegen dieser ständigen Division durch
3. ...mmmhhh...
Michael Bostelmann
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Kopf 2/3 der Strecke von der aktuellen
Position bis A Zahl 2/3 der Strecke von der
aktuellen Position bis B
Im Dreiersystem sollte das viel einfacher sein!
Michael Bostelmann
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!!!Ach du Sch !!!
reck
Aufgabe 3
Was hat Flohrian so erschreckt?
Michael Bostelmann
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Offenbar hat er keine Chance einen Punkt zum
zweiten Mal zu erreichen, denn im n-ten Sprung
erreicht er eine Zahl, deren Periode in der
(n1)-ten Stelle nach dem Komma beginnt, die also
verschieden von allen vorhergehenden Zahlen ist.
Ich hätte vielleicht doch nicht in der Mitte
beginnen sollen., denkt er.
Michael Bostelmann
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Aufgabe 4
Bei welchen Startwerten hat Flohrian eine Chance,
einen Punkt zum zweiten Mal zu erreichen?
Abbrechende Tertialbrüche kommen offenbar nicht
in Frage, weil sich die letzte, von Null
verschiedene Stelle bei jedem Sprung um eine
Position nach rechts verschiebt.
Rein periodische Zahlen mit den Ziffern 0 und 2
bieten eine Chance, wenn sich durch entsprechende
Sprünge eine neue Periode einschiebt. Beispiel
Michael Bostelmann
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Eine maximal löchrige Menge Offenbar spielt hier
eine Teilmenge des Intervalls 0 1 eine Rolle,
deren Elemente in der Tertialbruchdarstellung nur
Nullen und Zweien aufweisen. Diese Teilmenge S
wollen wir nun auf zwei verschiedene Arten
schrittweise konstruieren.
Grafisch
Mengentheoretisch
S0 0 1 S1 S0 \ (0,z1z2z3...)3 /
z11 S2 S1 \ (0,z1z2z3...)3 / z21 S3
S2 \ (0,z1z2z3...)3 / z31
Offenbar gilt Sn S. Diese Menge ist
nichts anderes als der Cantor-Staub, ein
bekanntes Fraktal.
Michael Bostelmann
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Nichts als Staub Die Cantor-Menge hat die
Eigenschaft, dass sie völlig zerstäubt ist, d.h.
keine zwei verschiedenen Elemente hängen
zusammen. Oder anders ausgedrückt, zwischen zwei
verschiedenen Elementen aus S finden wir immer
ein Element nicht aus S. Dies lässt sich leicht
zeigen.
Seien p und q zwei verschiedene Elemente aus S
und o.B.d.A pltq. Die erste Nachkommastelle, an
der sich p und q in der Tertialdarstellung
unterscheiden, sei an der n-ten Position. Dann
hat p dort eine 0 und q eine 2. Sei r die Zahl,
die bis zur (n-1)-ten Nachkommastelle mit p und q
übereinstimmt und dann an der n-ten Stelle eine 1
hat, dann ist r nicht aus S und pltrltq.
Wie man leicht sieht, trifft Flohrian bei seinen
Sprüngen mit dem Startwert 0,5 nie ein Element
aus S, denn jede Position enthält immer die
Periode mit 1, die sich jedoch immer weiter nach
hinten schiebt. Aber er kommt immer näher an S
heran. In gewissem Sinne konvergiert die Menge
seiner Markierungen gegen S.
Michael Bostelmann
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Selbstähnlichkeit
Ein zentraler Begriff im Zusammenhang mit
Fraktalen ist die Selbstähnlichkeit oder auch
Skaleninvarianz. Der Cantor-Staub eignet sich
gut, um diesen Begriff zu verdeutlichen. Wir
greifen hierzu auf den bekannten
Ähnlichkeitsbegriff aus der Mittelstufengeometrie
zurück Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie
durch eine zentrische Streckung in kongruente
Figuren überführt werden können. Nehmen wir zum
Beispiel das linke Drittel von S, also S
(0,0z2z3...)3 / ziÎ02 und strecken es mit
dem Faktor 3. Dann erhalten wir 3S
3(0,0z2z3)3 / ziÎ 02 (0,z2z3...)3 / ziÎ
02 S Die Menge S ist zu einem echten Teil
ihrer selbst ähnlich eben selbstähnlich.
Michael Bostelmann
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Eine neue Interpretation des klassischen
Dimensionsbegriffs
1. Dimension
Michael Bostelmann
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2. Dimension
Michael Bostelmann
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3. Dimension
Michael Bostelmann
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Verallgemeinerter Dimensionsbegriff
Verkleinert man ein Objekt mit dem Faktor k und
passt das verkleinerte Objekt n-mal in das
ursprüngliche Objekt, so heißt die Zahl d mit k d
n die Dimension des Objekts. Es ist also d
logkn
Michael Bostelmann
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Die Dimension des Cantor-Staubs
Bei der Selbstähnlichkeit haben wir gesehen, dass
wir das erste Drittel S des Cantor-Staubs
erhalten, wenn wir die Menge S im Maßstab 13
verkleinern. S passt zweimal in S, da das
mittlere Drittel leer ist. Für die Dimension d
gilt dann 3d 2 oder d log32
0,6309... Die Dimension ist also nicht
ganzzahlig, sondern gebrochen - eben fraktal.
Michael Bostelmann
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Ein naher Verwandter des Cantor-Staubs
Vor einigen Jahren wurde im Bundeswettbewerb-Infor
matik folgende Aufgabe gestellt (sinngemäß) Ein
Goldgräber erhält einen Claim, der die Form eines
gleichseitigen Dreiecks hat. Da er keine Ahnung
hat, wo er mit dem Graben anfangen soll, sucht er
sich zunächst einen beliebigen Punkt aus. Um den
nächsten Grabungsort zu finden, wählt er einen
der drei Eckpunkte beliebig aus und bestimmt den
Mittelpunkt zwischen diesem Eckpunkt und seiner
momentanen Position. Dies wiederholt er immer
wieder. Ein entsprechendes Programm sollte die
Grabungsorte für n Grabungen grafisch darstellen.
Aufgabe 5
Schreibe ein Programm für den TI-92, das für n
Grabungen die Grabungsorte markiert.
Michael Bostelmann
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Das Goldgräber-Programm
PtOn x,y For k,1,n rand(3) !p
(xdet(pxp))/2!x (ydet(pyp))/2!y PtOn
x,y EndFor EndPrgm
gold(n) Prgm Local k,p,x,y FnOff PlotsOff
ClrDraw setGraph("axes","off") 0!xmin
100!xmax 0!ymin 100!ymax 208050 !px
5590 !py 50!x50!y Line
det(px1),det(py1),det(px2),det(py2) Line
det(px2),det(py2),det(px3),det(py3) Line
det(px1),det(py1),det(px3),det(py3)
Michael Bostelmann
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(No Transcript)
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Das Sierpinski-Dreieck
Aufgabe 6
Berechne die fraktale Dimension des
Sierpinski-Dreiecks
Verkleinert man das Sierpinski-Dreieck im Maßstab
12, so passt es 3-mal in das ursprüngliche
Dreieck. Es ist also 2d 3 also d log23
1,5849...
Michael Bostelmann
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(No Transcript)