Pre-algebra

1
Pre-algebra

• Antonín Jancarík

2
Operace v matematice

• Operace (matematika) - zobrazení z kartézské
  mocniny množiny do této množiny
• Známé operace
• Soucet
• Rozdíl
• Podíl
• Sínus
• Odmocnina

3
Zápis operace tabulkou




4
Základní vlastnosti binárních operací

• Komutativita
• Asociativita
• Neutrální prvek
• Inverzní prvek
• a mnoho dalších.

5
Asociativita

• Asociativita je velice duležitou vlastností.
• Špatne se overuje.
• Skládání zobrazení je vždy asociativní.

6
Grupoid

• Neprázdná množina G opatrená binární operací se
  nazývá grupoid.
• Od grupoidu tedy nic nežádáme.
• Príkladem grupoidu tak muže být jakákoli tabulka.

7
Grupoid

• Ukázka neasociativního a nekomutativního
  grupoidu
• 0 1 2 3
• 0 0 0 1 0
• 1 2 0 0 0
• 2 0 0 0 0
• 3 0 0 0 0

8
Pologrupa

• Neprázdná množina G opatrená binární asociativní
  operací se nazývá pologrupa.
• Ukázka nekomutativní pologrupy
• 0 1 2 3
• 0 0 0 0 0
• 1 1 1 1 1
• 2 0 0 0 0
• 3 0 0 0 0

9
Monoid

• Neprázdná množina G opatrená binární asociativní
  operací a jednotkovým prvkem se nazývá monoid.
• Ukázka nekomutativního monoidu
• 0 1 2 3
• 0 0 1 2 3
• 1 1 0 2 3
• 2 2 3 2 3
• 3 3 2 2 3

10
Krácení

• Necht (G, ?) je grupoid a a jeho prvek.
• Ríkáme, že a je zleva (resp. zprava) kratitelný
  prvek grupoidu G, jestliže a ? b ? a ? c (resp.
  b ? a ? c ? a), kdykoli b ? c.
• Jestliže a je kratitelný zleva i zprava, ríkáme
  že je kratitelný.

11
Kvazigrupa

• Jestliže každý prvek grupoidu G je kratitelný,
  ríkáme, že G je grupoid s krácením.
• Grupoid s krácením nazýváme kvazigrupou.

12
Ukázka kvazigrupy

• Neasociativní, nekomutativní kvazigrupa
• 0 1 2 3
• 0 0 1 3 2
• 1 2 0 1 3
• 2 1 3 2 0
• 3 3 2 0 1

13
Lupa

• Kvazigrupu s jednotkovým prvkem nazýváme lupou
• 0 1 2 3 4
• 0 1 2 0 4 3
• 1 3 4 1 0 2
• 2 0 1 2 3 4
• 3 4 0 3 2 1
• 4 2 3 4 1 0

14
Grupa

• Grupa je algebraická struktura s jednou binární
  operací, která je asociativní, s jednotkovým
  prvkem a inverzními prvky.
• Komutativní grupa se také nazývá abelovou.

15
Príklady grup

• Celá císla se scítáním
• Racionální císla se scítáním
• Reálná císla se scítáním
• Komplexní císla se scítáním
• Racionální císla bez nuly s násobením
• Reálná císla bez nuly s násobením
• Komplexní císla bez nuly s násobením

16
Další príklady grup

• Symetrie ctverce
• Symetrie pravidelných n-úhelníku
• Permutace na množine a jejich skládání
• Polynomy a scítání
• Funkce a jejich scítání
• Nekonecné posloupnosti a jejich scítání

17
Podgrupa

• H je podgrupa grupy G, práve když H je neprázdná
  podmnožina G a je uzavrená na operaci
• To znamená, že pokud a, b ? H, pak ab ? H) a na
  inverze (tzn. jestliže a ? H, pak a-1 ? H)
• Uzavrenost je nekdy pridávána i do vlastností
  grupy. V algebre je dána tím, že operace je
  definována na množine. V praxi musíme overovat i
  tuto vlastnost.

18
Normální podgrupa

• Normální podgrupa P grupy G je taková její
  podgrupa, pro kterou navíc platí
• Tato podmínka je casto formulována jako

19
Príklady normálních podgrup

• Každá podgrupa komutativní grupy je normální.
• Jádro homomorfismu.
• Centrum grupy.
• Komutátor grupy.

20
Generátor grupy

• Mejme grupu (G,o) a její podmnožinu A.
• Potom A generuje G práve tehdy když každý prvek z
  G lze vyjádrit jako soucin prvku z A.

                                                
   .
21
Cyklická grupa

• Grupa generovaná jednoprvkovou množinou (jediným
  prvkem) se nazývá cyklická grupa.

22
Struktury se dvema operacemi

• V rámci príkladu grup jsem se již seznámili s
  množinami, na nichž je definována více než jedna
  binární operace.
• Racionální, reálná, komplexní císla.
• Polynomy.
• Aby bylo možné takové struktury zkoumat, je
  velice vhodné, aby spolu tyto operace nejak
  souvisely.

23
Distributivita

• Necht T je množina se dvema binárními relacemi
  scítáním a násobením
• Potom tyto operace na T splnují distributivní
  zákony mezi scítáním a násobením, práve tehdy
  když pro každé a,b,c platí
• a(b  c)  ab  ac
• (b  c)a  ba  ca
• Distributivita je vlastne roznásobování závorek.

24
Okruh

• Množinu R a se dvema binárními operacemi
  (scítání) a (násobení) na R nazýváme okruh,
  platí-li pro každé x,y,z z R následující axiomy
• Komutativita scítání x y y x
• Asociativita scítání i násobení (x y) z x
  (y z),
• Existence oboustranne neutrálních prvku pro
  scítání i násobení existují prvky takové, že
  pro každé platí x 0 0 x x,
• Existence inverzních prvku pro scítání pro každé
  existuje tak, že x y 0 y x, znacíme y
  - x
• A distributivita.

25
Obor integrity

• Obor integrity (angl. integral domain) je
  komutativní okruh R s jednotkovým prvkem, pro
  který navíc platí axiom

• Oborem integrity je tedy každý komutativní okruh
  s jednotkovým prvkem, ve kterém nejsou
  netriviální delitele nuly.

26
Teleso

• Teleso (angl. division ring) je algebraická
  struktura, na které jsou definovány dve binární
  operace. Je rozšírením okruhu, oproti kterému
  navíc prináší existenci inverzního prvku pro obe
  binární operace (okruh vyžadoval existenci
  inverzního prvku jen pro operaci ).

27
Definice telesa

• Množinu F a se dvema binárními operacemi
  (scítání) a (násobení) na F nazýváme telesem,
  pokud platí
• (F,) tvorí abelovu grupu.
• (F/0,) tvorí grupu.

28
Príklady teles

• Množina racionálních císel Q
• Množina reálných císel R a její nejvetší
  algebraické komutativní nadteleso, množina
  komplexních císel C.
• Kvaterniony, nejvetší algebraické nadteleso
  množiny reálných císel.
• Množina zbytkových tríd Zp pro každé prvocíslo p.

29
Konecná telesa

• Konecná telesa jsou vždy komutativní.