Pre-algebra

1
Pre-algebra

• Antonín Jancarík

2
Sylabus

• Výrok, promenná a konstanta, výroková forma, její
  definicní obor a obor pravdivosti. Složené výroky
  a výrokové formy, urcování pravdivostních hodnot
  u složených výroku. Ekvivalentní výroky,
  tautologie, kontradikce. Výroky s obecným a
  existencním kvantifikátorem, jejich negace.
• Intuitivní prístup k pojmu množina, prvek množiny
  a systém množin. Rovnost množin a inkluze.
  Základní množinové operace. Systém podmnožin dané
  množiny, rozklad množiny na bloky (trídy).

3
Sylabus

• Císelné množiny Prirozená císla a matematická
  indukce celá císla, delitelnost v oboru celých
  císel reálná a komplexní císla, jejich
  znázornení na prímce a v rovine
• Binární relace na množine, vlastnosti binárních
  relací, spec. ekvivalence a usporádání na
  množine. Zobrazení množiny do množiny a jeho
  vlastnosti.
• Binární operace na množine a základní vlastnosti
  operací. Základní algebraické struktury (grupa,
  císelné teleso) a jejich vlastnosti.
• Algebraická rovnost a nerovnost. Algebraická
  rovnice a nerovnice, jejich rešitelnost a rešení
  v jednodušších prípadech.

4
Požadavky k zápoctu

• Vypracování seminární práce, ci jiná záslužná
  cinnost
• 2 testy
• Práce na e-learningovém kurzu
• Forma zkoušky písemná a ústní

5
Pohled do historie

• Výraz Algebra pochází z arabštiny a jeho
  základem je slovo ????? (al-jabr). Al-jabr
  znamená dávat neco dohromady (stejné slovo se
  používá napríklad pri lécbe zlomenin).
• Spis perského matematika Mu?ammada ibn Musa
  al-Kwarizmiho, nazvaného Al-Kitab al-Jabr
  wa-l-Muqabala (Souhrnné pojednání o pocítání
  pomocí doplnování a vyrovnávání).

6
Algebra

• Až do konce 18. stol. se algebra zabývala
  predevším rešením soustav rovnic.
• Na pocátku devatenáctého století se zacala
  zabývat strukturami (množinami, na kterých jsou
  definované nejaké operace) a vztahy mezi nimi.
• Za zakladatele moderní abstraktní algebry je
  všeobecne považován Évariste Galois.

7
Výroková logika
8
Výrokové formule

• Atomické výrokové formule jsou základním kamenem
  výrokového poctu. Jedná se o jednoduchá,
  srozumitelná tvrzení u nichž lze rozhodnout o
  jejich pravdivosti.
• U každého atomického výroku musíte být schopni
  rozhodnout, zda je pravdivý, ci nepravdivý.

9
Výrokové formule

• Výrokové formule tvorí jak atomické výroky, tak
  tvrzení, která vznikají z atomických formulí
  pomocí logických spojek.

10
Výrokové spojky
11
Negace

• Negace mení pravdivostní hodnotu výroku.
• Je-li výrok pravdivý, jeho negace je nepravdivá a
  naopak je-li výrok nepravdivý, jeho negace je
  pravdivá.

12
Implikace

• Implikace (z lat. implicatio, propletení,
  zahrnutí) .
• Implikace se skládá ze dvou cástí predpokladu a
  dusledku.
• Implikace je nepravdivá pouze tehdy, pokud
  pravdivý predpoklad, ale nepravdivý dusledek.

13
To nevyplývá! (non sequitur)

• Doložení vyplývajícího
• Predpokládá, že automaticky platí i opacná
  implikace.
• Každý policista je státní zamestnanec. Já jsem
  státní zamestnanec, a tudíž musím být policista.
• Zamítnutí predešlého
• Ríká, že v prípade neplatnosti predpokladu nemuže
  platit ani záver. Implikace pritom neríká vubec
  nic o tom, co se stane, když predpoklad nebude
  platit.
• Rekl, jestli mi nedáš bonbón, kopnu te. Takže
  když mu bonbón dám, nemuže me kopnout.
• Inkonzistence
• Klam založený na tvrzení, že jsou pravdivé dva
  odporující si výroky. Muže být založen i na
  používání obecných pravidel místo výjimek a
  naopak (vizte statistické sylogismy).
• V žádném prípade neútocím na živé bytosti. Toho
  tucnáka jsem zastrelil, protože do me kloval.
  Proto splnuji predpoklady pro funkci
  MírumilovnéhoOchráncePrírody.

14
Implikace
A B A?B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
15
Konjunkce
A B A B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
16
Disjunkce
A B A v B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
17
Ekvivalence
A B A ? B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
18
Výroková logika
19
(A?B)
A B B    A?B   (A?B)
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
20
Tautologie