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Grafos

• Árvores (introdução)
• Anjolina Grisi de Oliveira
• Obs vários slides foram cedidos por
• Adolfo Almeida Duran (UFBA)

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Árvores

• Uma árvore é um grafo conexo não orientado e sem
  circuitos simples

3

• Uma floresta é um grafo cujas componentes conexas
  são árvores

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• Teorema
• Um grafo não orientado é uma árvore se e somente
  se existe um único caminho simples entre qualquer
  par de vértices.
• Prova
• Assuma que G é uma árvore. Logo G é um grafo
  conexo e sem circuitos simples. Sejam x e y dois
  nós de G. Logo, como G é conexo, existe um
  caminho simples entre x e y. Adicionalmente, esse
  caminho é único, pois se existisse um outro
  caminho, o caminho formado através da combinação
  do caminho de x até y com o segundo caminho
  começando por y e chegando a x formaria um
  circuito, o que contraria a hipótese de que G é
  uma árvore.

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• Árvore EnraizadaUma árvore T (V,E) é
  denominado enraizada quando algum vértice v é
  escolhido como especial. Esse vértice v é a raiz
  da árvore.

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• Árvore Enraizada
• Usualmente representamos graficamente a raiz no
  topo. Podemos transformar uma árvore sem raiz
  numa árvore enraizada simplesmente escolhendo um
  vértice como raiz.

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• Árvore Enraizada

ancestrais de je,c descendentes de
ji,k pai de je filhos de ji,k nível
de j2 altura da árvore 3 folhasb,a,i,k,f,h,
d
Raiz c
8

• Árvore Enraizada

O nível de um vértice é o tamanho do único
caminho da raiz até ele. nível de j2 A
altura da árvore é o maior nível entre os nós. É
o tamanho do maior caminho da raiz até uma das
folhas. altura da árvore 3
Raiz c
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• Árvore EnraizadaA raiz de uma árvore não possui
  pai, e todo vértice v diferente de r, possui um
  único pai.
• Uma folha é um vértice que não possui filhos.
• Vértices que possuem filhos são chamados de
  vértices internos.
• Quando a raiz é o único nó do grafo ela é uma
  folha.
• O nível da raiz é zero, de seus filhos é 1. O
  nível de um nó é igual ao nível de seu pai mais
  um.
• Para dois vértices irmãos v e w,
  nível(v)nível(w).
• A altura de uma árvore é o valor máximo de
  nível(r) para todo vértice v de T.

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• Subárvore Seja T(V,E) uma árvore enraizada e v
  ? V.
• Uma subárvore Tv de T é uma árvore enraizada cuja
  raiz é v, definida pelo subgrafo induzido pelos
  descendentes de v mais o próprio v.
• A subárvore de raiz v é única para cada v ? V.

s
v
u
v
t
x
w
x
w
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• Árvore m-ária
• Uma árvore enraizada é chamada de m-ária se todo
  nó interno não possui mais que m filhos. A árvore
  é chamada árvore m-ária cheia se todo nó interno
  possui exatamente m filhos. Uma árvore m-ária com
  m2 é chamada de árvore binária.

Binária
3-ária
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• Árvore m-ária
• A árvore é chamada árvore m-ária cheia se todo nó
  interno possui exatamente m filhos. Uma árvore
  m-ária com m2 é chamada de árvore binária.

s
u
v
t
x
z
-
w
Binária cheia
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• Árvore m-ária
• Uma árvore enraizada m-ária de altura h é
  balanceada se todas as folhas estão no nível h ou
  h-1.

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• Árvore Balanceada?

h3 Nível(a) 1 Não está balanceada
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• Árvore Enraizada OrdenadaNa definição de árvore
  enraizada, é irrelevante a ordem em que os filhos
  de cada vértice v são considerados.
• Caso a ordenação seja relevante a árvore é
  denominada enraizada ordenada.
• Assim, para cada vértice v pode-se identificar o
  primeiro filho de v (o mais a esquerda), o
  segundo filho (o segundo mais a esquerda), etc.

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• Árvores

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• Árvore enraizada ordenada
• No caso de árvores binárias, se um nó interno
  possui dois filhos, temos o filho da esquerda e o
  filho da direita
• A árvore cuja raiz é o filho da esquerda de um
  vértice é chamada de subárvore da esquerda desse
  vértice.

b
a
e
b
d
c
d
e
Subárvore da esquerda de a
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• Teorema
• Uma árvore com n nós possui n-1 arestas.

Prova Definimos uma bijeção entre as arestas e os
vértices diferentes da raiz, de forma que
associamos cada vértice terminal de uma aresta
com ela própria. Como existem n-1 nós além da
raiz, logo existem n-1 arestas na árvore.
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• Teorema
• Uma árvore m-ária cheia com i nós internos contem
  n mi 1 nós.

Prova Cada vértice com exceção da raiz é filho de
um nó interno. Como cada um dos i nós internos
possui m filhos, existem mi nós na árvore além da
raiz. Consequentemente, a árvore contem n mi
1 nós.
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• Teorema
• Uma árvore m-ária cheia com
• n nós possui i(n-1)/m nós internos e
  l ((m-1)n 1)/m folhas
• i nós internos possui n mi 1 nós e f (m-1)i
  1 folhas
• f folhas possui n (mf 1)/ (m-1) nós e i
  (f-1)/(m-1) nós internos

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• Teorema - Prova
• Uma árvore m-ária cheia com
• n nós possui i(n-1)/m nós internos e
  l ((m-1)n 1)/m folhas
• Vimos que n mi 1, logo i (n-1)/m.
• Temos também que n i f, onde f é o número de
  folhas.
• Logo, f n i
• f n (n-1)/m (mn (n-1))/m (mn n 1)/m
  
• ((m-1)n 1)/m

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• Exemplo
• Suponha que alguém iniciou uma corrente de
  cartas. Cada pessoa que recebe a carta é
  convidada a enviá-la para outras quatro pessoas.
  Quantas pessoas receberam a carta, incluindo a
  pessoa que iniciou a corrente, se nenhuma pessoa
  recebeu mais que uma carta e se a corrente acabou
  depois que 64 pessoas leram a carta e não mais a
  enviaram? Quantas
• pessoas enviaram a carta?

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• Solução
• A corrente pode ser representada usando uma
  árvore 4-ária. Os nós internos correspondem às
  pessoas que enviaram a carta, e as folhas às
  pessoas que não a enviaram.

Temos que 64 pessoas não enviaram a carta. Assim
o número de folhas f é igual a 64.
Temos n i f e n mi 1.
Logo 64 i 4.i 1 gt 3.i 63 gt i 21
Resposta 21 pessoas enviaram a carta
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• Teorema
• Existem no máximo mh folhas em uma árvore m-ária
  de altura h.
• Prova por indução sobre a altura

Cada uma dessas subárvores possui altura no
máximo h-1. Portanto, pela H.I. existem no máximo
mh-1 folhas em cada uma delas. Como existem no
máximo m dessas subárvores, cada uma com no
máximo mh-1 folhas, então existem no máximo
m.mh-1 mh folhas.
? h-1
? h-1
? h-1
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• Aplicações Árvore binária de busca
• Busca de itens numa lista.
• Cada vértice é rotulado por uma chave de forma
  que a chave de um vértice é maior do que as
  chaves de todos os nós da subárvore da esquerda e
  menor do que as chaves dos nós da subárvore da
  direita.

55
30
80
90
35
20
45
32
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• Construindo uma árvore binária de busca
• Procedimento recursivo que recebe uma lista de
  itens.
• O primeiro item da lista é a raiz da árvore.
• Para adicionar um novo item compare-o com os nós
  que já estão na árvore comece pela raiz e siga
  para a esquerda se o item é menor que o item que
  rotula o nó que está sendo comparado ou siga para
  a direita, caso contrário. Quando o novo item é
  menor que um item cujo nó não tem filho da
  esquerda, adicione-o como filho da esquerda desse
  nó. Analogamente, quando o item é maior que o
  item cujo nó não tem filho da direita, adicione-o
  como filho da direita desse nó,

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• Construindo uma árvore binária de busca
• Construa uma árvore binária de busca a partir da
  seguinte lista
• 55,30,80,90,35,32,20,45

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• Exemplo árvore binária de busca
• Use a ordem alfabética para construir uma árvore
  binária de busca com as palavras da seguinte
  frase
• O título de uma das músicas de sucesso do cantor
  Bruno Mars é The Lazy Song.

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• Caminhado em árvores enraizadas e ordenadas
• Procedimento universal para ordenar os seus nós
• Rotule a raiz com o inteiro 0. Em seguida
  rotule seus k filhos da esquerda para direita com
  1,2,3,....,k.
• Para cada vértice v no nível n com rótulo A,
  rotule seus k filhos da esquerda para a direita
  com A.1, A.2, ...A.k.

30
Exemplo
0
3
1
2
1.1
3.1
1.2
3.2
3.3
1.1.1
1.1.2
3.1.2
3.1.1
1.1.2.1
1.1.2.3
1.1.2.2
31

• Procedimento universal para ordenar os nós
• Podemos ordenar os nós usando a ordem
  lexicográfica de seus rótulos.
• x1.x2....xn lt y1.y2....ym se
• existe um i, 0 ? i ? n, com x1 y1, x2y2,
  ...xi-1 yi-1 e xilt yi ou
• n lt m e xiyi, para i 1,2,...,n.

32

• Caminhamento em pré-ordem
• Seja T uma árvore enraizada e ordenada com raiz
  r. Se T possui apenas r, então o caminhamento em
  pré-ordem de T é r. Caso contrário, sejam T1,
  T2,... Tn as subárvores de r da esquerda para a
  direita. O caminhamento em pré-ordem começa
  visitando r e continua fazendo um caminhamento em
  pré-ordem em T1, em seguida em T2, e assim
  sucessivamente até que Tn seja percorrida em
  pré-ordem.

33
Exemplo
a
d
b
c
e
g
f
i
h
j
k
m
l
p
o
n
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• Caminhamento em ordem
• Seja T uma árvore enraizada e ordenada com raiz
  r. Se T possui apenas r, então o caminhamento em
  ordem de T é r. Caso contrário, sejam T1, T2,...
  Tn as subárvores de r da esquerda para a direita.
  O caminhamento em ordem começa fazendo um
  percorrendo em ordem em T1 em ordem, em seguida
  visita r, e continua fazendo um caminhamento em
  ordem em T2, em T3 , e finalmente em Tn .

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• Caminhamento em pós-ordem
• Seja T uma árvore enraizada e ordenada com raiz
  r. Se T possui apenas r, então o caminhamento em
  pós-ordem de T é r. Caso contrário, sejam T1,
  T2,... Tn as subárvores de r da esquerda para a
  direita. O caminhamento em pós-ordem começa
  percorrendo T1 em pós-ordem, em seguida T2, T3 ,
  ... Tn , e finaliza visitando r.

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• Notação infixa, pré-fixa e pós-fixa
• Podemos representar expressões complicadas, tais
  como proposições compostas, combinações de
  conjuntos, e expressões aritméticas usando
  árvores enraizadas ordenadas.
• O nós internos representam operações
• As folhas representam as variáveis ou valores
• As operações são executadas na subárvore da
  esquerda e depois na direita

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• Notação infixa exemplo
• Árvore que representa a expressão
• ((xy)2) ((x-4)/3)
• A árvore binária é construída de baixo para
  cima.
• Construímos a subárvore (xy), depois a
  incorporamos como parte de uma subárvore maior
  que representa (xy)2.

2
x
y
x
y
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• Notação infixa ((xy)2) ((x-4)/3)
• Do mesmo modo a subárvore (x-4) é construída e
  incorporada à subárvore maior de (x-4)/3

2
x
y
x
y
/
-
-
3
x
4
x
4
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• Notação infixa ((xy)2) ((x-4)/3)
• Por último as subárvore de ((xy)2) e de
• ((x-4)/3) são combinadas para formar a expressão
  toda

/

2
-
3
x
y
x
4
40

• Caminhamento em ordem
• ((xy)2) ((x-4)/3)

/

2
-
3
x
y
x
4
41

• Qual é a forma pré-fixa da expressão
• ((xy)2) ((x-4)/3) ? (notação polonesa)
• Fazemos um caminhamento em pré-ordem
• x y 2 / - x 4 3

/

2
-
3
x
y
x
4
42

• Qual o valor da expressão
• - 2 3 5 / 2 3 4 ?

- 2 3 5 /
2 3
4
- 2 3 5 /
8
4
6
5 2
-
- 2 3 5
/ 8 4
- 6 5

2
- 2 3 5
2
2
1

2 3
5 2
-
2
1

6
5 2
-
3
43

• Qual é a forma pós-fixa da expressão
• ((xy)2) ((x-4)/3) ? Fazemos um caminhamento
  em pós-ordem
• x y 2 x 4 3 /

/

2
-
3
x
y
x
4
44

• Qual o valor da expressão em notação pós-fixa?
• 7 2 3 - 4 9 3 /

7
6
- 4 9 3 /
1 4 9 3 /
1 9 3 /
1 3
4
45

• Encontre a árvore enraizada ordenada que
  representa a seguinte proposição composta
• ((p?q))?(p v q)

?
?
p
q
p
q
v
v






?
?
p
q
q
p
q
p
p
q
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• Forneça a notação pré-fixa e pós-fixa dessa
  expressão ((p?q))?(p v q)

Pré-fixa ??pqvpq
?
Pós-fixa pq?pqv?
v

O caminhamento em ordem colocaria a negação
imediatamente após o seu operando. Isso acontece
sempre com os operadores unários.


?
q
p
p
q
A expressões em notação pré-fixa e pós-fixa não
são ambíguas. Por esse motivo, são utilizadas em
computação. Especialmente na construção de
compiladores
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• Desenhe a árvore enraizada ordenada da seguinte
  expressão aritmética escrita usando a notação
  pré-fixa.
• - 5 3 2 1 4
• Em seguida, escreva a mesma expressão em notação
  infixa.

4
((((5-3)2)1)4)
1

-
2
5
3
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• Mais aplicações de árvores 1 Árvores de decisão
• 2 Código de prefixo
• Pode ser usado em compactação de arquivos ou
  criptografia
• Considere o problema em que letras são
  codificadas por sequências de bits
• Uma maneira de garantir que nenhuma sequência de
  bits corresponde a mais de uma sequência de
  letras, é escolher códigos de forma que a cadeia
  de bits para uma letra nunca ocorre como prefixo
  de uma cadeia de bits de outra letra.

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• Construa a árvore binária com os códigos de
  prefixo que representam os seguintes esquemas de
  codificação 1) a11, e0, r101, s100
• 2) a1,e01,r001, s0001, n00001

1
0
e
1
0
a
1
0
s
r
50

• 2) a1,e01,r001, s0001, n00001

0
1
0
a
1
1
e
0
r
1
s