Representaci

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Representación gráfica de funciones
explícitas1.  

• 1 Funciones explícitas son las que tienen la
  forma yf(x), frente a las implícitas en las que
  no aparece despejada la y. Las funciones
  explícitas son uniformes, es decir, toman un
  único valor en cada punto de su Dominio, por lo
  que sus gráficas no pueden presentar trazos a
  dos alturas sobre un mismo punto de abscisas.

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La representación gráfica de funciones
requiere el estudio previo de diversos aspectos
de la función. Para una representación rápida y
esquemática no es preciso estudiar
exhaustivamente todos esos aspectos, aunque sí
saber elegir aquellos que definan los rasgos más
característicos de la gráfica, según sea el tipo
de función. A continuación se presentan los
diversos aspectos teóricos que podrían
estudiarse, junto con unas notas que servirán de
ayuda en casos concretos. Los primeros forman
parte de los programas de Matemáticas I y II de
Bachillerato que cada estudiante debe conocer. En
cuanto a las notas, debe comprobar los ejemplos
que se presentan y buscar otros similares hasta
verificar las afirmaciones que se hacen y
añadirlas a sus conocimientos. En la práctica,
no encontraremos normalmente las funciones
elementales aisladas, sino otras obtenidas
mediante operaciones con ellas (suma, resta,
producto, cociente y, sobre todo, la
composición1). Por ello es necesario fijarse en
qué medida y de qué modo se heredan las
propiedades de las funciones elementales en las
más complejas de las que forman parte. 1 La
función compuesta de otras se define así f
og(x)f(g(x)). Es una operación que tiene la
propiedad asociativa, pero no la conmutativa.
Ir a Derivabilidad
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1.- Dominio o campo de existencia (D) es el
conjunto de valores de x para los que existe
f(x). Si no se dice explícitamente otra cosa,
(como por ejemplo Sea la función f(x) 3x5, con
1ltxlt3, cuyo dominio es evidentemente el
intervalo abierto 1, 3 ), el dominio será el
más amplio subconjunto de R para el cual tenga
sentido calcular f(x). En ese caso, el dominio
de las funciones elementales es sobradamente
conocido1.   1. Las funciones polinómicas
tienen DR. Las racionales están definidas en R
excepto en los puntos en que se anule el
denominador (las raíces del polinomio
denominador). Las irracionales de índice par no
existen allí donde el radicando sea negativo. Las
exponenciales (cuya base debe ser siempre
positiva y distinta de 1, como 10x, ex, (1/2)x),
están definidas en R. Las logarítmicas (cuya base
tiene la misma restricción anterior) no existen
donde su argumento sea negativo o cero. Las
trigonométricas sen x y cos x tienen DR tg
x y sec x no existen cuando su argumento es
múltiplo impar de ?/2 ctg x y cosec x no
existen cuando su argumento es múltiplo par de
?/2. (El argumento de las funciones
trigonométricas debe tomarse en radianes.)
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• 2.- Intersecciones con los ejes. Con el eje OY se
  obtiene hallando el valor f(0)1. Con el eje OX
  se obtienen resolviendo la ecuación f(x)02.  
• 1. Si 0 no pertenece a D, la gráfica no corta
  al eje vertical. En otro caso siempre habrá un
  único punto de corte con OY.
•  
• 1. Puede haber desde ninguno hasta infinitos
  puntos de corte con OX. Recuérdese que las
  posibles raíces enteras de una función polinómica
  son los divisores del término independiente y
  las posibles raíces racionales son los divisores
  del término independiente partidos por los
  divisores del coeficiente del término de mayor
  grado. Por ejemplo, de 8x3-12x2-2x30 son
  1/2, 1/4, 1/8, 3/2, 3/4, 3/8 las posibles
  raíces fraccionarias (resuélvase). En otros casos
  puede ser difícil resolver la ecuación. El
  teorema de Bolzano permite una localización
  aproximada de las raíces.

1. Dominio
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• 3.-Continuidad. f(x) es continua en a si
• . Y es continua en un intervalo si lo es en todos
  los puntos del mismo1. Gráficamente la
  continuidad implica que puede dibujarse la
  función con un trazo continuo en el intervalo
  considerado.
• 1 Las funciones elementales son continuas en
  su dominio. Por tanto las racionales presentan
  discontinuidades en los puntos que sean raíces
  del denominador de ellos serán evitables
  aquellos que sean al mismo tiempo raíces (de
  igual o mayor orden) del numerador en otro caso
  la discontinuidad es infinita (ver el punto 6,
  asíntotas verticales)
• Una función que presenta discontinuidades de
  salto finito es E(x), parte entera de x, que se
  define como el mayor entero que sea menor o igual
  a x. También son frecuentes las discontinuidades
  en las funciones definidas a trozos (o sea, por
  fórmulas o condiciones diversas en distintas
  partes del dominio). Una función sencilla,
  definida mediante una fórmula, y que presenta una
  discontinuidad de salto finito es

1. Dominio
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•  4.-Simetrías1
• f(x) es simétrica respecto al eje OY si
  f(-x)f(x) (función par2).
• f(x) es simétrica respecto al punto O si f(-x)
  - f(x) (función impar3).
• 1 El conocimiento rápido de la simetría permite
  estudiar la función sólo para xgt0, evitando así
  errores frecuentes al operar con valores
  negativos. Luego se dibuja la otra parte de la
  gráfica simétricamente.
• Una función puede no ser par ni impar, con lo
  que no presentará ninguna de las simetrías
  consideradas. Por otra parte, puede ser
  simétrica respecto a otro punto o eje. Por
  ejemplo si f(x) es par, (o impar), entonces la
  función g(x) f(x-a) b no es par ni impar,
  pero hereda la simetría, aunque desplazada al
  eje x a, (o al punto (a, b)).
•  
• 2 Típicas funciones pares son cos x y las
  polinómicas cuyos términos son todos de grado
  par. Además, si f(x) es par y g(x) cualquiera,
  también es par g(f(x)) en cambio, f(g(x)) no
  hereda la paridad de f.
• 3 Funciones impares típicas son sen x y las
  polinómicas con todos sus términos de grado
  impar. Si f(x) es impar, las funciones f(g(x)) y
  g(f(x)) serán pares, impares, o ninguna de ambas
  cosas, según lo sea o no la función g(x).

1. Dominio
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• 5.-Periodicidad f(x) es periódica1 de periodo
  T si f(xT) f(x).
• Para representar una función periódica bastará
  hacerlo entre 0 y T y repetir el dibujo
  periódicamente.
• 1 De las funciones elementales sólo son
  periódicas sen x, cos x, sec x, cosec x, cuyo
  periodo es 2p y tg x y cotg x cuyo periodo es
  p. Otras funciones periódicas son D(x) (parte
  decimal o fraccionaria de x, que se define así
  D(x) x E(x)) y también las que se definan
  explícitamente como tales.
• Si f(x) tiene periodo T y g(x) es una función
  afín, o sea, g(x) axb., entonces g(f(x))
  tiene periodo T y f(g(x)) tiene periodo T/a .
•  

1. Dominio
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6.1-Asíntotas horizontales

• La recta yb será una asíntota horizontal hacia
  la derecha1 si .
• La recta yh será una asíntota horizontal hacia
  la izquierda si
• 1 Puede haber una o ninguna asíntota horizontal
  por la derecha, y lo mismo por la izquierda. Las
  funciones racionales tienen asíntota horizontal
  si el grado del numerador es menor o igual que el
  del denominador en ese caso la asíntota por la
  derecha y la izquierda es la misma y será la
  recta y0 si el grado del numerador es menor
  que el del denominador, o la recta yq,
  cociente entre los coeficientes de los términos
  de mayor grado, si numerador y denominador tienen
  el mismo grado.
• La exponencial de base mayor que 1 tiene y0
  como asíntota horizontal por la izquierda,
  mientras que por la derecha no es asintótica ( y
  al contrario si la base es menor que 1).
• La función arctg x tiende a por la
  derecha, y a por la izquierda.

1. Dominio
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6.2-Asíntotas verticales

•    La recta xl será una asíntota vertical1 si
  . Para precisar más se
  calcula el límite por la izquierda y por la
  derecha de l. En cualquiera de los casos, si el
  límite es ? el acercamiento a la asíntota es
  hacia arriba, y si fuese -? hacia abajo.
• 1 No hay un método a priori para determinar
  a cuánto debe tender x para que f(x) tienda a
  infinito. Obviamente serán puntos "sospechosos"
  aquellos en que la función deja de existir, o
  sea, los extremos de un dominio abierto, como los
  enumerados en el punto 1. En ellos habrá que
  calcular el límite, por la derecha y por la
  izquierda, en estrecha relación con el estudio
  del signo de la función. Las funciones racionales
  son un caso típico de existencia de asíntotas
  verticales, posibles en los puntos que sean
  raíces del denominador. En cada raiz el límite
  infinito suele tener distinto signo a derecha e
  izquierda (ver el punto 7 sobre el signo de la
  función). Atención la existencia de una raíz del
  denominador no es suficiente para garantizar la
  asíntota vertical, pues si el numerador también
  se anula en ese punto, habrá que resolver la
  indeterminación hasta asegurarse de que el
  límite es infinito.
• Otro caso típico se encuentra en las
  funciones logarítmicas, recordando que
  , por lo que se
  trata de una semiasíntota por la derecha (y hacia
  abajo).

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6.3-Asíntotas oblícuas

• La recta ymxn será una asíntota oblícua1
  por la derecha si
• siendo m y n finitos2.
• De forma análoga puede obtenerse la asíntota
  oblícua por la izquierda (x? -8).
• 1 Si hay asíntota horizontal, no puede haberla
  oblícua de hecho puede haber una asíntota,
  horizontal u oblícua, o ninguna. Esta
  consecuencia de la uniformidad de las funciones
  explícitas es válida hacia la derecha e,
  independientemente, la izquierda.
•  2 El valor de m puede calcularse por la regla
  de L'Hôpital, hallando el límite de f'(x).Si m
  resulta infinito no hay asíntota, sino que se
  trata de una rama infinita, como la de las
  funciones polinómicas de grado mayor o igual a
  dos. Si resulta m0, puede ser la confirmación de
  una asíntota horizontal ya obtenida o, en otro
  caso, una rama infinita del estilo de ln x o de
  . Aún siendo m finito y distinto de cero,
  si n resultase infinito tampoco habrá asíntota
  oblícua es el caso de la función f(x)xln x

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• 7.- Signo de la función. Los intervalos en que
  f(x)gt0 y aquellos otros en que f(x)lt0 se separan
  por las intersecciones con el eje OX y los puntos
  de discontinuidad1 (tales como las asíntotas
  verticales).
• El estudio del signo, junto con el campo de
  existencia y la acotación permite determinar las
  regiones por las que pasa la gráfica y aquellas
  otras que son zonas prohibidas.
• 1 Para las funciones racionales, la gráfica
  suele ir cambiando alternativamente de signo cada
  vez que se pasa por una intersección con OX o una
  discontinuidad, pero no ocurre así en los puntos
  que sean raíces de orden par ya sea en el
  numerador, en el denominador o en el conjunto de
  ambos. La mejor manera de no equivocarse es
  probar con un valor sencillo en cada uno de los
  intervalos. La información obtenida para una
  buena representación hace que merezca la pena
  actuar con cuidado en este punto

1. Dominio
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• 8.-Acotación. f(x) está acotada inferiormente
  en un dominio D si existe un número k tal que
  . Y está acotada
  superiormente si existe k' tal que
  . Se dice que f(x) está acotada1 si lo está
  superior e inferiormente.
• 1 No hay un método general para determinar si
  una función está acotada, ni para determinar sus
  cotas. Pero conviene recordar algunas cosas
• -          Las funciones polinómicas de grado par
  están acotadas inferiormente si el coeficiente
  del término de mayor grado es positivo, y
  acotadas superiormente si fuese negativo.
• -          En particular, el máximo valor de a-x2
  es a , y el mínimo de ax2 es a
• -          Un radical de indice par es siempre
  positivo (acotado inferiormente por 0).
• -          De forma más general, una función cuyo
  signo sea siempre no-negativo (como x21, ex, o
  x ) está acotada inferiormente por 0.
• -          Sen x y cos x están acotadas entre -1
  y 1. Arctg x está acotada entre -??? y ???
  
• -          Si f(x)gt1, entonces 1/f(x) lt 1.
• -          Una función acotada no puede tener
  asíntotas verticales ni oblícuas.
• -          Una exponencial de base mayor que 1 es
  mayor que uno si su exponente es positivo y menor
  que 1 si su exponente es negativo. Ocurre lo
  contrario si la base es menor que 1

.
.
1. Dominio
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• 9.- Derivabilidad. 1 f(x) es derivable en a si
  existe y es finito el
• Se definen también la derivada por la derecha
  (hgt0) y por la izquierda (hlt0).
• f es derivable en un punto si, y solo si, existen
  en ese punto ambas derivadas laterales y son
  iguales.
• 1 Gráficamente la derivabilidad en un punto
  indica la existencia de recta tangente en ese
  punto, y el valor de la derivada indica la
  pendiente de esa recta la derivabilidad en un
  intervalo se traduce en que no hay cambios
  bruscos en la curvatura de la gráfica, no hay
  picos.
• La continuidad en el punto es condición necesaria
  para la derivabilidad. Así pues, en los puntos de
  asíntota vertical (caso de f(x)1/x en x0), que
  son discontinuidades, no puede existir la
  derivada. No obstante, el "valor al que tiende la
  función derivada" en esos puntos, que es
  "infinito" concuerda con el hecho de que la
  pendiente de la asíntota es "infinita". Pero una
  función puede ser continua y no derivable, como
  ocurre con x en el punto 0 las derivadas
  laterales no coinciden.
• Un caso que vale la pena analizar es el que puede
  ejemplificar la función
  que es continua en cero, presenta una curvatura
  suave, incluso existe recta tangente (vertical),
  pero no es derivable en ese punto (la derivada
  por la derecha y por la izquierda resulta 8).

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• 10.      Crecimiento, y decrecimiento
• f(x) es creciente1 en un punto a si existe un
  entorno E(a) tal que, para todo par de puntos,
  x, x pertenecientes al E(a), si xltx
  implica f(x) es menor o igual que f(x)
• Se verifica que si existe la derivada y es
  positiva ( f'(a)gt0), entonces f es
  estrictamente creciente en a, o sea, la recta
  tangente en el punto a va hacia arriba.
• Análogamente se define f(x) es decreciente en un
  punto a ... ... ... si xltx implica f(x) es
  mayor o igual que f(x)
• Y si f'(a)lt0, entonces f es estrictamente
  decreciente en a, o sea, la recta tangente en el
  punto a va hacia abajo.
• 1 La definición de f creciente está hecha en
  sentido amplio y se traduce gráficamente en que
  la función "no baja" en un entorno de a. Puede
  darse también la definición de f estrictamente
  creciente en a, poniendo f(x)ltf(x), lo que
  gráficamente se traduce en que la función "sube"
  en el entorno de a.

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• 11.  Monotonía1
• A).   f(x) es monótona creciente o simplemente
  creciente en un intervalo si la condición si
  xltx entonces f(x) es menor o igual que f(x)
  se cumple para todo par de puntos del intervalo.
  (Gráficamente la función no baja)
• Se verifica que si entonces
  f es monótona creciente en a,b.
• B). f(x) es monótona decreciente o simplemente
  decreciente en un intervalo si la condición si
  xltx entonces f(x) es mayor o igual que f(x) se
  cumple para todo par de puntos del intervalo.
  (Gráficamente la función no sube)
• Si entonces f es
  monótona decreciente en a,b
• 1 Con las definiciones que se dan, una función
  constante es monótona creciente y monótona
  decreciente a la vez. Las condiciones xltx
  implica f(x)ltf(x) , y, xltx implica
  f(x)gtf(x) respectivamente significan funciones
  crecientes y decrecientes en sentido estricto, y
  no las cumplen las funciones constantes.

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• 12.1   Máximos y mínimos (I)
•       f(x) tiene un máximo relativo1 en el
  punto a si en un E(a) se cumple
• Se verifica que si f tiene un máximo o un mínimo
  en a y existe2 f(a), entonces f(a)0
• 1 No hay acuerdo general a la hora de tratar
  una función definida en un intervalo cerrado
  a,b cuando se consideran los extremos del
  mismo. Para algunos, ninguna función puede
  alcanzar un máximo o mínimo relativo en tales
  puntos, ya que no se puede hablar de su
  comportamiento en un entorno de los mismos, pues
  la función "desaparece al otro lado". Pero parece
  más razonable modificar la definición como caso
  excepcional para poder aplicarla a los extremos
  de un intervalo cerrado tomando semientornos por
  la derecha en a o por la izquierda en b. Un caso
  curioso, para alimentar ese debate, es el que
  puede ejemplificar la función
  que no tiene máximo
  relativo en 0, aunque sí lo tendría
  considerándola definida en cualquier intervalo
  con extremo superior en 0.
•  
• 2 No debe simplificarse erróneamente esta
  propiedad identificando "existencia de máximo o
  mínimo en a" con "f'(a)0". Primero, porque puede
  existir un máximo o mínimo sin que la función sea
  derivable en ese punto y, segundo, porque f'(a)0
  solo implica la existencia de un "punto con
  tangente horizontal", que puede ser máximo,
  mínimo o punto de inflexión. Sendos ejemplos, en
  D-1,1 f(x)x , y f(x)x3.

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• 12.1  Máximos y mínimos (II)
•       f(x) tiene un máximo absoluto en un
  intervalo, I, si existe un punto a del intervalo
  tal que .Esta definición sí
  es generalizable a todo el dominio, D, y entonces
  se habla simplemente de el máximo de la
  función, o sea, con un determinante en singular
  y sin especificativo.
• De manera análoga se definen los conceptos de
  mínimo relativo y absoluto. La definición
  proporciona un criterio para determinar si una
  función tiene un máximo1 o mínimo en un punto.
  Ese criterio puede usarse con todo tipo de
  funciones, aunque no sean derivables ni siquiera
  continuas2.
• 1 Si no se especifica nada debe entenderse
  relativo.
•  
• 2 Para funciones continuas en a y derivables en
  un entorno reducido de a (o sea, excluyendo al
  propio punto a, donde puede no ser derivable)
  puede usarse otro criterio, el del signo de la
  derivada si f'(x)gt0 en un semientorno a la
  izquierda de a y f'(x)lt0 en un semientorno a la
  derecha, la función tiene un máximo relativo en
  a. Análogamente se establece la condición de
  mínimo.

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• 13.  Concavidad, convexidad y puntos de
  inflexión.
• Diremos que f es cóncava en un intervalo si
  para todo par de puntos de ese intervalo el arco
  de la curva está por encima de la cuerda, o sea,
  ?. Y diremos que es convexa en el intervalo si
  para todo par de puntos del mismo, el arco está
  por debajo de la cuerda, o sea, ?1.
• Diremos que f es cóncava en un punto si existe
  un entorno de dicho punto en el cual es cóncava.
  Análogamente para la convexidad en un punto.
• Diremos que f tiene un punto de inflexión en (a,
  f(a)) si en ese punto cambia de curvatura, es
  decir, pasa de cóncava a convexa o viceversa2.
• 1 En algunos libros aparecen al revés los
  conceptos de cóncavo y convexo. Todo depende del
  punto de vista en nuestro caso miraremos la
  gráfica desde abajo si se quiere dar a esos
  términos el sentido que tienen en el lenguaje
  habitual.
•  
• 2 En un punto de inflexión no tiene que
  anularse la derivada, ya que un punto de
  inflexión no es necesariamente horizontal, como
  puede verse en ysen x cuyos puntos de inflexión
  tienen pendiente 1 ó -1. Incluso puede haber
  puntos de inflexión con tangente vertical, como
  ocurre con

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• 14.   Cuadro general para el análisis de
  máximos, mínimos y puntos de inflexión de
  funciones derivables sucesivamente.

Derivabilidad