introducci

1
Convección del Calor - Flujo Interno

• En el flujo interno la capa límite no crece en
  forma indefinida.
• Se pueden obtener sólo unas pocas soluciones
  teóricas. Se trabaja mayormente con correlaciones
  empíricas. Errores de un 10 o más son posibles.
  
• El calentamiento por fricción es muy pequeño.
  Tiene sí una fuerte influencia en la caída de
  presión..
• Se trabaja en forma unidimensional (aunque en
  algunos desarrollos se use 2D).

Consideraciones hidrodinámicas
Además de la diferencia entre flujo laminar y
turbulento, se debe considerar aquí la existencia
de las regiones de entrada y de flujo
completamente desarrollado.
El fluido entra a ve-locidad constante u y crece
la capa lími-te hasta unirse en la línea central.
Se considerará ini-cialmente un tubería
circular de radio r0
2

• Como xcd, h se denominará a la longitud
  hidrodinámica de entrada.
• Se muestra un perfil parabólico para el flujo
  completamente desarrollado, lo cual condice con
  el caso laminar. Para flujo turbulento, el perfil
  es más plano.

• La extensión de la región de entrada depende de
  si el flujo es laminar o turbulento. Se define el
  número de Reynolds para un tubo circular como
• Donde um es la velocidad media y D el
  diámetro. En un flujo completamente desarrollado,
  el Re para el inicio de la turbulencia es
  aproximadamente.

(8.1)
(8.2)
aunque son necesarios Re mucho mayores (
)para tener condiciones completamente
turbulentas. Es probable también que la
transición a la turbulencia comience con el
inicio de la capa límite de la región de entrada.

• Para flujo laminar ( ), la
  longitud hidrodinámica de entrada se estima
  mediante
• Para boquilla convergente y u uniforme.
• Para turbulento, es independiente del Re y se
  puede tomar como primera aproximación.
• Tomaremos en general (x/D) gt 10.

(8.3)
(8.4)
3
Velocidad media
(8.6)
(8.5)
Y combinando 8.1 y 8.5, se tiene
(8.7)
Se tiene que
Luego como
(8.8)
Perfil de velocidad región completamente
desarrollada laminar
Se trabajará con un flujo laminar de un fluido
incompresible de propiedades constantes. Se sabe
que
(8.9)
Por lo cual la velocidad axial depende de r,
u(x,r) u (r). Se parte del conocimiento de que
el flujo de cantidad de movimiento es cero en
cual-quier lugar de la región completamente
desarrollada.
4
Luego la conservación de cantidad de movimiento
se reduce a un balance de fuerzas de corte y de
presión
Y con la ley de visco-sidad de
Newton toma la forma
(8.10)
(8.11)
(8.12)
Y la 8.10 se convierte en
Integrando dos veces
Se obtiene
Con las condiciones de frontera
Donde se ve que el perfil de velocidad para un
flujo laminar completamente desarrollado es
parabólico. El gradiente de presión debe ser
siempre negativo.
(8.13)
5
Al sustituir la 8.13 en la 8.8 e integrar, se
obtiene
Y con este resultado en la 8.13, el perfil de
velocidad es
(8.14)
Luego, como um se puede calcular a partir del
flujo mási-co, esta última ecuación puede usarse
para determinar el gradiente de presión.
(8.15)
Gradiente de presión y factor de fricción en un
flujo completamente desarrollado
La fricción permite determinar la potencia de
bombeo. Conviene trabajar con el factor de
fricción de Moody (o de Darcy), parámetro
adimensional definido como
(8.16)
Que no debe confundirse con el coeficiente de
fricción de Fanning, definido como
(8.17)
(8.18)
Y como
, se encuentra utilizando 8.13 que
Sustituyendo las ecuaciones 8.1 y 8.14 en la
8.16, se tiene para un flujo laminar
completamente desarrollado
(8.19)
En el análisis de flujo turbulento completamente
desarrollado se deben utilizar resultados
experimentales. En el diagrama de Moody se
representan los factores de fricción.
6
(7.2)
7
Para superficies suaves (lisas) se pueden usar
las siguientes formulaciones
(8.20a)
(8.20b)
Perukhov propuso pa-ra un intervalo amplio
(8.21)
Chen pro-puso para Re gt2100
Se ve entonces que dp/dx es una constante en la
región completamente desarrollada y luego, de
8.16, tenemos
(8.22a)
Donde f se obtiene del diagrama de Moody o de la
ecuación 8.19 para flujo laminar y de las
ecuaciones 8.20, 8.21 para superficies suaves o
de la ecuación de Chen para cualquier situación
de flujo turbulento.
(8.22b)
La potencia que se requiere luego para vencer la
resistencia al flujo asociado con esta caída de
presión es
8
Consideraciones térmicas
Si se supone que el fluido entra a una
temperatura inferior a la de la pared del tubo,
se producirá una capa límite térmica como se
muestra en la figura.
Asimismo, si se impone la condición de Ts
constante o qs constante, se alcanza finalmente
una condición térmica completamente desarrollada.
Para flujo laminar la longitud de entrada térmica
se puede expresar como Comparando con la 8.3, si
Prgt1 , dándose lo inverso
si Prlt1
(8.23)
9
Para Pr muy grandes, como aceites (Pr 100),
xfd, h es mucho menor que xfd, t y es razonable
asumir un perfil de velocidad completamente
desarrollado en toda la región de entrada.
Para flujo turbulento las condiciones son casi
independientes del Pr y se supone como primera
aproximación que
Temperatura media
(8.24)
Se define en términos de la energía térmica
transportada por el fluido cuando pasa una
sección transversal
(8.25)
(8.26)
Así, si definimos
se tiene
(Rapidez a la que se transporta energía térmica)
Y para un flujo incompresible en un tubo circular
con cv constante, de 8.5 y 8.26 se tiene que
(8.27)
Ley de enfriamiento de Newton
Donde h es el coeficiente local de transferencia
de calor por convección. dTm/dx nunca es cero si
hay transferencia de calor.
(8.28)
10
Condiciones completamente desarrolladas
Si hay transferencia de calor, nunca dTm/dx, ni
?T/?x en cualquier r, serán igual a cero y
parecería que nunca se encontrará una condición
completamente desarrollada. Esto se sobrelleva
trabajando con una forma adimensional de la
temperatura. Se plantea entonces
Condición que se alcanza cuando hay un flujo de
calor superficial uniforme o una temperatura
constante en la pared.
(8.29)
Como la razón de temperaturas es independiente de
x, la derivada de esta razón con respecto a r
también debe ser independiente de x, y así se
tiene
Y por ley de Fourier, ver figura 8.4
Por lo tanto, en el flujo desarrollado
térmicamente por completo, el coeficiente local
de convección es una constante, independiente de
x. Ver figura siguiente
y con 8.28
(8.30)
Para qs constante, como h también es constante,
se tiene de 8.28
(8.31)
11
Expandiendo la 8.29, se tiene
(8.32)
Y al sustituir de 8.31, se obtiene
(8.33)
Lo cual implica que el gradiente axial de
temperatura es independiente de la posición
radial. Para el caso de temperatura superficial
constante (dTs/dx 0), también de 8.32
(8.34)
Por lo cual en este caso, ?T/?x sí depende de la
coordenada radial.
12
Balance de energía
Por la importancia que tiene Tm , es necesario
saber como varía con la posición a lo largo de un
tubo. También interesa saber como se vincula la
transferencia total de calor por convección qconv
con la diferencia de temperatura entre la entrada
y salida del tubo.
Normalmente los cambios de energía cinética y
potencial como la conducción en sentido axial son
insignificantes. Sólo interesarán entonces los
cambios de energía térmica que se asocien con el
trabajo de flujo. El trabajo de flujo se puede
expresar como p.v , donde v 1/? . Así,
(8.35)
Si se supone que el fluido es un gas ideal
Expresión que también se puede aplicar a líquidos
incom-presibles, con cpcv , ya que d(p.v) es en
general mucho menor que d(cv Tm).
(8.36)
13
(8.37)
La 8.36 aplicada a todo el tubo conduce a
Que es una expresión general que se aplica
independientemente de la naturaleza de las
condiciones térmicas de la superficie o de las
condiciones del flujo.
sustituyendo en 8.28, se tiene
Con 8.36 y Si P es el perímetro del tubo
Que nos da la variación de la temperatura me-dia
en función de la diferencia entre Ts y Tm .
(8.38)
La solución de 8.38 para Tm(x) depende de la
condición térmica de la superficie y para las
condiciones características se encuentran
resultados analíticos.
Flujo de calor superficial constante
(8.39)
En este caso tenemos que
Que se puede usar junto con la 8.37 para
determinar el cambio de temperatura del
fluido. También se ve que el lado derecho de la
8.38 es una constante, por lo cual
(8.40)
E integrando esta expresión desde x 0, se tiene
14
Lo cual muestra que la temp. media varía en forma
lineal con x a lo largo del tubo.
(8.41)
Además, de 8.28 y viendo la figura, la diferencia
de temperaturas (Ts Tm) varía con x primero en
un valor no muy grande debido al alto h a la
entrada y luego hasta independizarse de este
valor de h, como ya fue demostrado. Si el flujo e
calor variara, se debería integrar la 8.38 de
manera convencional.
(a) Flujo superficial de calor constante
b) temperatura superficial constante
15
Temperatura superficial constante
definiendo
de 8.38
Separando varia-bles e integrando
(8.42a)
De la definición de h promedio
Reacomodando
(8.42b)
O en forma más general
(8.43)
Lo cual indica que la diferencia de temperatura
(Ts Tm) disminuye exponencialmente con la
distancia, como se muestra en la figura anterior.
Esto complica la determinación de qconv .
Si expresamos 8.37 de la forma
16
(8.44)
Y sustituir de la 8.42
Donde As P L y ?Tml es la diferencia de
temperaturas media logarítmica
(8.45)
Se puede decir que la 8.44 es una forma de la ley
de enfriamiento de Newton para todo el tubo, y
?Tml es el promedio apropiado de la diferencia de
temperaturas a aplicar. Este razonamiento es
aplicable a fluidos externos, donde se puede
utilizar T8 en vez de Ts y el h promedio ser
reemplazado por U promedio (coeficiente global
promedio de transferecia de calor). Para tales
casos, se tiene
(8.46a)
(8.47a)
Expresión que se corresponde con la aplicación
para bancos de tubos, analizada anteriormente
como un caso de flujo externo.
17
Flujo laminar en tubos circulares análisis
térmico y correlaciones de convección
Región completamente desarrollada
ecuación de la energía escrita en coordenadas
cilíndricas
Para la región completamente desarrollada se
cumple que
Y para flujo de calor constante se tiene además
Sustituyendo de acuerdo a la 8.33 y la 8.15, la
ecuación de la energía se reduce a
(8.49)
Donde es
una constante. Separando variables e integrando
dos veces
18
Del requerimiento de que la temperatura
permanezca finita en r0, se tiene que C1 0. De
que T(r0) Ts, donde Ts varía con x, se tiene
Luego, para región completamente desarrollada con
flujo de calor superficial constante, el perfil
de temperaturas es
(8.50)
Entonces, si los perfiles de temperatura y
velocidad (8.50 y 8.15) se sustituyen en 8.27 y
se integra sobre r, se encuentra que la
temperatura media es
Y de la 8.40 y el flujo másico en función de la
velocidad media.
(8.51)
Que combinado con la ley de enfriamiento de
Newton, da
(8.52)
ó
(8.53)
Luego, en un tubo circular con un flujo de calor
superficial uniforme y condiciones laminares
completamente desarrolladas, el Nu es constante,
independiente de ReD, Pr y la posición axial
19
Con un procedimiento similar, para condiciones
laminares completamente desarrolladas, con una
temperatura superficial constante, con las
sustituciones adecuadas la ecuación de energía se
vuelve
(8.54)
La solución de esta ecuación no es sencilla, pero
mediante procedimientos iterativos, se puede
demostrar que se obtiene un número de Nusselt de
la forma
(8.55)
Región de entrada
La solución de la ecuación de la energía para la
región de entrada es muy difícil de obtener ya
que depende de r y de x .
20
(No Transcript)
21
(8.56)
(8.57)