MONTE CARLO METODUNA GIRIS

1
MONTE CARLO METODUNA GIRIS

• Yrd. Doç. Dr. Nilgün DEMIR
• Uludag Üniversitesi
• Fen Edebiyat Fakültesi
• Fizik Bölümü Bursa
• dnilgun_at_uludag.edu.tr

NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
2
Monte Carlo Metod??
Monte Carlo
Simülasyon Teknigi
Sadece sistemi tanimlar, Onu optimize etmez.
Hedef gerçek bir sistemi tam ve dogru olarak
tanimlayan deneysel sistem kurmak.
Simülasyon modelleri 3 genel özellik ile ele
alinabilir 1. Fonksiyonel Özellik Deterministik
özellik Gerçek bir modeldir. Simülasyon sonucu
her bir tekrar için aynidir. Stokastik özellik
Bu model gelisigüzel bir yapiya sahiptir.
Simülasyon sonucu her bir tekrar çalismada ayni
olmaz. 2. Zamana Baglilik Statik özellikBu
model zamana bagli degildir. Dinamik özellik
Bu model, incelenen süreç boyunca pek çok zaman
araliklarinda degisim gösterir. 3. Giris
Verisi Kesikli özellik Giris verisi kesikli
olasilik yogunluk fonksiyonuna sahiptir. Sürekli
özellik Giris verisi sürekli olasilik yogunluk
fonksiyonuna sahiptir.
NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
3
Monte Carlo simülasyonlari, Gerçek Stokastik
simülasyonlardir Baslangiç durumun dagilim
fonksiyonlarindan yola çikarak son
durumu tanimlar. Statik (kolay) ya da dinamik
(zor) olabilir.

• Herhangi bir süreç bir çok sebepten dolayi
  gelisigüzel bir karakteristik gösterebilir.
  Bunlarin baslicalari söyle siralanabilir
• Gerçek bir fiziksel süreç olaylarin büyük
  ölçeklerde gözlemlendigi gibi stokastiktir.
• Süreç, bilgi eksikligimizden dolayi sürecin
  gelisigüzel gösterilmesinde oldugu gibi büyük
  ölçekli dalgalanmalara dayanir.
• Sistem için kurulan model, sistemin sürecini
  yeteri derecede temsil etmeyebilir.
• Süreç insan davranislarina da baglidir.
• Sonuç olarak kesin bilgi sahibi olamadigimiz bir
  yani varsa bu süreç
• gelisigüzel (stokastik) bir özellik gösterir.

NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
4
Stokastik modeller, olayi karakterize eden
gelisigüzel degiskenlerin özelligine bagli olarak
degisir. Degiskenler kesikli veya sürekli
olabilir, zamanla süreklilik degisebilir veya
zamanin belirli bir aninda degerler alabilir.
Mesela is gücü degisiminde (akiskanlik, devri)
isçinin isini ne zaman degistirecegini
kestiremeyiz. Bu süreç probabilistik olarak
tanimlanabilir. Benzer sekilde bir madde içinde
hareket eden parçacigin hangi etkilesmeleri
yapacagi veya hangi açilarda saçilacagi
olasiliklar dahilindedir.
Stokastik bir modelden istenen öncelikli sayisal
degerler söyle belirtilebilir (1) - zamanin
bir fonksiyonu olarak durum degiskenlerinin
ortalama degeri, (2) zamanin bir fonksiyonu
olarak durum degiskenlerinin degisimi, (3)
çesitli durum degiskenleri arasindaki bagimsizlik
derecesi.
NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
5

' i
NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
6
Sonuç olarak, Monte Carlo metodunu gerçek bir
durumun stokastik modelini olusturup, bu model
üzerinden örnekleme deneyleri hazirlama teknigi
olarak tanimlayabiliriz. Bu tip simulasyonlar,
stokastik yapida birbiriyle iliskili çok sayida
degiskene sahip sistem çiktilarinin
çalisilmasinda kullanilmaktadirlar.
Monte Carlo metodlari, bilgisayarda analitik
olarak ele alinmasi mümkün olmayan gelisigüzel
davranislari incelemek için kullanilir.Hesaplamala
rin çogu düzgün dagilimli, çesitli istatistiksel
testleri saglayan ve (0,1) araliginda üretilen,
tekrarlanabilir, sözde gelisigüzel sayilara
dayandirilir. Gerçekte bu sayilar düzgün
dagilimli ve birbirinden bagimsiz degildir. Bu
nedenle bilgisayarda Üretilen bu sayilara sözde
gelisigüzel sayilar denir.
NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
7
Monte Carlo Metodun Tarihsel Gelisimi
Stanislaw Ulam 1909 - 1984
Stanislaw Ulam, II. Dünya savasinda Manhatten
projesinde yer alan ve nükleer silahlarin
tasarimini amaçlayan polonyali bir
matematikçidir. Los Alamos ta iken Nükleer
reaksiyon teorilerinde karsilasilan kompleks
integrallerin çözümü için Monte Carlo Metodu nu
önermistir. (Fermi ve digerlerinin daha önce buna
benzer bir metod kullandigini bilmez) Bu önerme,
Von Neumann, Metropolis ve arkadaslari
tarafindan Monte Carlonun daha sistematik
gelisimine yol açmistir.
NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
8
John Von Neumann (1903 1957)
Von Neumann, yeni gelisen elektronik hesaplama
tekniklerini kullanarak istatistiksel örnekleme
yapma fikri ile anilir. Ona göre, fisyon
olaylarinda nötron zincir reaksiyonlarinin
davranislari bu yöntemle açiklanabilirdi.
Özellikle nötron çarpisma oranlari tahmin
edilebilir ve fizyon silahlarinin patlayici
davranislari öngörilebilirdi. 1947 de bu durumu,
Robert Richtmyer e ( Los Alamos un Teorik
Kisim basakni) yazdi.
NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
9
Nicholas Metropolis (1915-1999)
Metropolis, Pensilvanya üniversitesinde 1948
yilinda kurulan dünyanin ilk elektronik dijital
Bilgisayarinda (ENIAC) ilk gerçek Monte Carlo
hesaplamasini gerçeklestridi.1953 te Metropolis
algoritmasi makale halinde yayinlandi. Bu
algoritma, bilim ve mühendislikte hesaplamalar
alaninda en popüler 10 algoritma arasina
yerlesti. 20. yüzyilda bilim ve mühendislik
alaninda gelismelere çok büyük katkilar sagladi.
NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
10
SIMÜLASYONUN AVANTAJLARI

• Bir sistemin modeli kurulduktan sonra farkli
  durumlar için
• tekrar tekrar kullanilabilir.
• Sistem verilerinin detayli olmadigi durumlarda
  elverislidir.
• Sistemdeki kompleks yapilari analiz etme ve
  bunlar üzerinde denemeler
• yapmaya imkan saglar.
• Sonuçlari çok uzun zaman sonra alinacak
  sistemlerin daha kisa sürede
• çözümlenmesini saglar.
• Modellenen sistemi degistirmeden yeni fikir ve
  politikalarin model
• üzerinde rahatça uygulamasina olanak verir.
• Kullanici simülasyonu istenen zamanda durdurup
  yeniden
• baslatabildiginden deney kosullar üzerinde tam
  bir kontrole sahiptir.
• Simulasyon, analitik çözümlerin dogrulugunu
  ispatlamak üzere kullanilabilir.
• Simule edilen sistemin ayrintili gözlemlenmesi
  daha iyi anlasilmasini,
• daha önce görülmemis eksikliklerin giderilmesini,
  daha etkin fiziksel ve
• operasyonel sistemin kurulmasini saglayabilir.
• Analistleri daha genel düsünmeye zorlar.

NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
11
SIMÜLASYONUN DEZAVANTAJLARI

• Arastiricilar simulasyon teknigini ögrendikten
  sonra onu analitik yöntemlerin daha uygun oldugu
  durumlarda da kullanma egilimindedirler (Craig,
  2004).
• Genel olarak her bir sistem için ayri bir program
  yazma geregi vardir. Simulasyon dilleri bu
  mahsurlari bir dereceye kadar ortadan
  kaldir-mistir.

NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
12
MONTE CARLO METODUN UYGULAMA ALANLARI

• MC yöntemleri, Fizik ve Mühendislik alanlarinda
  pekçok uygulama alani bulmustur. Bunlardan
  baslicalari
• Matematik Sayisal Analiz
• Fizik Dogal olaylarin simülasyonu
• Fizik Atom ve Molekül Fizigi, Nükleer Fizik ve
  özellikle Yüksek Enerji Fizigi modellerini test
  eden simülasyonlar
• Mühendislik Deneysel aletlerin (örnegin
  detektör) simülasyonu
• Biyoloji Hücre Similasyonu
• Ekonomi Borsa Modelleri
• Istatistik Dagilim Fonksiyonlari

NUPAMC 10-12 Mayis 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi