JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO

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SÉRIES

• JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO
• ginoux_at_univ-tln.fr
  rossetto_at_univ-tln.fr
• http//ginoux.univ-tln.fr
  http//rossetto.univ-tln.fr
• Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon
• Université du Sud,
• B.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, France

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PLAN

• Séries Numériques
• 1. Définitions
• 2. Condition nécessaire de convergence
• 3. Série géométrique
• Séries à termes positifs
• 1. Théorèmes de comparaison
• 2. Règle de Cauchy
• 3. Règle de d'Alembert
• 4. Comparaison avec une intégrale
• 5. Série de Riemann

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PLAN

• Séries à termes de signes quelconques
• 1. Convergence absolue
• 2. Semi-convergence
• 3. Séries alternées
• Séries de fonctions
• 1. Convergence simple et uniforme
• 2. Propriétés

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1. Séries Numériques - Convergence

• Séries Numériques
• Définition
• Soit la suite (Un). On appelle série de terme
• général Un la suite des sommes partielles Sn
• Si (Sn) admet une limite finie S,
• on dit que la série est convergente et a pour
  somme
• Si (Sn) n'admet pas de limite ou une limite
  infinie,
• on dit que la série est divergente

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1. Séries Numériques - Convergence

• Condition nécessaire de convergence
• Pour qu'une série converge il faut que son terme
• général Un tende vers 0 quand
• En effet, si la série converge et
  admettent une
• limite lorsque
• Cette condition n'est pas suffisante !
• Sa réciproque est fausse !
• La contraposée de cette condition permet de
  démontrer
• la divergence d'une série.

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1. Séries Numériques - Convergence

• Ex 1 Soit la série de terme général
  appelée
• série harmonique. Son terme général tend bien
  vers 0
• lorsque Supposons la
  quantité
• Soit,
• Or si la série convergeait tendrait vers une
  limite S
• lorsque et il en serait de même pour
  et
• alors ce qui est en
  contradiction
• avec donc la
  série diverge !

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1. Séries Numériques - Convergence

• Série géométrique
• Soit la série de terme général
• si
• On vérifie que
• 
  la série converge
• la série diverge

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B. Séries à termes positifs Convergence

• Séries à termes positifs
• Théorèmes de comparaison
• Théorème 1
• Soit et deux séries à
  termes positifs tels que
• à partir d'un certain rang.
• Si converge alors converge
• Si diverge alors diverge

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B. Séries à termes positifs Convergence

• Théorème 2
• Soit et deux séries à
  termes positifs telles que
• i.e.,
  lorsque
• Alors les séries et sont de
  même nature, i.e.,
• toutes deux convergentes ou toutes deux
  divergentes

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B. Séries à termes positifs Convergence

• Règle de Cauchy
• Soit une série à terme positifs et
  soit
• Si à partir d'un certain rang Llt 1
• Alors la série est convergente
• Si à partir d'un certain rang Lgt 1
• Alors la série est divergente
• Si L1, on ne peut conclure à l'aide du critère
  de Cauchy

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B. Séries à termes positifs Convergence

• Règle de d'Alembert
• Soit une série à terme positifs et
  soit
• Si à partir d'un certain rang Llt 1
• Alors la série est convergente
• Si à partir d'un certain rang Lgt 1
• Alors la série est divergente
• Si L1, on ne peut conclure à l'aide du critère
  de d'Alembert

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B. Séries à termes positifs Convergence

• 4. Comparaison avec une intégrale
• Soit une fonction positive sur
  ,
• décroissante à partir d'une certaine valeur de
• Alors l'intégrale et
• la série de terme général
  sont de même nature

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B. Séries à termes positifs Convergence

• Série de Riemann
• La série de Riemann de terme général
  avec
• définie par est
• convergente si
• divergente si

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C. Séries à termes de signes quelconques

• Séries à termes de signes quelconques
• Convergence absolue Semi-convergence
• La série est absolument convergente
• si la série est convergente.
• Si la série est absolument
  convergente
• alors la série est convergente.
• La réciproque est fausse !

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C. Séries à termes de signes quelconques

• Semi-convergence
• Si la série diverge et si la série
  est
• néanmoins convergente, alors on dit que la série
• est semi-convergente.

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C. Séries à termes de signes quelconques

• Séries alternées
• La série est dite alternée si son
  terme général
• est alternativement positif et négatif à partir
  d'un certain
• rang, i.e., telle que ,
  
• Théorème 3 Pour qu'une série alternée
  converge,
• il suffit que la valeur absolue de son terme
  général
• tende vers 0 en décroissant, i.e., telle que
• soit décroissante

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D. Séries de fonctions

• Séries de fonctions
• Convergence simple et uniforme
• La série de fonctions converge
  simplement sur
• un intervalle I si la suite
  converge
• simplement sur I.
• La série de fonctions converge
  uniformément sur
• un intervalle I si la suite
  converge
• uniformément sur I.

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D. Séries de fonctions

• Propriétés
• P1
• Si la série de fonctions continues
  sur I converge
• uniformément sur I, alors la fonction définie
  par
• est continue sur I

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D. Séries de fonctions

• Propriétés
• P2 Intégration terme à terme
• Si la série de fonctions continues
  sur
• converge uniformément sur alors

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D. Séries de fonctions

• Propriétés
• P3 Dérivation terme à terme
• Si la série de fonctions dérivables
  sur I
• converge simplement sur I alors la fonction
• est dérivable sur I
  et sa dérivée
• est la fonction

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Chaotic Snail Shell