Peer To Peer (P2P)

1
Ricapitolando.
Sistemi P2P puri
Sistemi Uniformi
Sistemi Non uniformi
Koorde
Neighbor of Neighbor routing (NON)
2
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• The Small World Phenomena
• The six degree of separation experiment S.
  Milgram M67.
• The sociological experiment relied on social
  networks to transmit a letter from a person to
  unfamiliar targets by passing the letter only via
  acquaintances.
• Only a small number (around 6) of steps was
  needed.
• Recent work DRW03, shows that, in the first
  steps the message was forwarded to a person P by
  using a guess on who P knew or, in other words,
  on his/her neighbors.

3
Neighbor of Neighbor routing(NON)
Nel nostro caso è la distanza sullanello in
senso orario

• Sia d(x,y) una metrica per i nodi nella rete.
• Greedy routing
• 1. Supponiamo che il nostro messaggio si trovi
  sul nodo u ? t (destinazione).
• 2. Sia V v1, v2, , vk linsieme dei vicini
  del nodo u.
• 3. Fra questi k nodi, supponiamo sia z il più
  vicino alla destinazinone (rispetto alla metrica
  d).
• 4. Inviamo il messaggio al nodo z.

Può essere iterativo o ricorsivo
4
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Greedy routing

u
t
5
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• 1. Supponiamo che il nostro messaggio si trovi
  sul nodo u ? t (destinazione).
• 2. Sia V v1, v2, , vk linsieme dei vicini
  del nodo u.
• 3. Per ogni 1 i k, siano wi1, wi2, , wik I
  vicinin di vi and sia W wij ? 1 i, j k
  linsieme dei vicini dei vicini di u.
• 4. Fra questi k2k nodi, supponiamo sia z il più
  vicino alla destinazinone (rispetto alla metrica
  d).
• 5.1 Se z ? V inviamo il messaggio al nodo z,
  altrimenti z wij, per qualche i e j, e
  inviamo il messaggio a z attraverso vi.
• 5.2 Se z ? V inviamo il messaggio al nodo z,
  altrimenti z wij, per qualche i e j, e
  inviamo il messaggio a vi.

2 fasi
1 fase
6
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Greedy routing
• NON routing

u
t
u
t
7
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Chord
• Sia n2b, per ogni 0 i lt b, il nodo x è
  connesso ai nodi (x2i) mod 2b
• Il grado è b
• Il diametro è b
• APL è b/2
• R-Chord n2b MNW04
• Sia n2b, per ogni 0 i lt b, sia rx(i) un intero
  scelto in maniera casuale dallintervallo 0,2i),
  il nodo x è connesso ai nodi (x2irx(i)) mod
  2b
• Il grado è b

E un sistema uniforme?
8
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• R-Chord n2b MNW04
• Sia n 2b, per ogni 0 i lt b, sia rx(i) un
  intero scelto in maniera casuale dallintervallo
  0,2i), il nodo x è connesso ai nodi
  (x2irx(i)) mod 2b
• Il grado è b

R-Chord non è uniforme
x
2i
2i1
y
2i
2i1
9
000
111
001
010
110
101
011
100
10
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Abbiamo visto
• Una nuova strategia di routing (NoN routing)
• Una nuova topologia (R-Chord)
• Ci poniamo delle domande
• Quali sono le prestazioni del NoN routing con
  Chord?
• Quali sono le prestazioni del greedy routing con
  R-Chord?
• Quali sono le prestazioni del NoN routing con
  R-Chord?

Chord è uniforme, lalgoritmo greedy è ottimale,
quindi NoN routing non ci da nessun vantaggio
11
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Quali sono le prestazioni del NoN routing con
  Chord?

32
16
8
4
s
t
d(s,t)41
s
t
d(s,t)41
12
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Abbiamo visto
• Una nuova strategia di routing (NoN routing)
• Una nuova topologia (R-Chord)
• Ci poniamo delle domande
• Quali sono le prestazioni del NoN routing con
  Chord?
• Quali sono le prestazioni del greedy routing con
  R-Chord?
• Quali sono le prestazioni del NoN routing con
  R-Chord?

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Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Denotiamo con ?(n) laverage path length
• Teorema
• ?(n) ?(log n) hops for greedy routing in
  R-Chord
• Prova
• Bisogna mostrare che ?(n) O(log n) e ?(n)
  ?(log n)
• 1) ?(n) O(log n)
• Consideriamo tutte le possibili topologie che
  derivano da R-Chord. Mostriamo che a ogni singolo
  hop, se la distanza fra il nodo corrente e il
  nodo destinazione è d, dopo il jump la distanza è
  minore di 3/4d.

x
t
d(x,t)2p1-2
14
Neighbor of Neighbor routing(NON)
x
t
d(x,t)2p1-2

• Consideriamo il caso peggiore
• Il salto (p1) che può essere compreso fra
  2p,2p1) è lungo 2p1-1. In questo caso il salto
  va oltre la destinazione è quindi non può essere
  effettuato.
• Il salto (p) che può essere compreso fra
  2p-1,2p) è lungo 2p-1.
• La distanza fra x e t si riduce da d2p1-2 a
  2p1-2 - 2p-1.
• Ma 2p1-2 - 2p-1 32p-1-2 ¾ 2p1-2 lt ¾ d.
• Ad ogni passo nel caso peggiore passiamo da una
  distanza d a una distanza ¾ d. Quindi il numero
  dei passi totale è minore di log¾ d.
• Nel caso peggiore dn-1. Quindi ?(n) lt log¾ (n-1)
  O(log n).

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Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Denotiamo con ?(n) laverage path length
• Teorema
• ?(n) ?(log n) hops for greedy routing in
  R-Chord
• Prova
• Bisogna mostrare che ?(n) O(log n) e ?(n)
  ?(log n)
• 2) ?(n) ?(log n)
• ..
• In pratica in base ai risultati di numerose
  simulazioni
• R-Chord si comporta esattamente allo stesso modo
  di Chord
• APL b/2 (log n)/2.

Questa prova ve la risparmio ?
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Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Abbiamo visto
• Una nuova strategia di routing (NoN routing)
• Una nuova topologia (R-Chord)
• Ci poniamo delle domande
• Quali sono le prestazioni del NoN routing con
  Chord?
• Quali sono le prestazioni del greedy routing con
  R-Chord?
• Quali sono le prestazioni del NoN routing con
  R-Chord?

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Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Denotiamo con ?(n) laverage path length
• Teorema
• ?(n) ?(log n / log (log n)) hops for NON
  routing in R-Chord
• Prova
• Bisogna mostrare che ?(n) O(log n / log (log
  n)) e ?(n) ? (log n / log (log n))
• 1) ?(n) ? (log n / log (log n))
• Labbiamo già dimostrato nella prima lezione
  (slide 16).

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Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Denotiamo con ?(n) laverage path length
• Teorema
• ?(n) ?(log n / log (log n)) hops for NON
  routing in R-Chord
• Prova
• 2) ?(n) O(log n / log (log n))
• Consideriamo un nodo s che intende spedire un
  messaggio a un nodo t a distanza d(s,t)d.

Consideriamo il ring pieno
s
t
d(s,t)d
19
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• 2) ?(n) O(log n / log (log n))
• Sia p un intero tale che 2p d lt 2p1
• Consideriamo due casi
• p (log n) / log (log n)
• In questo caso bastano O(p) jump per raggiungere
  la destinazione anche se si usa solo lalgoritmo
  greedy.
• Cioè avvicinandoci di ¾ ad ogni passo.
• Il numero di passi infatti è
• log¾ d lt log¾ 2((log n) / log (log n))1
  O((log n) / log (log n)).

2p
2p1
s
t
d
20
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• 2) ?(n) O(log n / log (log n))
• Sia p un intero tale che 2p d lt 2p1
• Consideriamo due casi
• p gt (log n) / log (log n)
• Sia I (d-d,d dove d
• Ovviamente Id

I
2p
2p1
d-d
s
t
d
21
Neighbor of Neighbor routing(NON)
2) ?(n) O(log n / log (log n)) Quanti
vicini di s ci sono fra s e t? I primo vicino si
trova fra 20 a 21 -1 Il secondo si trova fra 21
a 22 -1 Il terzo si trova fra 22 a 23 -1 Il
p-esimo si trova fra 2p-1 a 2p -1 Poichè 2p è
minore di d, fra s e t ci sono almeno p vicini.
Sia si liesimo vicino di s, e sia Ss1, s2,
, sp linsieme dei primi p vicini di s. Allora
Sp.
I
2p
2p1
s
t
d
2p d lt 2p1 p gt (log n) / log (log n) I
(d-d, d d
22
Neighbor of Neighbor routing(NON)
2) ?(n) O(log n / log (log n)) Denotiamo con
Jk(si)si2krsi(k) il k-esimo jump/vicino di
si. Il nostro obiettivo è calcolare la
probabilità che almeno uno dei vicini dei vicini
di s abbia un jump in I. PPrJk(si)?I per
qualche 1 i p e 0 k lt b
I
2p
2p1
s
t
d
2p d lt 2p1 p gt (log n) / log (log n) I
(d-d, d d Sp
I primi p vicini
Un jump qualsiasi n2b
23
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Claim
• Per ogni nodo si ? S, la probabilità che un
• vicino di si ? I è almeno d/2p.
• PPrJk(si)?I per qualche 0 k lt b d/2p
• Prova
• Consideriamo il generico vicino di s, si.
• Denotiamo con di la distanza fra si e t.
• Sia pi tale che 2pi di lt 2pi1
• Due casi
• d-dsi2pi

2p d lt 2p1 p gt (log n) / log (log n) I
(d-d, d d Sp
did
pip
di
2pi
2pi1
si
d-d
I
s
t
d
24
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Claim
• Per ogni nodo si ? S, la probabilità che un
• vicino di si ? I è almeno d/2p.
• PPrJk(si)?I per qualche 0 k lt b d/2p
• Prova
• d-dsi2pi
• Lunico jump di si che può cadere in I è il jump
  (pi1)-esimo, infatti il jump (pi1)-esimo
  ?si2pi, si2pi1).
• In particolare il jump (pi1)-esimo appartiene a
  I con probabilità I/2pi d/2pi d/2p

2p d lt 2p1 p gt (log n) / log (log n) I
(d-d, d d Sp did, pip
di
2pi
2pi1
si
d-d
I
s
t
d
pip
25
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Claim
• Per ogni nodo si ? S, la probabilità che un
• vicino di si ? I è almeno d/2p.
• PPrJk(si)?I per qualche 0 k lt b d/2p
• Prova
• d-dltsi2pi

2p d lt 2p1 p gt (log n) / log (log n) I
(d-d, d d Sp did, pip
d
di
2pi1
2pi
si
d-d
I
s
t
26
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Claim
• Per ogni nodo si ? S, la probabilità che un
• vicino di si ? I è almeno d/2p.
• PPrJk(si)?I per qualche 0 k lt b d/2p
• Prova
• d-dltsi2pi
• In questo caso sia il jump p-esimo che il jump
  (p1)-esimo possono cadere in I.
• Sia I A ? B dove A(d-d, si2pi) e
  Bsi2pi,d
• Ovviamente ABd.

2p d lt 2p1 p gt (log n) / log (log n) I
(d-d, d d Sp did, pip
d
di
2pi
2pi1
si
d-d
I
s
t
A
B
27
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Claim
• Per ogni nodo si ? S, la probabilità che un
• vicino di si ? I è almeno d/2p.
• PPrJk(si)?I per qualche 0 k lt b d/2p
• Prova
• d-dlt2pi
• Sia Q levento il pi-esimo jump di si cade in I
• Sia R levento il (pi1)-esimo jump di si cade
  in I
• Siamo interessati a calcolare la
  PrQ?RPrQPrR-PrQ?R

2p d lt 2p1 p gt (log n) / log (log n) I
(d-d, d d Sp did, pip
d
di
2pi
2pi1
si
d-d
I
s
t
A
B
Q
R
Q?R
28
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Claim
• Per ogni nodo si ? S, la probabilità che un
• vicino di si ? I è almeno d/2p.
• PPrJk(si)?I per qualche 0 k lt b d/2p
• Prova
• d-dlt2pi
• Caso 2.a Bgt2pi-1
• Valutimo solo PrR PrQ?R
• PrRB/2pigt1/2gtd/2p

2p d lt 2p1 p gt (log n) / log (log n) I
(d-d, d d Sp did, pip
d
di
2pi
2pi1
si
d-d
I
s
t
A
B
Q
R
Q?R
29
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Claim
• Per ogni nodo si ? S, la probabilità che un
• vicino di si ? I è almeno d/2p.
• PPrJk(si)?I per qualche 0 k lt b d/2p
• Prova
• d-dlt2pi
• Caso 2.b B2pi-1
• PrQ?R PrQPrR-PrQ?R

2p d lt 2p1 p gt (log n) / log (log n) I
(d-d, d d Sp did, pip
d
di
2pi
2pi1
si
d-d
I
s
t
A
B
B2pi-1
30
Neighbor of Neighbor routing(NON)
Dove eravamo rimasti? Il nostro obiettivo
è calcolare la probabilità che almeno uno dei
vicini dei vicini di s abbia un jump in
I. PPrJk(si)?I per qualche 1 i p e 0 k lt
b
Pd/2p
d2p
p gt (log n) / log (log n)
P 1-e-1
(1-1/x)xe-1
31
Neighbor of Neighbor routing(NON)
Con probabilità P1-e-1 in due hop riduciamo
lintrvallo da d a d (log log n) / log n
Poichè 1-e-1 gt 0.5 funziona in media almeno una
volta su due In media con 22 4 hop riduciamo
lintrvallo da d a d (log log n) / log
n. Quanti hop ci servono 4 log log n / (log
log n)d O(log n / (log log n)) d al massimo
n-1 4 log log n / (log log n) n-1 O(log n /
(log log n)) Il nostro obiettivo
è calcolare la probabilità che almeno uno dei
vicini dei vicini di s abbia un jump in
I. PPrJk(si)?I per qualche 1 i p e 0 k lt
b
p (log n) / log (log n)
O(log n / (log log n))
32
Neighbor of Neighbor routing(NON)
Nel caso in cui il ring non è pieno? Ridurre la
distanza da 2b-1 a 2b/n impiega O(log n / log log
n) passi. Quanti nodi ci sono in 2b/n
identificatori? Utilizzando il Chernoff bound si
può dimostrare che in 2b/n identificatori ci
sono al più O(log n / log log n)
nodi WHP. Quindi anche usando solo i successori
in totale si effettuano O(log n / log log n)
passi.
33
Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Cost of Neighbor of Neighbor lists
• Memory O(log2n)
• Maintenance O(log n) must be updated
• Neighbor lists should be maintained (open
  connection, pinging, etc.)
• In practice, a Chord ring will never be in a
  stable state instead, joins and departures will
  occur continuously, interleaved with the
  stabilization algorithm. The ring will not have
  time to stabilize before new changes happen.
  Chord

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Neighbor of Neighbor routing(NON)

• Vantaggi
• Algoritmo di routing locale
• Algoritmo di routing semplice
• Efficiente
• Non è necessaria la stima di log n
• Svantaggi
• Come mantenere la lista dei vicini dei vicini?
• No fast bootstrap