Diapositive 1

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Les familles de fonctions
Situations
et
Modèles mathématiques
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Plusieurs situations concrètes peuvent être
représentées par des fonctions.
Exemples
Le salaire en fonction du temps,
la température dun corps en fonction du temps,
laire dun disque en fonction de son rayon,
lampérage en fonction de la résistance,
etc.
Comme ces fonctions représentent des situations
concrètes, on pourrait les nommer  fonctions de
situations .
Lorsquil sagit de représenter ce genre de
situations, la courbe tracée est alors limitée
on dit quelle est bornée.
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Exemple
On veut représenter le salaire dun ouvrier en
fonction de ses heures de travail pour une
semaine.
Nous dirons quil gagne 10 lheure et que sa
semaine de travail comporte 40 heures.
Le graphique ci-contre illustre cette situation.
Cette fonction représente une situation concrète
elle varie de 0 à 40 pour le nombre dheures et
de 0 à 400 pour le salaire.
Létude que lon en fait est limitée la fonction
est donc bornée.
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Remarque
Certains auteurs identifient une fonction bornée
avec des points.
Ce nest pas nécessaire, limportant est de
comprendre la situation que représente le
graphique.
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La situation de louvrier correspond au modèle
dune fonction linéaire de variation directe.
On pourrait  théoriser  cette situation dans
tout le plan cartésien.
On obtient ainsi le modèle théorique de la
fonction linéaire de variation directe.
Toutes les situations linéaires de variation
directe suivront ce modèle quil faudra ajuster
selon la situation.
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Les fonctions sont associées à des situations
bien précises chaque fonction possède donc son
propre modèle théorique.
Les fonctions de base sont les fonctions les plus
simples de leur catégorie.
Fonction polynomiale de degré 0
Fonction polynomiale de degré 1
ou
ou
fonction linéaire
fonction constante
f(x) bx0
f(x) x1
f(x) b
f(x) x
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Fonction polynomiale de degré 2
Fonction inversement proportionnelle
Fonction racine carrée
ou
ou
fonction rationnelle
fonction quadratique
f(x) x2
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Fonction valeur absolue
Fonction partie entière
Fonction exponentielle
f(x) x
f(x) cx
Fonction périodique
Fonction définie par parties
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Examinons quelques situations
Aux États-Unis, la mesure de la température ne se
fait pas en degré Celsius, mais avec une autre
unité de mesure, soit le degré Fahrenheit.
Une formule permet de convertir les degrés
Celsius en degré Fahrenheit cette formule est
La représentation graphique de cette fonction est
illustrée ci-contre.
La conversion de température des degrés Celsius
en degrés Fahrenheit est une fonction linéaire de
variation partielle.
Pour la représenter, nous avons besoin de tout le
plan cartésien.
Forme déquation la plus simple f(x) x b
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Dans lexemple, déjà cité, du salaire de
louvrier, la fonction correspond au modèle
linéaire de variation directe.
Salaire ()
Dans cet exemple, seulement le premier quadrant
du plan cartésien est utilisé, car le travailleur
ne peut faire des heures négatives et un salaire
négatif.
Le modèle de la fonction représentée correspond
quand même au modèle linéaire de variation
directe, mais ajusté à la situation.
50
5
Heures
Forme déquation la plus simple f(x) x
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En électricité, plusieurs phénomènes peuvent être
représentés par des fonctions linéaires de
variation directe.
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Dans une loto, plus on achète de billets et plus
on a de chances de gagner. Tu demandes donc à tes
amis de participer à lachat de billets lors dun
tirage de 20 000. Tu aimerais savoir quel
montant recevra chacun en fonction du nombre de
participants.
Plus le nombre de participants sera élevé et plus
le montant gagné par chacun sera petit.
Cette situation représente une fonction
inversement proportionnelle (appelée aussi
fonction rationnelle).
Seulement une partie du plan cartésien est
utilisé, mais le modèle sapparente au modèle de
la fonction inversement proportionnelle.
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Le coût dutilisation dun stationnement public
est de 2,00 de lheure ou partie dheure. On
sintéresse à la relation entre les heures de
stationnement et le coût.
Dès la première minute, le coût est
automatiquement de 2,00 .
Si on reste 30 minutes, le coût est aussi de 2,00
.
Si on reste 1 heure plus une minute, le coût
augmente subitement à 4,00 pour toute la
deuxième heure
et ainsi de suite.
Cest le modèle de variation en escalier. On
lappelle ainsi, car le graphique ressemble à un
escalier. Il représente la fonction appelée
partie entière.
Forme déquation la plus simple f(x) x
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La distance (D) parcourue (en kilomètres) par une
fusée durant les trois premières minutes de son
vol est définie par la règle D 50t2 où t est le
temps (en minutes).
Cette situation sapparente au modèle du second
degré appelé fonction quadratique.
Cest une fonction du second degré, car
lexposant de la variable indépendante est
lexposant 2.
On peut constater que la variation est de plus en
plus rapide.
Ici, nous ne voyons que la moitié de la courbe.
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Un ballon de football est botté dans les airs. La
hauteur H du ballon (en mètres) selon le temps
(en secondes) est donnée par la règle H(t) -2t2
12 t.
Dans cette situation, on voit plus clairement le
modèle du deuxième degré.
Ce type de courbe sappelle une parabole.
Ici encore, on ne représente quune partie de la
parabole soit la partie positive, puisque la
situation est une situation réelle.
Forme déquation la plus simple f(x) x2
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Au début d'une expérience, il y avait 20
bactéries. Depuis, l'augmentation des bactéries
double à chaque heure. On veut connaître le
nombre de bactéries après 6 heures.
Voici une table de valeurs représentant cette
situation.
Cette table de valeurs et ce graphique
représentent le modèle exponentielle.
Au début, la relation progresse assez lentement,
mais par la suite, elle augmente très rapidement.
Forme déquation la plus simple f(x) cx
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On voudrait connaître la longueur du côté dun
carré en fonction de son aire.
Dans cet exemple, il faut extraire la racine
carré des différentes aires que peut avoir un
carré.
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Sur une droite numérique, la distance de chaque
entier et de son opposé par rapport à 0 est la
même et bien entendu, cette distance doit être
positive.
distance de 2
distance de 1
distance de 2
distance de 1
Que les nombres soient positifs ou négatifs, la
distance de ces nombres par rapport à zéro est
nécessairement positive.
On utilise donc la fonction valeur absolue, ce
qui garantit un résultat positif.
Cette fonction permet en autre de calculer la
différence entre une mesure souhaitée et une
mesure réelle lors de la fabrication dun objet.
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Lélectricité que nous recevons dans nos maisons
à une tension de 110 volts et le courant est
alternatif.
Il varie donc constamment de 110 volts à 110
volts.
La courbe ci-contre représente un cycle.
Ce cycle a une durée de 1/60 de seconde il se
répète donc 60 fois dans une seconde.
Cette situation sapparente donc à la fonction
périodique.
Une des formes déquation la plus simple de ce
genre de situation f(x) sin x
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Conclusion
Chaque modèle mathématique illustre une multitude
de situations ou de phénomènes de la vie
courante. Cependant, ces situations ne
correspondent le plus souvent quà une partie du
modèle.
La représentation théorique des fonctions est
beaucoup plus vaste et complexe que la
représentation associée à des situations
concrètes.
Chaque fonction possède ses propres propriétés
(domaine, codomaine, intervalles de croissance et
de décroissance, etc.). Être capable de les
analyser est donc essentiel.
Il existe encore dautres fonctions, nous ne les
avons pas toutes abordées.
Une bonne connaissance de lalgèbre est
essentielle pour pouvoir utiliser adéquatement
toutes les notions gravitant autour du concept de
fonctions.