Introducci

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Introducción a la Simulación
2
Temas a tratar en este capítulo

•        Introducción
•          Definición de Simulación
•          Ventajas y desventajas
•          Definición de Sistemas
•          Sistemas estáticos y dinámicos
•          Definición de modelos
•          Características deseables de un modelo
  de simulación
•          Concepto de experimento

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Introducción
La experiencia es el mejor maestro? Cómo
adquirir de manera rápida y económica un
conocimiento que se obtiene a través de la
experiencia? Qué hacer cuando el modelo
resultante es muy complejo y no es posible o
práctico desarrollar una metodología de solución
basada en el análisis matemático?
4
Simulación

• Definición

5
Definición de simulación
DEFINICIÓN A Simulación es el proceso de
diseñar y desarrollar un modelo computarizado de
un sistema o proceso y conducir experimentos con
este modelo con el propósito de entender el
comportamiento del sistema o evaluar varias
estrategias con las cuales se puede operar el
sistema. Robert E. Shanon
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Definición de simulación
DEFINICIÓN B Técnica numérica para conducir
experimentos en computadora digital. Estos
experimentos comprenden ciertos tipos de
relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son
necesarias para describir el comportamiento y la
estructura de sistemas complejos del mundo real a
través de largos periodos de tiempo. T.N.Naylor
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Definición de simulación
DEFINICIÓN C La simulación es la práctica de
construir modelos que representan sistemas del
mundo real o sistemas hipotéticos futuros, y
experimentar con ellos con el fin de explicar el
comportamiento del sistema, mejorar su
rendimiento o diseñar nuevos sistemas con ciertas
características predefinidas. B. Khoshnevis
8
SIMULACIÓN

• SIMULACION DE SISTEMAS

9
SIMULACION DE SISTEMAS
ETAPAS PARA REALIZAR UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN

• Definición del sistema
• Análisis del sistemas
• Formulación del modelo
• Selección del lenguaje
• Codificación del modelo
• Implementación del modelo en la computadora
• Validacion
• Experimentación
• Implantación
• Monitoreo y Control

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SIMULACION DE SISTEMAS
Factores a considerar en el desarrollo del modelo
de Simulación

• Generación de Variables aleatorias no uniformes
• Lenguajes de programación
• Condiciones iniciales
• Tamaño de la muestra
• Diseño de experimentos

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SIMULACION DE SISTEMAS
Finalidad Crear un ambiente posible de obtener
información sobre acciones alternativas por la
vía de la experimentación.

• Prueba de medicinas en animales de laboratorio.
  En este caso, las respuestas del animal simulan
  las respuestas de los humanos.
• Manejar automóviles en pistas de pruebas. Aquí
  la pista de pruebas simula el ambiente que
  enfrentará el automóvil.
• Comprobar diseños de alas de aviones en túneles
  de viento. El tunel simula las condiciones de
  vuelo.
• Entrenar pilotos de aerolíneas en cabinas
  verdaderas bajo condiciones simuladas.

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SIMULACION DE SISTEMAS
Ventajas y Desventajas en el uso de la simulación
Ventajas

• Una vez construido, el modelo puede ser
  modificado de manera rápida con el fin de
  analizar diferentes políticas o escenarios
• Generalmente es mas barato mejorar el sistema
  vía simulación que harlo directamente en el
  sistema real.
• Es mucho mas sencillo comprender y visualizar
  los métodos de nsimulación que los métodos
  puramente analíticos
• Los métodos analíticos se desarrollan casi
  siempre, para sistemas relativamente sencillos
  donde suele hacerse un grán número de
  suposiciones o simplificaciones, mientras que con
  los modelos de simulación es posible analizar
  sistemas de mayor complejidad o con mayor
  detalle.
• En algunos casos la simulación es el único medio
  para lograr una solución.

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SIMULACION DE SISTEMAS
Ventajas y Desventajas en el uso de la simulación
Desventajas

• Los modelos de simulación en una computadora son
  costosos y requieren mucho tiempo para
  desarrollarse y validarse.
• Se requiere gran cantidad de corridas
  computacionales para encontrar soluciones
  óptimas lo cual repercute en altos costos.
• Es difícil aceptar los modelos de simulación.
• Los modelos de simulación no dan soluciones
  óptimas.
• La solución de un modelo de simulación puede dar
  al analista un falso sentido de seguridad.

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SIMULACIÓN
Ejemplo de simulación por computadora
El personal de la comisión de la lotería Nacional
acaba de diseñar una nueva lotería instantánea.
Como se muestra en la figura siguiente, cada
tarjeta de lotería contiene tres filas. En cada
renglón, hay dos casillas. Una de las cuales
tiene un valor oculto de 1 y la otra de 5. El
jugador raspa cualquier casilla de cada renglón
para descubrir el valor asociado en dólares. Si
los tres números oculto son iguales, el jugador
gana esa cantidad. Antes de comprometer al Estado
en este juego e imprimir una gran cantidad de
tarjetas, usted como director de la comisión de
la lotería, desea evaluar la factibilidad
económica del juego. Entre las preguntas que debe
contestar esta la siguiente Cuál es la mínima
cantidad que el estado puede cobrar por esta
tarjeta y todavía esperar tener ganancias?
Tarjeta de lotería
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SIMULACIÓN
Ejemplo de simulación por computadora
Solución
Aplicando la teoría de probabilidades Prob(ganar
1) P(casilla 1 1) P(casilla 2 1)
P(casilla 3 1) ½½½1/8 Prob(ganar 5)
P(casilla 1 5) P(casilla 2 5) P(casilla 3
5) ½½½1/8 Ganancia esperada 1(1/8)
5(1/8) 3/40.75 Cada tarjeta debería valer al
menos 0.75
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SIMULACIÓN
Ejemplo de simulación por computadora
Solución

• Aplicando la simulación
• Simulación Física Imprimiendo unas 100 tarjetas
  de lotería
• Simulación por Analogía Utilizando una moneda
• Simulación por computadora Utilizando un
  programa de computadora y generando números
  aleatorios para seleccionar las casillas que
  serán raspadas

1.0
U(0,1)
r
0.5
cara
cruz
17
SIMULACIÓN
Ejemplo de simulación por computadora
Video Milenio, es una tienda que compra videos
de estreno a 25 la copia, los renta a 3 el día
y después de un mes los vende a otra tienda en 5
la copia. Basandose en datos anteriores, la
tienda ha estimado las siguientes probabilidades
de demanda diaria para cada película. Como
gerente de video milenio, usted desea decidir
cuantas copias de cada nueva película pedir
0,1,2,3,4
No. de copias Probabilidad
0 1 2 3 4 0.15 0.25 0.45 0.10 0.05
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SIMULACIÓN
Ejemplo de simulación por computadora
Aplicando la teoría de probabilidades
Solución
No. de copias ingresos de acuerdo a la Demanda ingresos de acuerdo a la Demanda ingresos de acuerdo a la Demanda ingresos de acuerdo a la Demanda ingresos de acuerdo a la Demanda ingresos esperados por día Ganancia total esperada por mes
No. de copias 0 1 2 3 4 ingresos esperados por día Ganancia total esperada por mes
0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 0 3 6 6 6 0 3 6 9 9 0 3 6 9 12 0 2.55 4.35 4.8 4.95 0 56.5 90.5 84 68.5
P(x) 0.15 0.25 0.45 0.10 0.05
Ganancia total esperada (ingresos esperados
durante un mes) (precio de venta de
las N copias) (costo de compra de las N copias)
19
SIMULACIÓN
Ejemplo de simulación por computadora
Solución
Aplicando la simulación por computadora
1.0
U(0,1)
r
0.5
0
1
2
3
4
Demanda
20
Simulación

• Generación de números aleatorios

21
SIMULACIÓN
Generación de Números Aleatorios rectangulares

• Características
• Uniformemente distribuidos
• Estadísticamente independientes
• Su media debe ser estadísticamente igual a 1/2
• Su varianza debe ser estadísticamente igual a
  1/12
• Periodo largo (cantidad de elemento q se generan)

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Generador Congruencial
La idea es hallar un generador que sea fácil de
implementar en la computadora, que sea rápido y
que no ocupe mucho espacio memoria, estos
requerimientos pueden ser satisfechos con una
función matemática sencilla que genere una
sucesión de números que satisfagan las
condiciones que definen una conjunto de números
aleatorios.
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Generador Congruencial
Definición se dice que los enteros a es
congruente con b módulo m si a es el resto de la
división entera de b entre m. La notación
utilizada es   a? b mod m   Ejemplo 3 es
congruente con 17 módulo 7 i.e. , en efecto la
división entera de 17 entre 7 da como cociente 2
y como resto 3. El generador congruencial está
caracterizado por los parámetros enteros
positivos a, c y m, donde a y c son generalmente
menores que m.
24
SIMULACIÓN
Generación de Números Aleatorios rectangulares

• Métodos congruenciales mas populares
• Congruencial Multiplicativo
• Xn1aXn mod m
• Congruencial Mixto
• ri1(c ari) mod m

Xoro semilla (ro gt0) a el multiplicador (a
gt0) c constante aditiva (c gt0) M módulo (m gt
Xo m gt a mgt c)
25
Reglas para la selección de las constantes c
debe ser un entero impar no divisible ni por 3 ni
por 5 a usualmente debe ser cualquier constante.
Donde a mod 8 5 m debe ser el número entero
mas grande que la computadora acepte
26
SIMULACIÓN
Generación de Números Aleatorios rectangulares
Ejemplo Generar números aleatorios utilizando el
generador congruencial mixto si a5, c7, X04,
m8 y encontrar el periodo del generador
ri1(carn) mod m ri1(7 5rn) mod 8
ri1/(n-1)
n ri (7 5Xn) mod 8 ri1 Números uniformes
0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 6 5 0 7 2 1 27 mod 8 22 mod 8 37 mod 8 32 mod 8 7 mod 8 42 mod 8 17 mod 8 12 mod 8 3 6 5 0 7 2 1 4 3/7 6/7 5/7 0/7 7/7 2/7 1/7 4/7
Periodo 8
27
SIMULACIÓN
Generación de Números Aleatorios rectangulares
Ejemplo Generar números aleatorios utilizando el
generador congruencial mixto si c11,a13,, ro6,
m15 y encontrar el periodo del generador
ri1(arn c) mod m ri1(13ri 11) mod 15
n ri (13ri11) mod15 ri1 Números uniformes
0 1 2 3 4 5 ... 6 14 13 ... 89 mod 15 193 mod 15 180 mod 15 ... 14 13 0 ... 14/14 13/14 0/14 ...
28
Generador Minimal Standard de Park-Miller
 Este es un excelente generador y está definido
por los siguientes parámetros a7516807
c 0 m 231-12147483647 Do
nde Zn1 (caZn )mod m Propiedades
        Se dice que es un generador
multiplicativo debido a que c0. Los
generadores con c?0 son llamados generadores
mixtos         Este generador tiene un periodo
231 - 2
29
Generador Minimal Standard de Park-Miller

• Debido a que las computadora actuales trabajan
  con palabras (word) de 32 bits y m -1 es
  prácticamente el entero más grande que puede
  generar, el producto puede dar lugar a fenómenos
  de overflow i.e. números que la computadora no
  puede representar, para evitar esos problemas se
  recurre a un artificio matemático que consiste en
  calcular Zi1 con la siguiente relación

Donde
y
mod residuo div cociente entero
Los parámetros q y r satisfacen la relación m
aq r con r lt q. La mejor elección para estos
últimos es q 127773 y r 2836.
30


Ejemplo Numérico se va generar 5 valores con el
generador de Park-Miller considerando como
semilla Zo 2001002000
31
Simulación

• Pruebas estadísticas para los números
  pseudoaleatorios

32
Pruebas estadísticas de números pseudoaleatorios
Cualquier variable aleatoria no uniforme
(normal, exponencial, poisson,etc) es obtenida a
partir de números uniformes(01), por lo que el
principal énfasis en pruebas estadísticas deberá
ser con respecto al generador de números
pseudoaleatorios, ya que cualquier deficiencia
estadística en la variable aleatoria no uniforme,
se deberá exclusivamente a la utilización de un
deficiente generador de números pseudoaleatorios.
33
Prueba de promedios
Función de densidad uniforme
En esta expresión x es una variable aleatoria
definida entre 0 y 1
f(x)
f(x)
1
0
1
a
b
Con area 1
34
Prueba de promedios
El valor esperado y la varianza de una variable
aleatoria uniformemente distribuida estan dadas
por las siguientes expresiones
Valor Esperado
Varianza
Media
35
Prueba de promedios
Prueba de hipotesis de promedios
Si Zo lt Z?/2
No se puede rechazar la hipótesis de que los
números pseudoaleatorios tienen una media de 0,5
36
Prueba de promedios
Prueba de hipotesis de promedios
Si la media de los datos se encuentra entre Xc1 y
Xc2, No se puede rechazar la hipótesis de que los
números pseudoaleatorios tienen una media de 0,5
37
Prueba de promedios
Prueba de hipotesis de promedios
Cuando ? es desconocida
Si la media de los datos se encuentra entre Xc1 y
Xc2, No se puede rechazar la hipótesis de que los
números pseudoaleatorios tienen una media de 0,5
38
Prueba de la varianza
Prueba de hipotesis de varianza
Ho 1-?
1/12
S2c1
S2c2
?21-?/2,n-1
?2?/2,n-1
Si la variancia de los números se encuentra entre
S2c1 y S2c2 no se puede rechazar HO
39
Prueba de la forma
si
No se puede rechazar que los números
pseudoaleatorios son uniformes
M número de intervalos K Números de parámetros
de la distribución
40
Prueba de Smirnov -Kolmogorov

• Algoritmo
• Generar n números aleatorios
• Ordenar en forma ascendente
• Calcular f i/n
• Restar término a término los números del paso 2
  con el valor f del paso 3 y seleccionar la máxima
  diferencia
• Dr-f
• e) Buscar en tablas el estadístico dn,?
• Compara el valor Dmax con dn,?
• Si Dmax lt dn,? no se puede rechazar que los
  números pseudoaleatorios sean uniformes

41
Prueba de Smirnov -Kolmogorov
Ejemplo
Posición i Aleatorio r f r-f
1 0.0144 0.20 0.1856
2 0.1484 0.40 0.2516
3 0.3325 0.60 0.2675
4 0.715 0.80 0.085
5 0.9312 1 0.0688
Dmax
d5,5 0.563
Como Dmax lt d5,5 no se puede rechazar que los
números pseudoaleatorios son uniformes
42
Prueba del Poker
1 Pachuca 1 quintilla 1 full 1 poker 1
tercia 2 pares 1 par
43
Prueba del Poker

• Algoritmo
• Generar n números aleatorios
• Calcular la frecuencia esperada Ei,donde Ei nPi
• Observar cada número aleatorio e indicar si es un
  par, dos pares,..,etc y construir una tabla de
  frecuencias observadas Oi
• Calcular

e) Buscar en la tabla ?2? f) Si C lt ?2? no se
puede rechazar que los números son independientes
44
Prueba del Poker
Probabilidad de poker n
Ejemplo
Juagadas Ei Oi
1 par 2 pares 1 tercia 1 full 1 poker 1 quintilla pachuca 5.04 1.08 0.72 0.09 0.045 0.001 3.0240 4 3 0 0 0 0 3
Aleatorio jugada
0.31425 0.71327 0.84639 0.93514 0.10201 0.32238 0.15751 0.14674 0.83635 0.55243 Pachuca 1 par Pachuca Pachuca 2 pares 2 pares 2 pares 1 par 1 par 1 par
?25,612.59
No se puede rechazar que los números
pseudoaleatorios son independientes
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Prueba Runs Up and Down
Esta prueba consiste en las siguientes etapas Se
genera una sucesión de símbolos a partir de
la sucesión
      utilizando la regla
Por cada sucesión de signos iguales se entiende
por una corrida
Se cuenta el número R de corridas o runs en la
sucesión . Una corrida se define como sucesión
de símbolos del mismo tipo o -.
El resultado teórico pertinente en esta prueba es
que el número de corridas R sigue una
distribución normal de media y
varianza o lo que es equivalente,
la variable aleatoria sigue una
distribución estándar (normal de media cero y
varianza uno). En estas relaciones N representa
el tamaño de la sucesión.
46
Prueba Runs Up and Down
      Para un nivel de confianza C, la prueba
no rechaza que los valores de la sucesión sean
independientes si se verifica    
donde se obtiene de las tablas de la
distribución estándar que corresponde al
parámetro con .
Si la anterior desigualdad no se verifica, no se
acepta que son independientes.
47
Prueba Runs Up and Down
Ejemplo Numérico determine con un nivel de
confianza de 95 si los valores de la tabla son
independientes   0.0399 0.1046 0.9371 0.1689 0
.9895 0.3855 0.9555 0.3288 0.5978 0.0995 0.1754
0.7370 0.9205 0.4621 0.1591 0.3264 0.5286 0.9
581 0.0683 0.1964 0.6957 0.6877 0.3951 0.3590
0.8524 0.2412 0.6659 0.2769 0.0649 0.0315   La
sucesión de símbolos y correspondiente a los
N 30, sería entonces
Numero de corridas 18
48
Prueba Runs Up and Down
donde se observa corridas.   Según la
teoría la media de corridas sería
y la varianza , lo
que da   Para un nivel de confianza de 95, se
tiene 0.975, que según la tabla de la
distribución estándar da   Como se verifica

, entonces no se rechaza la independencia de
los valores de la sucesión.