Diapositive 1

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Les lois de Snell-Descartes
Filières SM et SMI, année 2006-2007
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Ces lois sont relatives à l'étude "géométrique"
de la lumière lorsqu'elle rencontre une surface
séparant deux milieux différents.
Willebrord Snell (1580 1626)
René Descartes (1596 1650)
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Lorsque de la lumière arrive sur la surface de
séparation (ou dioptre) entre deux milieux
d'indice de réfraction différents, on constate
qu'une partie de la lumière est réfléchie et que
l'autre partie est transmise.
plan dincidence
La normale à la surface est la perpendiculaire au
plan tangent en I (point d'incidence) à la
surface S.
rayon incident
normale
I
S
Le plan d'incidence est le plan formé par le
rayon incident et la normale.
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I Enoncé des lois
I.1 ? Réflexion
1ère loi relative à la réflexion  "Le rayon
incident, le rayon réfléchi et la normale
appartiennent au même plan, le plan d'incidence"
rayon incident
rayon réfléchi
plan dincidence
n1

S
I
n2
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2ème loi relative à la réflexion 

"L'angle de réflexion ?1 est égal à l'angle
d'incidence ?1"
Si on oriente les angles par rapport à la
normale, on écrit

?1 - ?1
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I.2 ? Réfraction
1ère loi relative à la réfraction "Le rayon
incident, le rayon réfracté et la normale
appartiennent au même plan, le plan d'incidence"
plan dincidence
rayon incident
rayon réfléchi
n1
I
S
rayon réfracté
n2
Normale
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2ème loi relative à la réfraction "Il y a un
rapport constant entre les sinus des angles
d'incidence et de réfraction"


n21 étant lindice relatif du milieu 2 par
rapport au milieu 1.
On remarquera que cette relation peut s'écrire
également
C'est l'invariant de Snell-Descartes.

cte
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I.2.1 ? Construction de Descartes
La construction de Descartes, appelée aussi
construction par les surfaces dindices, permet
dobtenir graphiquement le rayon réfracté.
n2 gt n1
On trace les deux cercles de rayon R1 n1 et R2
n2 centrés sur le point d'incidence I. Le rayon
incident est prolongé dans le milieu 2 et coupe
le cercle 1 en un point A dont la projection H
est telle que, par construction, IH n1sin?1.
R1
R2
H
I
A
B
Pour satisfaire la relation de Snell-Descartes,
le rayon réfracté doit couper le cercle 2 en un
point B ayant même projection. Il suffit donc de
prolonger la droite AH jusqu'à son intersection
avec le cercle 2.
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I.2.2 ? Construction d'Huygens
Elle s'appuie sur la comparaison des
célérités.Les rayons à tracer sont alors en R1
R2n1/n2 et le raisonnement géométrique repose sur
l'intersection commune des plans d'onde (point
B), qui, par nature doivent être tangents aux
ondelettes.
L'ondelette la plus grande correspond sur la
figure à la position du front d'onde s'il n'y
avait pas de dioptre, tandis que le cercle le
plus petit correspond donc au front de l'onde
diffractée. Le rayon réfracté est donc bien selon
IB.
n2 lt n1
H
R1
R2
I
A
B
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n2 gt n1
rayons perpendiculaires aux plans donde
plans donde
ondelettes
nouveau plan donde
rayons réfractés
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II Le principe de Fermat contient les lois de
Snell-Descartes
II.1 ? Justification de la première loi
Observateur
Source
Le chemin optique suivi par la lumière est 
Miroir
I
LSO nSI  IO
Le trajet effectivement suivi par la lumière doit
être minimal (Principe de Fermat).
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Si on introduit le point S, on doit
obtenir SI  IO  SI  IO  minimal, ce qui
implique que SO est un segment de droite.
Le point I est donc lintersection de SO avec le
miroir plan.
Observateur
N
Par raison de symétrie, on retrouve légalité
Source

?

Miroir
I
1
S
II.2 ? Justification de la deuxième loi
Voir exercice 3 série 1
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III Réfraction limite, réflexion totale
III.1 ? Le rayon se dirige vers le milieu le plus
réfringent  n2 gt n1
D'après la deuxième loi de Snell-Descartes,
?2 lt ?1.
I
?2m
Il existe donc une zone dans le milieu 2 dans
laquelle aucun rayon provenant du milieu 1 et
passant par un point d'incidence I ne peut aller.
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I
?2m
Les milieux étant isotropes, les rayons réfractés
ne peuvent se trouver qu'à l'intérieur d'un cône
de sommet I et de demi-angle au sommet ?2m,
valeur de ?2 qui correspond à la valeur maximale
de ?1 ?/2 .
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Ce cône est le cône de réfraction et son
demi-angle au sommet ?2m est l'angle de
réfraction limite.
I
?2m vérifie donc l'égalité
?2m
n1
sin
q2m

n2
II faut ici noter que pour tout rayon incident,
il existe un rayon réfracté n1/n2 étant
inférieur à 1, il existe une valeur de ?2
vérifiant la deuxième loi de Snell-Descartes quel
que soit ?1 dans l'intervalle 0, ?/2.
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III.2 ? Le rayon se dirige vers le milieu le
moins réfringent  n2 lt n1
En appliquant le principe du retour inverse au
cas précédent et en y permutant les indices 1 et
2, nous déduisons que tous les rayons incidents à
l'intérieur d'un cône de sommet I, de demi-angle
au sommet ?1m, vérifiant sin?1m n2/n1, sont
réfractés dans le milieu 2.
rayon subissant la réflexion totale
n1
?1m
En particulier un rayon incident faisant un angle
?1  ?1m avec la normale au dioptre en I ressort
en incidence rasante (?2 ?/2).
I
n2
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Que se passe-t-il pour les rayons incidents à
l'extérieur de ce cône (?1 gt ?1m) ?
Ils ne peuvent pas être réfractés il suffit
d'utiliser une nouvelle fois le principe du
retour inverse pour s'en convaincre. Ils ne
peuvent donc être que totalement réfléchis
aucune énergie lumineuse ne se propage dans le
milieu 2. C'est ce qu'on appelle la réflexion
totale.
Nous pouvons retrouver ces résultats directement
à partir de la deuxième loi de Snell-Descartes
il y a un rayon réfracté s'il existe une valeur
de ?2 vérifiant
n1
et
sinq1

sinq2
n2
n2
Ceci impose 
et donc  ?1 lt ?1m
sinq1m

lt
sinq1
n1
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VI Applications
VI.1 ? Dioptres et miroirs Ce sont les
applications les plus importantes de ces lois
puisqu'elles sont à la base de toute l'optique
géométrique. Les dioptres et miroirs font l'objet
du chapitre IV.
VI.2 ? Lame à faces parallèles et prisme Seront
traités aux chapitre V lors de lassociation de
deux dioptres.
VI.3 ? Propagation non rectiligne La résolution
de ce problème est généralement complexe.
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On aborde ici le cas où l'indice ne dépend que
d'une seule variable. Le milieu est dit stratifié

n croissant
n4 gt n3
n3 gt n2
n2 gt n1
n1
n4 lt n3
n3 lt n2
n2 lt n1
n croissant
n1
Ce phénomène est à lorigine des mirages.
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Lorsque la température de lair est plus élevée
au niveau du sol quen altitude, lindice de
l'air augmente avec l'altitude les mirages que
lon peut observer sont dits mirages inférieurs.
Ils peuvent être observés par exemple sur les
routes surchauffées ou dans les déserts chauds.
Les images associées aux mirages inférieurs sont
situées au-dessous de lhorizon, d'où leur nom
elles sont généralement déformées et peuvent être
droites ou inversée.
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Un autre type de mirage intervient quand les
conditions de température sont inversées la
température de lair est plus élevée en altitude
qu'au niveau du sol.
mer
L'indice optique décroît avec l'altitude et les
rayons sont courbés dans l'autre sens. Ces
mirages sont dits mirages supérieurs.
Les conditions d'inversion de température peuvent
être réalisées par exemple dans les régions
polaires, au-dessus de la mer. Les images
associées aux mirages supérieurs sont situées
au-dessus de lhorizon et peuvent être droites ou
inversées.
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II.4 ? Les fibres optiques
Une application de la réflexion totale est le
piégeage dun faisceau lumineux dans des fibres
optiques.
II.4.1 ? Fibres à saut dindice
Cette fibre présente donc un cœur d'indice de
réfraction nc entouré d'une gaine d'indice de
réfraction ng lt nc.
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La transmission du rayon à lintérieur de la
fibre se fait par réflexion totale à linterface
cœur gaine. La gaine doit donc être moins
réfringente que le cœur ng lt nc.
ng
nc
?m
2
ng
nc
-
2
am
sin(am) O.N.
avec

Voir exercice 8 série 1
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Remarque La lumière ne peut se propager dans
une fibre que suivant des valeurs discrètes de
l'angle de réflexion. Ces différentes valeurs
correspondent à des modes de propagation. D'un
mode de propagation à un autre, la longueur du
trajet diffère la durée de propagation n'est
donc pas la même et à la sortie, ces différents
modes peuvent interférer entre eux, entraînant un
élargissement du signal lumineux.
On a donc intérêt à réaliser r1 ltlt r2 afin
d'éviter un grand nombre de modes. On cherche
ainsi à obtenir un seul mode de propagation
c'est le cas de la fibre dite monomode.
Toutefois, sa réalisation est relativement
délicate, aussi lui préfère-t-on la fibre à
gradient d'indice.
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II.4.2 ? Fibres à gradient dindice
n
Il sagit de fibres transparentes cylindriques
dont l'indice de réfraction varie au fur et à
mesure que lon séloigne de laxe (coeur) de la
fibre.
La trajectoire d'un rayon lumineux est une
sinusoïde à la place d'une ligne brisée.
Une telle fibre permet de réduire les fuites
latérales.
FIN