BAB 6 METODE DEDUKSI UNTUK KALIMAT BERKUANTOR

1
BAB 6 METODE DEDUKSI UNTUK KALIMAT BERKUANTOR
Langkah-langkah metode deduksi 1. Lambangkan
semua premis 2. Hilangkan semua kuantor 3.
Terapkan aturan-aturan penurunan kesimpulan 4.
Bubuhkan kuantor

• UNIVERSAL INSTATION (UI)

• Proses penghilangan kuantor universal
• Variabel yang diperoleh disebut variabel instan
  yang merupakan variabel bebas
• UI adalah aturan penarikan kesimpulan yang
  menyimpulkan bahwa Pc benar, dimana c adalah
  variabel anggota dari himpunan yang memiliki
  sifat universal yang diwakili oleh ?xP(x)

(?x)P(x) ? Pc
2
(?x)P(x) ? Pc
Contoh 1 Semua kucing adalah hewan menyusui Puppy
adalah seekor kucing Jadi Puppy adalah hewan
menyusui
Kx x kucing Hx x hewan menyusui p adalah
Puppy
Pembuktian
1 ?x Kx ? Hx Pr
2 Kp Pr / ? Hp
3 Kp ? Hp 1, UI
4 Hp 3,2 MP
3
Contoh 2 Semua orang yang sabar akan berhati
tenang Tidak ada orang yang berhati tenang yang
cepat naik darah Ratnasari adalah orang yang
sabar Jadi Ratnasari tidak cepat naik darah
Sx x orang yang sabar Tx x berhati tenang Cx
x cepat naik darah R adalah Ratnasari
1 ?x Sx ? Tx Pr
2 ?x Tx ? ? Cx Pr
3 Sr Pr / ? ? Cr
4 Sr ? Tr 1, UI
5 Tr ? ? Cr 2, UI
6 Sr ? ? Cr 4,5 HS
7 ? Cr 6,3 MP
4

• UNIVERSAL GENERALIZATION (UG)
• UG adalah aturan penarikan kesimpulan yang
  menyatakan bahwa ?xPx benar, untuk semua variabel
  c yang merupakan anggota dari himpunan yang semua
  anggotanya memiliki sifat P

Pa ??x Px
Contoh Semua mahasiswa matematika adalah
manusia Tak ada manusia yang hidup seribu
tahun Jadi, tak ada mahasiswa matematika yang
hidup seribu tahun
Penyelesaian Ax x adalah mahasiswa
matematika Bx x adalah manusia Cx x hidup
seribu tahun
1 ?x Ax ? Bx Pr
2 ?x Bx ? ? Cx Pr / ? ?x Ax ? ? Cx
3 Aa ? Ba 1, UI
4 Ba ? ? Ca 2, UI
5 Aa ? ? Ca 3,4 HS
6 ?x Ax ? ? Cx 5, UG
5

• EKSTENSIAL GENERALIZATION (EG)
• EG adalah aturan penarikan kesimpulan yang
  menyatakan bahwa ?xPx benar, elemen tertentu c
  dengan Pc diketahui adalah benar

Ma ?(?x) Px
Contoh 1 Semua bilangan prima adalah bilangan
asli Jadi, jika 2 adalah bilangan prima, maka
beberapa bilangan prima adalah bilangan asli
Penyelesaian Px x adalah bilangan prima Ax
x adalah bilangan asli d adalah lambang untuk
bilangan 2 (konstan)
1 ?x Px ? Ax Pr
2 Pd Pr / ? ?x Px ? Ax CP
3 Pd ? Ad 1, UI
4 Ad 3,2 MP
5 Pd ? Ad 2,4 Conj
6 ?x Px ? Ax 5, EG
6
Contoh 2 Ada pokok kesusastraan yang tidak
menarik Tetapi, semua pokok kesusastraan
meluaskan wawasan orang Jadi, ada pokok
kesusastraan yang meluaskan wawasan tetapi tidak
menarik
Penyelesaian Kx x pokok kesusastraan Mx x
menarik Wx x meluaskan wawasan
1 ?x Kx ? ?Mx Pr
2 ?xKx ? Wx Pr / ? ?x Kx ? Wx ? ?Mx
3 Ka ? ? Ma 1, EI
4 Ka ? Wa 2, UI
5 Wa 4, Simp
6 ? Ma 3, Simp
7 Ka 3, Simp
8 Ka ? Wa 7,5 Conj
9 Ka ? Wa ? ?Ma 8,6 Conj
10 ?x Kx ? Wx ? ?Mx 9, EG
7
Contoh 3 Semua mahasiswa Itenas adalah lulusan
SMA Ada mahasiswa Itenas dari Ujung Pandang Jadi
ada lulusan SMA dari Ujung Pandang
Penyelesaian Mx x mahasiswa Itenas Lx x
lulusan SMA Ux x dari Ujung Pandang
1 ?x Mx ? Lx Pr
2 ?xMx ? Ux Pr / ? ?x Lx ? Ux
3 Ma ? La 1, UI
4 Ma ? Ua 2, EI
5 Ma 4, Simp
6 La 3, 5 MP
7 Ua 4, Simp
8 La ? Ua 6,7 Conj
9 ?x Lx ? Ux 8, EG
8

• EKSTENSIAL INTATION (EI)
• EI adalah suatu aturan yang membolehkan kita
  untuk mengambil c sebagai suatu anggota himpunan
  tertentu sehingga P(c) benar, jika diketahui ?xPx
  benar.

(?x) Px ?Pc
Contoh Semua pemenang beasiswa adalah mahasiswa
yang berprestasi Beberapa mahasiswa matematika
adalah pemenang beasiswa Jadi beberapa mahasiswa
matematika adalah mahasiswa yang berprestasi
Penyelesaian Px x adalah pemenang beasiswa Bx
x berprestasi Mx x mahasiswa matematika
1 ?x Px ? Bx Pr
2 ?x Mx ? Px Pr / ? ?x Mx ? Bx
3 Py ? By 1, UI
4 My ? Py 2, EI
5 Py ? My 4, Comm
6 Py 5, Simp
7 By 3,6 MP
8 My 4, Simp
9 My ? By 8,7 Conj
10 ?x Mx ? Bx 9, EI
9

• Aturan pelepasan kuantor dan pembubuhan kuantor

Aturan penarikan kesimpulan Nama
(?x)Px ? Pc Universal Instation
Pa untuk elemen a sembarang ? (?x)Px Universal Generalization
(?x)Px ? Pc untuk suatu elemen c Ekstansial Instation
Mc untuk suatu elemen c ? (?x)Mx Ekstensial Generalization
10
Contoh Soal 6.1 Tidak ada mahasiswa Itenas yang
ingin berlama-lama di Itenas Semua calon dosen
Itenas ingin berlama-lama di Itenas Semua
kemenakan saya mahasiswa Itenas Jadi, tidak ada
kemenakan saya yang menjadi dosen Itenas
Jawab Mx x mahasiswa Itenas Lx x
berlama-lama di Itenas Cy y calon dosen
Itenas Kz z kemenakan saya
1 ?x Mx ? ? Lx Pr
2 ?y Cy ? Ly Pr
3 ?z Kz ? Mz Pr / ? ?x Kx ? ? Cx
4 Mx ? ? Lx 1, UI
5 Cx ? Lx 2, UI
6 Kx ? Mx 3, UI
7 Kx Pr tambahan (x ditandai)
8 Mx 6,7 MP (x bertanda)
9 ? Lx 4,8 MP (x bertanda)
10 ? Cx 5,9 MT (x bertanda)
11 Kx ? ? Cx 7,10 CP
12 ?x Kx ? ? Cx 11, UG
11
Contoh Soal 6.2 Tidak lulusan Itenas atau lulusan
UI yang menjadi nahkoda kapal Pertamina Suwarman
nahkoda kapal Pertamina Jadi, dia bukan lulusan UI
Jawab Ix x lulusan Itenas Ux x lulusan
UI Nx x nahkoda kapal Pertamina s Suwarman
1 ?x (Ix ? Ux) ? ? Nx Pr
2 Ns Pr / ? Us
3 (Is ? Us ) ? ? Ns 1, UI
4 ? (Is ? Us ) 3,2 MT
5 ? Is ? ? Us 4, de Morgan
6 ? Us 5, Simp
12

• PENANGANAN VARIABEL
• Pada metode deduksi kalimat berkuantor, pelepasan
  dan pembubuhan kuantor (umum atau khusus) harus
  dilakukan dengan hati-hati
• Ada beberapa aturan yang tidak boleh dilanggar

Aturan I Jika dalam premis-premis, terdapat dua
kalimat berkuantor ekstensial (?). Bila pada
pelepasan kuantor pertama, variabel instan yang
digunakan adalah a, maka pada pelepasan kuantor
ekstensial yang kedua, variabel yang digunakan
tidak boleh sama dengan a.
Contoh Pelepasan kuantor akan dilakukan pada
premis-premis ?x Rx Rx Ruler (x) ?x Tx Tx
Thief (x)
1 ?x Rx Pr
2 ?x Tx Pr
3 Ry 1, EI
4 Tz 2, EI (langkah yang benar)
5 Ry ? Tz 3,4 Conj
6 ?x Rx ?Tz 5, EG
7 ?y?x RxTy 6, EG
1 ?x Rx Pr
2 ?x Tx Pr
3 Ry 1, EI
4 Ty 2, EI (langkah yang tidak valid)
13
Aturan II Dilarang menghilangkan kuantor khusus
(?), dan mengambil variabel instannya sama dengan
variabel bebas yang ada
Contoh Pelepasan kuantor akan dilakukan pada
premis-premis ?x Kx Kx Kind(x) ?x Tx Tx
Thief (x)
1 ?x Kx Pr
2 ?x Tx Pr
3 Ky 1, UI
4 Ty 2, EI (langkah yang tidak valid)
1 ?x Kx Pr
2 ?x Tx Pr
3 Ky 1, UI
4 Tz 2, EI (langkah yang benar) Tidak lazim
1 ?x Kx Pr
2 ?x Tx Pr
3 Ty 1, EI
4 Ky 2, UI (langkah yang benar dan lazim)
14
Aturan III Jangan membubuhkan kuantor universal
(?)pada suatu konstanta. Pada konstanta hendaknya
diberikan kuantor ekstensial (?)
Contoh Tr Thief (Robinhood)
1 Tr Pr
2 ?x Tx 1, UG Langkah yang salah
1 Tr Pr
2 ?x Tx 1, EG Langkah yangbenar
15
Aturan IV Jangan membubuhkan kuantor universal
(?), suatu variabel yang tidak jelas karena ada
relasi dengan variabel lain
Contoh ?x ?y Pxy Pxy Parents(x,y)
x memiliki orang tua
y y
adalah orang tua x
Setiap orang memiliki orang tua
1 ?x ?y Pxy Pr
2 ?y Pxy 1, UI x bertanda
3 Pxy 2, EI x bertanda, y bertanda
4 ?x Pxy 3, UG langkah tidak valid y bertanda
5 ?y ?x Pxy Tidak valid
Ada seseorang yang merupakan orang tua dari semua
orang
Langkah yang benar
1 ?x ?y Pxy Pr
2 ?y Pxy 1, UI x bertanda
3 Pxy 2, EI x bertanda, y bertanda
4 ?x pxy 3, EG y bertanda
5 ?y?x Pxy 4, UG
16
Urutan pelepasan kuantor yang benar a).
Melepaskan kuantor universal (kuantor terluar),
variabel instan x b). Melepaskan kuantor
ekstensial (kuantor di dalamnya), variabel instan
y
Urutan pembubuhan kuantor yang benar a).
membubuhkan kuantor khusus untuk variabel instan
y (y bertanda) b). Membubuhkan kuantor umum untuk
variabel instan x (x bertanda)
Aturan V Jangan membubuhkan kuantor universal
(memperumum) variabel instan, yang diambil dari
pelepasan kuantor ekstensial
Contoh ?x Gx ada x dan x adalah emas
1 ?x Gx Pr
2 Ga 1, EI
3 ?x Gx 2, UI Langkah yang tidak valid
17
Aturan VI Jangan membubuhkan kuantor umum
variabel yang muncul karena asumsi. Variabel yang
muncul karena asumsi yaitu premis tambahan yang
sering digunakan pada IP dan CP
Contoh 1 Misalkan diberikan asumsi bahwa x adalah
emas Gx
1 Gx Pr tambahan (asumsi)
2 ?y Gy 1, UG Langkah yang tidak valid
3 Gx ? ?y Gy 1, 2 CP
4 ?x (Gx ? ?y Gy) 3, UG Langkah yang tidak valid
18
Contoh 2 Tidak ada mahasiswa Itenas yang ingin
berlama-lama di Itenas
19
Aturan VII Pada setiap pelepasan kuantor baik
universal maupun ekstensial, variabel instan yang
digunakan hendaklah variabel bebas, atau variabel
yang tidak berkuantor
Contoh 1 Kalimat yang memiliki kuantor ganda ?x
?y Pxy Pxy y adalah orang tua x


x memiliki orang tua y
1 ?x ?y Pxy Pr
2 ?y Pyy Langkah yang tidak valid karena variabel instan yang diambil adalah y, yang merupakan variabel terikat (yang memiliki kuanto ekstensial di no. 1)
1 ?x ?y Pxy Pr
2 ?y Pay Langkah yang valid
20
Contoh 2 Premis-premis yang memiliki kuantor
yang berbeda
1 ?x Ix ? Nx Pr
2 ?x Ex ? ?Nx Pr
3 Ex ? ?Nx 2, EI Langkah tidak valid, karena variabel instan yang diambil adalah variabel terikat x (memiliki kuantor universal di no.1)
1 ?x Ix ? Nx Pr
2 ?x Ex ? ?Nx Pr
3 Ea ? ?Na 2, EI Langkah benar
4 Ia ? Na 1, UI Langkah benar