Quantum Search Algorithms

1
Quantum Search Algorithms

• Introduzione agli algoritmi di ricerca
  quantistici

2
Perché usare questi algoritmi?
3
Formalizziamo il problema
4
Cosè un Oracolo?
5

• Negli algoritmi quantistici si usa applicare
  allOracolo loracle qubit nello stato

• Se x dovesse essere la soluzione

• Di conseguenza lOracolo si comporterà nel
  seguente modo

6

• Dalla fig 1notiamo che il termine

rimane invariato perciò possiamo ometterlo per
facilitarne la spiegazione, potremo
descrivere lOracolo così
Possiamo dire che lOracolo marchia la soluzione
con un cambiamento di fase.
7
Esempio di utilizzo

• Fattorizzazione di m ,dove m è un numero grande
  risultato del prodotto di 2 numeri primi p e q
  (come nell RSA cryptosystem).
• In un computer classico dividiamo tutti i numeri
  da 2 a per trovare il più piccolo dei
  fattori e ricaviamo il più grande da questo
  risultato.

• Un Oracolo potrebbe essere utilizzato per
  velocizzare questo processo

8

• Si inizia definendo una funzione

• Si costruisce un circuito classico reversibile
  (la traduzione di un normale circuito classico
• irreversibile)

• Successivamente potrà essere tradotto in uno
  quantistico

9

• Il punto chiave è che dobbiamo scrivere un
  Oracolo che riconosca la soluzione senza
  conoscere a priori i fattori primi di m.
• Il vantaggio è che possiamo cercare la soluzione
  da 2 a con richieste alloracolo
  invece che classiche iterazioni .

10
La Procedura

• L algoritmo fa uso di un registro a n qubits
• e di altri qubits aggiuntivi usati dallOracolo
• Lalgoritmo inizia nello stato

La trasformata di Hadamard è utilizzata per
portare Il computer nel superposition state
11
Grover interation o Grover operator

• Consiste nella continua ripetizione
• dei seguenti passi
• Applico loracolo O
• Applico la trasformata di Hadamard
• Applico un shift di fase condizionato per ogni
  stato tranne lo si avrà lo shift di -1
• Applico la trasformata di Hadamard

12
Rappresentazione schematica
13
(No Transcript)
14
Spiegazione Geometrica

• Uniterazione di Grover
  corrisponde a una rotazione in uno spazio
  bidimensionale coperto da . Per mostrarlo
  adotteremo la seguente convenzione

15
Spiegazione Geometrica 1
16
1riflessione
2 riflessione
17
Spiegazione Geometrica 2
18
Spiegazione Geometrica 3
19
Performance
20
Performance 1
21
Lalgoritmo per M1
22
E per MgtN/2 ?
23
E per MgtN/2 ? 1
24
E per MgtN/2 ? 2
25
E per MgtN/2 ? 2

• Se conoscessimo che MgtN/2 possiamo scegliere un
  indice a caso tra quelli disponibili e sottoporlo
  alloracolo.
• Altrimenti possiamo duplicare il numero degli
  elementi aggiungendo solo elementi che non sono
  soluzioni. Di conseguenza meno di metà degli
  elementi saranno soluzioni.

26
Esempio dellAlgoritmo
27
Esempio dellAlgoritmo 1
28
Esempio dellAlgoritmo 2
29
Esempio di un algoritmo 3
30
Uno sguardo al futuro

• Nonostante l'algoritmo di Grover sia uno
  strumento estremamente versatile e potente, in
  pratica la ricerca in un database fisico sarà
  difficilmente una delle sue applicazioni
  fondamentali, almeno fino a quando la memoria
  classica resterà molto più economica di quella
  quantistica. Per queste ragioni, il campo in cui
  questo algoritmo da' il meglio di sé è
  sicuramente quello della ricerca algoritmica,
  nella quale i dati non sono conservati in
  memoria, ma sono generati al volo da un
  programma pensiamo ad esempio ad un calcolatore
  quantistico programmato per giocare a scacchi,
  che utilizzi l'algoritmo di Grover per
  investigare tutte le possibili mosse a partire da
  una determinata configurazione della scacchiera.

31
Uno sguardo al futuro 1

• Gilles Brassard dell'Universita' di Montreal ha
  recentemente fatto notare, inoltre, un'altra
  importantissima applicazione dell'algoritmo di
  Grover e' nel campo della crittanalisi, per
  attaccare schemi crittografici classici come il
  Data Encryption Standard (DES) con un approccio a
  forza bruta. Crackare il DES fondamentalmente
  richiede una ricerca tra tutte le 256 7 x
  1016 possibili chiavi. Un computer classico,
  potendo esaminarne ad esempio 1 milione al
  secondo, impiegherebbe migliaia di anni a
  scoprire quella corretta un computer quantistico
  che utilizzi l'algoritmo di Grover, invece, ci
  metterebbe meno di 4 minuti.