Vom Qubit zur Quantenteleportation

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Vom Qubit zur Quantenteleportation

• Franz Embacher

http//homepage.univie.ac.at/franz.embacher/ franz
.embacher_at_univie.ac.at Fakultät für Theoretische
PhysikUniversität Wien
Sexagesimalien 23. Jänner 2008
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Inhalt

• Wellen, Messungen und Wahrscheinlichkeiten
• Wechselwirkungsfreie Messung (das
  Bombenexperiment)
• Doppelspalt-Experiment
• Unbestimmtheit
• Qubits die Bausteine der Quanteninformation
• Quanten-Gickse
• Verschränkung
• EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
• Quantenspiel
• Quantenkryptographie
• Quantenteleportation entzaubert
• Quantencomputer
• Das Problem mit der Quantengravitation

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Wellen, Messungen und Wahrscheinlichkeiten

• Klassische Physik
• Messgrößen (Observable)
• Theoretische und experimentelle Befunde Die
  klassische Physik kann nicht richtig sein!
• Max Planck, Albert Einstein Energie der
  Strahlung, Photonen
• Niels Bohr, Arnold Sommerfeld, Erwin Schrödinger
  Stabilität und Spektrum der Atome

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Wellen, Messungen und Wahrscheinlichkeiten

• Louis de Broglie Teilchen verhalten sich wie
  Wellen (Wellenfunktion, y)
• Problem der Deutung der neuen Theorie
• Max Born, Niels Bohr Wellenfunktion ?
  Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse
  (Kopenhagener Deutung)? Orbitale, Atome,
  Moleküle, Stabilität der Materie
• Wellen können einander überlagern
  (Superpositionsprinzip)y y1 y2 , y
  y1 - y2 , y 2 y1 3 y2, ...

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Wechselwirkungsfreie Messung (der Bombentest)

• Die Geschichte mit der Bombe...

? Der Bombentest

• Der Bombentest illustriert die Quantenlogik
  kein klassisches entweder oder anwendbar!
• Einige Bomben sind scharf und bestehen den Test,
  d.h. sie explodieren nicht womit wurde das
  eigentlich gesehen, wenn doch kein Photon beim
  Zünder war?

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Doppelspalt-Experiment
Beschuss mit einzelnen Teilchen! Annahme Das
Teilchen geht durch einen Spalt ? Das Verhalten
eines Teilchens, das durch den oberen Spalt geht,
hängt davon ab, ob der untere Spalt offen ist! ?
Widerspruch?
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Unbestimmtheit

• Werner Heisenberg fundamentale Unbestimmtheit in
  den Messgrößen
• Messgrößen können unbestimmt (unscharf) sein
• Beliebige Körper Ort und Impuls
• Elektronen Spinkomponenten in verschiedene
  Richtungen
• Photonen Polarisationen ( Verhalten an
  Polarisatoren mit unterschiedlichen
  Orientierungen)
• Bombentest Weg des Photons
• Doppelspalt-Experiment Weg des Teilchens

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Qubits die Bausteine der Quanteninformation
Klassisches Bit
0 und 1 bezeichnen Alternativen
0
1
1
0
kein Strom Strom die Zahl 0 die
Zahl 1
Klassische Zustände
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Qubits die Bausteine der Quanteninformation
Qubit
0gt und 1gt bezeichnen Alternativen
Zustandsvektoren (Hilbertraum)
1gt
ygt
1gt
0gt
Spin up Spin down Pol. Pol.
E E
0gt
0
1
Paare aufeinander normal stehender
Zustandsvektoren bezeichnen Alternativen!
a
)
(
a 0gt b 1gt
ygt
b
Messung!
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Qubits die Bausteine der Quanteninformation
ygt
System im Zustand
Messung in der Basis 0gt , 1gt
Wahrscheinlichkeiten für die
möglichen Messausgänge
1gt
ygt
1
b
a
0gt
2
0gt ........ a
2
1gt ........ b
Analoges gilt für beliebige Messungen!
a
)
(
a 0gt b 1gt
ygt
b
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Qubits die Bausteine der Quanteninformation
ygt
System im Zustand Messung in einer verdrehten
Basis
Messung in der Basis Egt , Zgt
Wahrscheinlichkeiten für die
möglichen Messausgänge
Zgt
ygt
x
y
Egt
2
Egt ........ x
2
Zgt ........ y
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Verschränkung

• Alice und Bob, räumlich voneinander getrennt

ygt 0gt 0gt
Produktzustand
Alice
Bob
1
ygt 1gt 1gt
Produktzustand
Alice
Bob
2
verschränkter Zustand (EPR-Zustand)
ygt ygt
1
2
verschränktes Teilchenpaar (EPR-Paar)
Alice
Bob
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Quanten-Gickse
? Quanten-Gickse

• illustrieren die Unbestimmtheit von Messgrößen
• Messgrößen sind äquivalent zum Spin von Teilchen
• Messgrößen sind äquivalent zur Polarisation von
  Photonen

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EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung

• Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen
  Ist die Quantentheorie unvollständig?
• EPR-Paradoxon
• John Bell Konzept für eine Entscheidung durch
  ein Experiment
• Bellsche Ungleichung n(Frauen, Auto)
  n(Frauen, spanisch)
  n(AutofahrerInnen, nicht spanisch)

? EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung mit
Gicksen ? EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
mit Photonen
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EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung

• Experiment (Alain Aspect, Anton Zeilinger)
  Bellsche Ungleichung verletzt!
• Individuelle Polarisationen von Photonen eines
  verschränkten Paareskönnen keine
  Eigenschaften im herkömmlichen Sinn sein!!?
  echte Unbestimmtheit und/oder Nichtlokalität!
• Kopenhagener Deutung Die quantenmechanische
  Unbestimmtheit ist nicht lediglich Unkenntnis,
  sondern tatsächlich ein keinen-festen-Wert-Haben
  !
• Dieser Zug der Quantentheorie kann nicht durch
  eine zugrundeliegende lokalrealistische
  klassische Theorie erklärt werden (wie Einstein
  vermutet hat).

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Quantenspiel

• 3 KandidatInnen, getrennt, jedeR bekommt eine
  Frage
• Geschmack ... süß oder sauer? ? 1 oder 1
  
• Temperatur ... heiß oder kalt? ? 1
  oder 1
• Aufgabe
• Falls GTT, TGT oder TTG ... Das Produkt der
  Antworten soll 1 sein.
• Falls GGG ... Das Produkt der Antworten soll 1
  sein.
• Gibt es eine sichere Strategie?

? Quantenspiel
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Quantenspiel

• Strategiezettel
• Kandidat 1 T ... x1 G ... y1 (x1
  und y1 ... 1 oder 1)
• Kandidat 2 T ... x2 G ... y2 (x2
  und y2 ... 1 oder 1)
• Kandidat 3 T ... x3 G ... y3 (x3
  und y3 ... 1 oder 1)
• Anforderungen an die Strategie
• GTT ..... y1 x2 x3 1
• TGT ..... x1 y2 x3 1
• TTG ..... x1 x2 y3 1
• GGG .... y1 y2 y3 1
• Folgerung y1 y2 y3 (x1)² (x2)² (x3)² 1
• ? y1 y2 y3 1 ...
  Widerspruch zu GGG!

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Quantenspiel
Verschränkte Teilchen haben eine solche
Strategie!
GHZ-Zustand
G und T entsprechen Messungen von Polarisationen
mit unterschiedlich ausgerichteten Polarisatoren.
? Nichtlokalität
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Quantenkryptographie

• Das BB84-Protokoll (Bennet und Brassard,
  1984)Alice und Bob erzeugen einen Schlüssel,
  den nur sie kennen.Alice geht aus von einer
  Liste von Zufallszahlen 01101001... und
  präpariert Zustände in einer von 2 Basen

0
1
oder
0
1
und schickt sie an Bob. Bob misst in einer
beliebigen Basis. Danach werden die verwendeten
Basen offengelegt. Wann immer die gleiche Basis
verwendet wurde, kennen beide die entsprechende
Zahl, d.h. sie verfügen gemeinsam über eine Folge
010001... , mit der dann die Nachricht
verschlüsselt (und durch einen klassischen Kanal
versandt) wird.
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Quantenkryptographie

• Das Problem beim BB84-Protokoll
  Man-in-the-middle attack

Ein Lauscher (Eve) fängt die von Alice
versandten Qubits ab, misst in einer beliebigen
Basis und schickt die Qubits weiter. Danach haben
Alice und Eve den richtigen Schlüssel und Bob
einen falschen! Eve kann die von Alice geschickte
Botschaft entschlüsseln, während Bob nur Unsinn
herausbekommt!Abhilfe Alice und Bob
vergleichen einige Kontroll-Bits
öffentlich.Dadurch kann Eve entdeckt
werden.Diese Methode ist aber nicht absolut
sicher Eve kann beispielsweise durch Zufall
(25) ein einzelnes Bit des Schlüssels (und daher
der Nachricht) unentdeckt mithören.
? Zur Idee der Quantenkryptographie
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Quantenteleportation entzaubert
? Teleportation mit Gicksen ? Theorie der
Teleportation ? Teleportation in Bildern

• Informationsübertragung durch einen klassischen
  Kanal (mit maximal Lichtgeschwindigkeit) ist
  nötig!Keine instantane Informationsübertragung
  möglich!
• Wenn Bob versucht, den unbekannten Zustand
  herauszufinden, bevor er Alices Messresultat
  erfährt, läuft der Gefahr, bei Verwendung der
  falschen Basis den Zustand zu zerstören!In
  Quantenzuständen kann daher weniger Information
  gespeichert werden als auf den ersten Blick
  vermutet!

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Quantenteleportation entzaubert

• Gemischte Zustände

• Wird ein Zustand aus einer der Urnen gezogen, so
  ist im Nachhinein durch Messung nicht
  feststellbar, aus welcher!
• Die beiden Ensembles sind nicht unterscheidbar!
  Sie stellen denselben gemischten Zustand dar
• Ähnlich ist Bobs Situation, bevor er Alices
  Messresultat erfährt!

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Quantencomputer

• Richard Feynman, David Deutsch Parallelrechnung
  in den Zweigen (Partialwellen) einer
  Überlagerung
• Wie viele elementare Rechenschritte sind nötig,
  um herauszufinden, ob zwei Zahlen (die jeweils 0
  oder 1 sind) gleich sind?
  cl ... 2 / qu ... 1
• Wie viele Ablesungen sind nötig, um eine Nummer
  in einem Telefonbuch einer Millionenstadt zu
  finden? cl ... 500000 / qu ...
  1000

? Quantencomputer
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Quantengravitation

• Quantentheorie Schrödingergleichung

AnfangswertproblemWellenfunktion zur Zeit
t 0 vorgegeben? Wellenfunktion zur Zeit t wird
berechnet!

• Allgemeine Relativitätstheorie Die Variable ist
  die Geometrie von Raum und Zeit! Eine Gleichung
  der Form

macht keinen Sinn, da t erst durch Geom
bestimmt wird!
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Quantengravitation

• Eine formale Quantisierung der ART führt auf die
  Wheeler-DeWitt-Gleichung

• Interpretationsprobleme
• Wie kommt das Phänomen der Zeit zustande?
• Was ist eine Messung?
• Rechnerische Probleme
• Formal negative Wahrscheinlichkeiten
• Schlimme Unendlichkeiten

26
Danke...
... für eure Aufmerksamkeit! Diese
Präsentation gibts im Web unter
http//homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Quante
ntheorie/sexagesimalien/