Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones

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Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
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TRABAJO PRACTICO Nº 8 SISTEMAS DE ECUACIONES E
INECUACIONES
1) José los días lunes, martes y miércoles,
fotocopió varias páginas en tres fotocopiadoras
diferentes. El jueves, pensó cuál de las tres
cobraba el menor precio por unidad y no pudo
recordarlo. Después de mucho pensar, volcó lo que
recordaba en tres matrices 
gasto
Lunes 2,80
Martes 2,75
Miércoles 2,56
F1 F2 F3
Lunes 15 20 40
Martes 0 25 50
Miércoles 26 40 8
la matriz
precio
Fotocopiadora 1 x
Fotocopiadora 2 Y
Fotocopiadora 3 z
la matriz
la matriz
a) Efectúe el producto A ? X
b) Con el producto A ? X efectuado,
componga la ecuación matricial A ? X B
c) Halle los precios unitarios.
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
3
2) Resolver en R, si es posible, los siguientes
sistemas de ecuaciones lineales, aplicando a).
Teorema de Cramer y b) Regla de Cramer
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
3) Dados los sistemas lineales 

• Clasificarlos
• b) Analizarlos aplicando el Teorema de Rouché
  Frobenius y, si es posible, determinar el
  conjunto solución de cada uno de ellos.

Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
4
4) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
homogéneos 
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
5) Determinar, si existen los valores de m ? R,
tales que el sistema
Sea a) compatible determinado
b)Incompatible c) Compatible indeterminado
Glosario
Ejercicios para Practicar
Ejercicio Resuelto
6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por
personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio
de sus edades es 18,5. Cuántas personas de cada
edad hay en la clase si la cantidad de personas
de 18 años es mas que el número combinado de las
de 19 y 20 años ?
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
5
7) a) Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo
número de ecuaciones es menor que el de
incógnitas ? Porqué ?. b) Qué puede
decir de un sistema como el mencionado en a), si
es homogéneo ? c) Un sistema normal
compatible, es siempre compatible determinado ?
Porqué ?
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
8) Resolver en R2 los siguientes sistemas de
inecuaciones 
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
6
Producto de Matrices
1
2a
2b
3a
3b
3c
3d
4a
4b
5
6
7a
7b
Matriz Inversa
Determinantes
Operaciones elementales por Gauss - Jordan
Repasemos en el trabajo Práctico Nº 7
Teorema de Rouché Frobenius
7
1) Para multiplicar A x X, primero consideramos
de qué clase es cada una de las matrices la
matriz A que tiene 3 filas y 3 columnas es clase
3x3la matriz X que tiene 3 filas y 1 columna es
clase 3x1
Coinciden el número de columnas de A con las
filas de X
A(3x3) x X(3x1) B(3x1)
A x X
15x 20y 40z
0x 25y 50z
26x 40y 8z
8
Si A ? X B
A ? X B se puede escribir como un sistema de 3
ecuaciones con 3 incógnitas
A ? X es una matriz de 3 filas y 1 columna, igual
que B
para hallar los precios unitarios debemos
resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera
de los métodos conocidos.
Vamos a usar el método de los determinantes
9
? Es el determinante principal, conformado por
los coeficientes de las incógnitas ordenados en
filas y columnas
?i son los determinantes que resultan de
reemplazar los coeficientes de la variable i por
la columna de los resultados del sistema en el
determinante ?
Con todos los valores de ? conocidos buscaremos
10
Resolvemos cada uno de los determinantes
Agregamos las dos primeras filas
Y sumamos los productos de las diagonales
A esto le restamos
la suma del producto de las contradiagonales
Y sumamos los productos de las diagonales
A esto le restamos
Agregamos las dos primeras filas
la suma del producto de las contradiagonales
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Misma técnica para resolver ?y y ?z
La fotocopiadora 1 cobra 0,04
La fotocopiadora 2 cobra 0,03
La fotocopiadora 3 cobra 0,04
12
Teorema de Rouché Frobenius
3a
3b
3c
3d
4a
4b
5
6
7a
7b
En un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
Para operaciones elementales y determinantes ver
TP Nº 7
Definimos como matriz de coeficientes (A), a la
matriz conformada por todos los coeficientes de
las variables del sistema, ordenados según el
mismo orden del sistema
Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos
la columna de los resultados de l sistema como
última columna, tenemos la matriz ampliada (A)
13
3a
3b
3c
3d
4a
4b
5
6
7a
7b
La matriz A es de clase (m x n)
La matriz A es de clase m x (n1)
Encontradas las matrices de coeficientes (A) y
ampliada (A), debemos hallar el rango de cada
una de ellas (por cualquier método apropiado, ver
TP7)
El sistema tiene solución
si además
El sistema es Compatible determinado
admite solución única
El sistema es Compatible indeterminado
admite infinitas soluciones
El sistema es Incompatible
NO tiene solución
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2 a) El teorema de Cramer se aplica en el
siguiente razonamiento
Si
de manera que en el sistema de ecuaciones
ordenado resulta
donde la matriz de coeficientes es
Las incógnitas conforman la matriz
y la columna de términos independientes conforma
la matriz
Buscamos ahora la inversa de la matriz A
Para transformar aplicaremos el método de Gauss
Jordan
2 b
15
Conformamos un esquema con la matriz A a la
izquierda y una matriz unidad de igual clase que
A al la derecha
Luego de sucesivas operaciones elementales en
ambas matrices
cuando tengamos a la izquierda una matriz unidad,
a la derecha habrá quedado la matriz inversa de A
A-1
A
I
I
A-1
- 3
- 4
- 2
1
0
1
1
0
2
0
2 b
16
I
A-1
2 b
17
2 b
18
Conocida A-1 efectuamos el producto
La matriz X es
De los resultado obtenidos tenemos que
Te propongo que verifiques en la consigna que
estos resultados son correctos.
2 b
19
2 b) La Regla de Cramer es la aplicación
generalizada para n incógnitas del método de los
determinantes
Para resolver
ordenamos el sistema
y lo clasificamos
Sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas
conformamos cada uno de los determinantes
20
Y resolvemos cada uno de los determinantes
Aplicando el método del desarrollo por los
elementos de una línea
Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
Elevamos (-1) a la suma del orden fila y columna
del elemento que reemplazamos
multiplicamos por el elemento que
reemplzamos (0 en el primer caso)
y luego por el determinante que resulta de
suprimir la fila y la columna que contiene el
elemento elegido
Los dos primeros términos son factores por 0, por
lo que no es necesario operar, sabemos que esos
resultados son 0
21
Resolvemos ?x por el desarrollo de los elementos
de un línea
Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
Los dos primeros términos son factores por 0, por
lo que no es necesario operar, sabemos que esos
resultados son 0
22
Resolvemos ?y por el desarrollo de los elementos
de un línea
Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
Los dos primeros términos son factores por 0, por
lo que no es necesario operar, sabemos que esos
resultados son 0
23
Resolvemos ?z por el desarrollo de los elementos
de un línea
Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
Los tres primeros términos son factores por 0,
por lo que no es necesario operar, sabemos que
esos resultados son 0
24
Resolvemos ?z por el desarrollo de los elementos
de un línea
Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
Los dos primeros términos y el último son
factores por 0, por lo que no es necesario
operar, sabemos que esos resultados son 0
25
Verificamos los resultados
26
3 a) Para resolver
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
para aplicar las operaciones elementales,
conformamos primero la matriz de coeficientes
y le agregamos la columna de resultados para
conformar la matriz ampliada
3 d
3 c
3 b
27
El rango de la matriz coeficientes es 3
Y el rango de la matriz ampliada también es 3
el número de incógnitas es igual al rango de
ambas matrices
Sistema compatible determinado
(admite un solo conjunto solución)
Te sugerimos que verifiques estos resultados . . .
3 d
3 c
3 b
28
3 b) Para resolver
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
escribimos el sistema completo y ordenado
Para aplicar las operaciones elementales,
conformamos primero la matriz de coeficientes
Y le agregamos la columna de resultados para
conformar la matriz ampliada
3 d
3 c
29
El próximo pivote debe elegirse en la 3º fila 3º
columna, pero ese elemento es 0 (no puede ser
pivote)
Significa que las operaciones elementales
posibles concluyeron
Y quedan evidenciadas en la matriz de
coeficientes dos filas linealmente independientes
(a menos uno de sus elementos es distinto de 0)
pero en la matriz ampliada hay tres filas
linealmente independientes (al menos uno de sus
elementos es distinto de 0)
Sistema incompatible
Este sistema no tiene solución
3 d
3 c
30
3 c) Para resolver
sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas
Para aplicar las operaciones elementales,
conformamos primero la matriz de coeficientes
Y le agregamos la columna de resultados para
conformar la matriz ampliada
3 d
31
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila
3ra ó 4ta columna, pero esos elementos son 0
(no pueden ser pivote)
Significa que las operaciones elementales
posibles concluyeron
quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes
dos filas linealmente independientes (sus
elementos son distintos de 0)
y en la matriz ampliada también hay dos filas
linealmente independientes (sus elementos son
distintos de 0)
3 d
32
Si
Sistema compatible
Sistema compatible indeterminado
pero
Este sistema admite infinitas soluciones
Para resolver el sistema recomponemos un
sistema de ecuaciones con las matrices
coeficiente y ampliadas halladas
confeccionamos una tabla de valores para
encontrar diferentes soluciones, asignándole
valores a z y t, encontramos x e y
despejamos x
despejamos y
x y z t



S1
0
0
-13
-23
S2
1
1
-10
-17
S3
0
1
-8
-16
3 d
33
3 d) Para resolver
sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas
Para aplicar las operaciones elementales,
conformamos primero la matriz de coeficientes
y la matriz ampliada
El próximo pivote debe elegirse en la 2da fila
2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos elementos
son 0 (no pueden ser pivote)
Significa que las operaciones elementales
posibles concluyeron
Y queda evidenciada en la matriz de coeficientes
una fila linealmente independiente (al menos uno
de sus elementos es distinto de 0)
pero en la matriz ampliada hay dos filas
linealmente independientes (al menos uno de sus
elementos es distinto de 0)
Sistema incompatible
Este sistema no tiene solución
34
4 a) Para resolver un sistema homogéneo,
trabajamos como si fuera un sistema normal
Solo nos queda analizar si admite soluciones
diferentes de la trivial (todas las variables
igual a cero)
Sabiendo que el sistema homogéneo será siempre
compatible
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y
la ampliada solamente para visualizar mejor el
rango de ellas
4 b
35
El rango de la matriz de coeficientes es 3
Por ser el sistema homogéneo no nos interesa
analizar la matriz ampliada (r(A) r(A) siempre)
Este sistema homogéneo admite solamente solución
trivial
4 b
36
4 b) Para resolver un sistema homogéneo,
trabajamos como si fuera un sistema normal
ordenamos el sistema
12
las operaciones elementales posibles concluyeron
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila
3ra columna, pero esos elementos son 0 (no
pueden ser pivote)
37
El rango de la matriz de coeficientes es 2
por ser el sistema homogéneo no nos interesa
analizar la matriz ampliada (r(A) r(A) siempre)
Este sistema homogéneo admite soluciones
diferentes de la trivial
Este sistema admite infinitas soluciones
Recomponemos el sistema de ecuaciones,
proponiendo un sistema de ecuaciones equivalente
del nuevo sistema podemos despejar x en función
de z e y en función de z
Y confeccionamos una tabla de valores para
encontrar diferentes soluciones asignándole
valores a z , encontramos x e y
x y z



S1
1
1
-2
S2
-1
-1
2
S3
0
0
0
38
5) Para determinar, si existen los valores de m ?
R, tales que el sistema sea a) compatible
determinado, b)Incompatible y c) Compatible
indeterminado
Efectuamos transformaciones elementales por
Gauss-Jordan
39
Transcribimos el resultado de la última
transformación
Podemos apreciar claramente que
Si m 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna
de la matriz de coeficientes es 0,
con ese elemento se hace 0 toda la 2º fila
de la matriz de coeficientes
Pero m 1 no hace cero el elemento de la 4º
columna (matriz ampliada) y 2º fila
Por lo que si m 1
Sistema incompatible
Para cualquier otro valor de m
Sistema compatible determinado
40
6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por
personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio
de sus edades es 18,5. Cuántas personas de cada
edad hay en la clase si la cantidad de personas
de 18 años es 6 mas que el número combinado de
las de 19 y 20 años ?
Tengo tres informaciones que relacionan los datos
conocidos
Si la cantidad de estudiantes que tiene
1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y
20 años
multiplicamos cada una de las edades por la
cantidad de estudiantes que tienen esas edades y
sumamos los productos
2) El promedio de sus edades es 18,5.
18 años es x
19 años es y
y dividimos por el total de estudiantes para
hallar el promedio de las edades
20 años es z
3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas
que el número combinado de las de 19 y 20 años
Con las tres ecuaciones planteadas, puedo
conformar un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas
que ordenado queda
41
(No Transcript)
42
Las matrices coeficientes y ampliada equivalentes
luego de las transformaciones elementales
resultan
El rango de la matriz de coeficientes es 3
El rango de la matriz ampliada también es 3
el número de incógnitas es igual al rango de
ambas matrices
Sistema compatible determinado
(admite un solo conjunto solución)
Resolvemos el sistema de ecuaciones,
recomponiendo un sistema equivalente con la
matriz de coeficientes y ampliada encontradas
luego de las transformaciones elementales
Te sugerimos que verifiques estos resultados . . .
43
7) a) Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo
número de ecuaciones es menor que el de
incógnitas ? Porqué ?. b) Qué puede
decir de un sistema como el mencionado en a), si
es homogéneo ? c) Un sistema normal
compatible, es siempre compatible determinado ?
Porqué ?
Al analizar los rangos de la matriz de
coeficientes y de la matriz amplidas de cualquier
sistema, en principio, pueden suceder dos cosas
que sean iguales
que no sean iguales
Si los rangos no son iguales, lo que puede
suceder en un sistema cuyo número de ecuaciones
es menor que el de incógnitas 
El sistema es incompatible no tiene solución
Si los rangos son iguales, con seguridad, al ser
menor el número de ecuaciones que el número de
incógnitas
El sistema es compatible indeterminado tiene
múltiples soluciones
7 b
44
7 b) Si el sistema tiene menos ecuaciones que
incógnitas y además es homogéneo
Por ser homogéneo, sabemos que los rangos no
pueden ser diferentes, luego los rangos son
iguales
Por la condición de la consigna, al ser el número
de ecuaciones menor que el número de incógnitas,
necesariamente el rango es menor que el número de
incógnitas
Entonces el sistema es compatible determinado, al
ser homogéneo, admite múltiples soluciones
diferentes de la trivial
45
8 a) Para resolver inecuaciones, en general, las
tratamos a cada inecuación como una ecuación y la
representamos gráficamente
Trazamos primero un par de ejes coordenados
Luego analizamos la inecuación y gt x como si se
tratar de y x
Pero con trazos punteados porque no están
incluidos los valores de y x entre los que
buscamos sino los de y gt x
sombreamos el semiplano que verifica y gt x
luego graficamos la región que verifica x gt 0
Se aprecian cuatro regiones con diferentes
sombras
El sombreado verde representa la primera
inecuación
El sombreado claro representa la segunda
inecuación
No se verifican ninguna de las condiciones donde
no hay sombreado
Se verifican ambas condiciones donde hay
sombreado doble
8 d
8 c
8 b
46
Finalmente representamos la tercera inecuación y
lt 3
Queda determinada una región con triple
sombreado, y es precisamente esa la zona del
conjunto solución del sistema
Tengamos presente que esta es una región
abierta porque las líneas que delimitan la
región no están incluidas en el conjunto solución
Por ejemplo el punto (1 2) es una solución del
sistema
Pero (2 6) no es solución porque verifica solo
dos de las condiciones pero no la tercera
Te queda para practicar proponer la ubicación de
los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones
ó solo una ó ninguna
como también encontrar otros puntos que
verifiquen el sistema de inecuaciones
8 d
8 c
8 b
47
8 b) Para resolver inecuaciones, en general, las
tratamos a cada inecuación como una ecuación y la
representamos gráficamente
Trazamos primero un par de ejes coordenados
Luego analizamos la inecuación y lt 5 - x como
si se tratara de y 5 - x
con trazos punteados porque no están incluidos
los valores de y 5 - x entre los que buscamos
sino los de y lt 5 - x
sombreamos el semiplano que verifica y lt 5 - x
luego graficamos la región que verifica y ? x
3
Se aprecian cuatro regiones con diferentes
sombras
El sombreado verde representa la primera
inecuación
El sombreado marrón representa la segunda
inecuación
Se verifican ambas condiciones donde hay
sombreado doble
No se verifican ninguna de las condiciones donde
no hay sombreado
8 d
8 c
48
Finalmente representamos la tercera inecuación y
? 1
Queda determinada una región con triple
sombreado, y es precisamente esa la zona del
conjunto solución del sistema
esta es una región abierta en la línea verde
pero cerrada en las otras dos
Por ejemplo el punto (1 3) es una solución del
sistema
Pero (2 6) no es solución porque verifica solo
la tercera condición pero no las otras dos
Te queda para practicar proponer la ubicación de
los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones
ó solo una ó ninguna
como también encontrar otros puntos que
verifiquen el sistema de inecuaciones
8 d
8 c
49
8 c) tenemos un sistema formado por una
inecuación y una ecuación
que ordenada queda
Trazamos primero un par de ejes coordenados
Luego analizamos la inecuación y ? 2x - 4 como
si se tratara de y 2x - 4
sombreamos todo el semiplano que verifica la
condición y ? 2x - 4
Representamos gráficamente
Las soluciones de este sistema deben verificar
ambas condiciones
Pertenecer al semiplano sombreado
Pertenecer a la recta
Verifican ambas condiciones los puntos de la
recta que están en la región del semiplano
Por ejemplo el punto (6, 5)
8 d
50
8 d) tenemos un sistema formado por dos
ecuaciones y una inecuación
que ordenada queda
Trazamos primero un par de ejes coordenados
Representamos gráficamente
Representamos gráficamente
Luego analizamos la inecuación x1 ? 7 como si
se tratara de x1 7
sombreamos todo el semiplano que verifica la
condición x1 ? 7
Las soluciones de este sistema deben verificar
las tres condiciones
Pero las rectas paralelas no tienen puntos en
común, luego este sistema NO TIENE SOLUCION
51
Yo creo bastante en la suerte. He constatado que
cuanto más trabajo, mas suerte tengo.
Thomas Jefferson
con un poco de trabajo . . .
Lograremos cosas importantes
Algún día en cualquier parte, en cualquier lugar
indefectiblemente te encontrarás a ti mismo, y
esa, sólo esa, puede ser la más feliz ó la mas
amarga de tus horas. Pablo Neruda