Title: Partie 3 : Propri
1Partie 3 Propriétés linéaires des composites à
microstructure périodique
- 1 Notions spécifiques aux microstructures
périodiques - 1.1 Cellule de base
- 1.2 Champs de déformation et de contrainte
périodiques - 1.3 Méthode des échelles multiples
- 2 Propriétés élastiques effectives
- 2.1 Loi de comportement effective
- 2.2 Problème local
- 2.3 Exemple 1D
- 3 Méthode des éléments finis
- 4 Exemples
2Propriétés linéaires des composites à
microstructure périodique
Intérêt par rapport à lhomogénéisation des
microstructures aléatoires - présente dans les
composites (UD, tissus, tricots, ), milieux
poreux, mousses, ... - cadre mathématique
rigoureux (méthode des échelles multiples) -
calculs numériques (utilisation de codes de
calculs EF)
31.1 Choix dune cellule de base périodicité
taille minimale
d ? l
- Définit le milieu par translation le long de
trois vecteurs - Propriétés effectives indépendantes de son choix
(non unicité de son choix)
périodicité
41.2 Champ de déformation et de contrainte
périodique
- Conditions en déformations périodiques
Rappel conditions homogènes au contour du VER
? déformations périodiques si d ? l
Par exemple, on impose E11 seul
5Déplacements dans les cellules
u1 u10 u1
6- Conditions de déplacement micro périodiques
(u) - Contraintes anti-périodiques (s -)
- contraintes S.A.
71.3 Méthode des échelles multiples
8- Hypothèses en HPP les champs u, e, s sont
- fonctions des 2 variables x et y supposées
indépendantes - périodique en y (y-périodique)
on montre que
92. Propriétés élastiques effectives
2.1 Loi de comportement effective
- Loi de comportement micro
- Loi de comportement effective
- et problème associé
lts0gt
102.2 Problème local
Sur la cellule de base inconnue u1
À résoudre
Données
- pb délasticité avec déformation résiduelle
homogène ou de thermo-élasticité - ? 6 problèmes sur la cellule de base (Eij)
conditions de périodicité - problèmes linéaires ? solution dépend
linéairement des données Eij
112.3 Exemple 1D Composite 1D
Échelles multiples
Problème global
Équilibres
À résoudre (problème local)
Données
12Composite 1D Résolution
problème local ?
On remarque que par périodicité
?
u1(y)
132. Résolution par éléments finis
On utilise la linéarité / Eij
Quand ?kh connus
? Skh
? s0(x,y) Skh (y) Ekh
? S(x) lt Skh(y)gt Ekh
14Les composites à fibres longues
- On peut décomposer ces déformations en 2
catégories
3 problèmes plans
2 problèmes anti-plans
le même tourné de p/2
15Composites à fibres longues, à matériaux
constitutifs isotropes (l(y), m(y)), on montre
qu on doit résoudre 4 pbs plans 2 pbs de type
laplacien
- 1ers pbs plans ?ab
- données Eab (a,b1,2)
pbs plans avec 3 déformations résiduelles ? ?ab
- 2nds pbs plans ?33
- donnée E33
solution évidente pour les composites usuels (Ef
gtgt Em) ? ?33
- pbs anti-plans ?a3
- données Ea3
similaire à un pb de thermique (de type
laplacien) ? ?a3
164. Exemples
4.1 Matériau composite isotrope de type Al/SiCp à
renforts sphériques
Module dYoung ?33
17Module dYoung
ur0
uz0
Conditions aux limites périodiques - bords
latéral et supérieur restent droits, - sur les
deux autres bords conditions de déplacement nul
uzu3
Chargement imposé sur le bord supérieur
18Module dYoung pour un matériau composite
isotrope de type Al/SiCp (renforts sphériques)
194.2 Composite organique Verre/Epoxyde à fibres
longues (Léné, 1984)
matériaux constitutifs isotropes l(y), m(y)
20Modules dYoung pour un Verre/Epoxyde à fibres
longues
21Modules de cisaillement pour un Verre/Epoxyde à
fibres longues
22Comparaison avec lhomogénéisation de type
désordre parfait
- Les matériaux étudiés ne sont pas les mêmes en
principe - Ici bonne prise en compte des hétérogénéités
locales de s ou u - La solution par MEF est relativement lourde ici
/ modèles de type self-consistent - Il existe dautres mèthodes (Transformées de
Fourier rapides) - Utilisation outil numérique -gt traitement des
comportements endommagés, plasticité, ...