Self-Testing/Correcting Protocols

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Self-Testing/Correcting Protocols

• Carsten Rebbien
• 225868

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Inhalt

• Einführung
• Begriffsklärung / Definitionen
• Byzantine Agreement / Crusader Agreement
  Funktionen
• Self-Tester für Agreement Funktion
• Self-Corrector für Agreement Funktion
• Zusammenfassung

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Einführung

• Testen von Programmen
• Ergebnisse müssen bekannt sein
• Wie bekannte Ergebnisse ermitteln?
• Von Hand prüfen
• Programm zur Bestimmung der Ergebnisse
• Programmchecker
• Läuft parallel zum eigentlichen Programm
• Prüft nur Korrektheit einzelner Eingaben

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Einführung

• Selbsttestender Programmchecker (Self-Tester)
• Ruft zu testendes Programm P mit Eingabe x auf
• Bestimmt Wahrscheinlichkeit mit der f(x)P(x)
  gilt
• Selbstkorrigierendes Programm (Self-Corrector)
• Korrigiert fehlerhaftes Programm, falls die vom
  Self-Tester errechnete Wahrscheinlichkeit niedrig
  genug ist

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Begriffe / Definitionen

• Verteilte Funktion F Vn ? Rn, VR
• mit Bezug auf Umgebung f Wn ? Sn
• wobei WV (SR) plus Charakteristika zur
  Etikettierung der Prozessoren
• Protokoll Implementierung von f
• vollständig verbundenes Netzwerk von n
  Prozessoren
• pro Prozessor ein Programm

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Begriffe / Definitionen

• Orakelprotokoll P
• Protokoll P ruft Protokoll P auf (Schreibweise
  P P)
• Dv Wkeitsverteilung nach der die Eigaben vi ,
  1in, bestimmt werden
• ? Umgebung in der P läuft
• Pi Ausgabe von Prozessor i
• error(f,P,Dv ,?)Wkeit, dass f ¹ P
• ß Zufriedenheitsparameter

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Begriffe / Definitionen

• Self-Testing Protokoll T
• If error(f,P,Dv ,?)e1 then Pr("iT Pi"PASS")
  1-ß
• If error(f,P,Dv ,?)e2 then Pr("iT Pi"FAIL")
  1-ß
• 0 e1 lt e2 1
• Self-Correcting Protokoll C
• If error(f,P,Dv ,?)e then Pr("i C Pifi)
  1-ß
• 0 e lt 1

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Begriffe / Definitionen

• Klein-o-Bedingung
• Berechnung erfolgt in mehreren Runden Þ
  Laufzeit Anzahl der Runden
• Laufzeit von T P und C P muss o(R) betragen, wenn
  Aufrufe von P als o(1) aufgefasst werden, R
  minimale worst-case Laufzeit von P

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Agreement Funktion

• Byzantine Agreement (BA)
• Quelle s sendet Startwert vs Î V
• nach Termination geben alle korrekten Prozessoren
  diesen Wert wieder aus
• V Eingabemenge
• B faulty, nonfaulty
• T true, false
• BA (V B)n ? (V T)n

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Agreement Funktion

• Gültigkeitsbedingung
• "i bi nonfaulty
• Agreement Bedingung
• Crusader Agreement (CA)
• genau wie BA
• Agreement Bedingung
• falls s nicht korrekt ist, entscheiden sich nur
  korrekte Prozessoren, die nicht ausdrücklich
  wissen, dass s nicht korrekt ist, für den
  gleichen Wert

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Self-Tester für Agreement Funktion (BA), für
Prozessor i
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Self-Tester für Agreement Funktion (BA), für
Prozessor i
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Self-Tester für Agreement Funktion (BA), für
Prozessor i

• Yli 0/1-Zufallsvar. (Prozessor i wird im lten
  Aufruf mit fail charakterisiert)
• Sei µiEYli,
• Korollar 1
• Sei µ' µi für alle i, und sei
  N1/µ'16ln(2n/ß). Dann Pr(i Yi µ'/2) ß
• Korollar 2
• Sei µ" µi für alle i, und sei N1/µ"4ln(2n/ß).
  Dann Pr(i Yi 2µ") ß

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Self-Tester für Agreement Funktion (BA), für
Prozessor i

• Theorem 1 Der Agreement_Tester(AT) ist ein
  (e/8,e)-Self-Tester.
• Beweis
• Erwartete Ausgabe EYiµid error, ½ltdlt1
• (errore) Sei µ' e/2 und N1/e32ln(2n/ß). Laut
  Kor.1 ist Pr(iYie/4)ß. Jedoch, im AT gibt
  Prozessor i "FAIL" aus falls Yigte/4. Also,
  falls errore gibt der AT mit einer Wkeit von
  mind. 1- ß "FAIL" für jeden Prozessor aus.
• (errore/8) Sei µ" e/8 und N1/e32ln(2n/ß).
  Laut Kor.2 ist Pr(iYie/4)ß. Jedoch, falls
  Yilte/4 gibt Prozessor i "PASS" aus. Also, falls
  errore/8 gibt der AT mit einer Wkeit von mind.
  1- ß "PASS" für jeden Prozessor aus.

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Self-Corrector für Agreement Funktion (BA), für
Prozessor i
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Self-Corrector für Agreement Funktion (BA)

• Proposition Sei a ¾ und seien X1,X2,...,Xn
  unabhängig gleichverteilte Zufallsvariablen mit
  Werten 0 und 1, so dass PrXi1a, i1,2,...,N.
  Dann
• Beweis Chernoff-Schranken

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Self-Corrector für Agreement Funktion (BA)

• Theorem 2 Der Agreement_Corrector(AC) ist ein
  e-Self-Corrector für BA.
• Beweis Angenommen, für alle i ist bei einem
  einzigen Durchlauf mit einer Wkeit von höchstens
  e die Ausgabe des Prozessors i Pi¹r (Pi¹x-r).
  Dann geben beide Aufrufe von P mit einer Wkeit
  von mind. 1-2e ein korrektes Ergebnis zurück. Mit
  a1-2e und n Durchläufen folgt die Aussage
  direkt aus der Proposition.

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Zusammenfassung

• Programmchecker
• Byzantine Agreement Funktion
• Selbsttestende/-korrigierende Protokolle
• Self-Tester für BA
• Self-Corrector für BA