Dep.%20de%20Inform

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Dep. de Informática - UFMAEstruturas Discretas
e Lógica Matemática

• Slides adaptados de Michael P. Frank Curso
  Baseado no Texto
• Discrete Mathematics Its Applications (5th
  Edition) Kenneth H. Rosen

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Natureza e Importância das Provas

• Em matemática, uma prova é
• Um argumento que estabelece a verdade sobre uma
  afirmativa matemática de maniera rigorosa e
  irrefutável.

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Aplicações de Métodos de Prova

• Prova de teoremas possui aplicações em
  verificação de programas, segurança de
  computadores, sistemas especialistas, etc..
• Provar um teorema nos permite confiar na sua
  correção mesmo em cenários críticos.
• Em geral, ao tentar provar algo descobrimos
  alguns erros
• E.g. correção de um programa
• Descobrimos porque o programa não está
  funcionando.

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Provas em Lógica de Predicados

• Caso especial
• Provas de teoremas em lógica de predicados.
• Vamos construir um cálculo formal para construção
  dessas provas e introduzir uma maneira menos
  formal

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Terminologia

• Teorema
• Afirmativa que deve ser provada para ser
  verdadeira.
• Premissas - Axiomas
• Afirmativas (em geral não provadas) definindo as
  estruturas sobre as quais estamos argumentando.
• Regras de inferência
• Padrões de deduções para a partir das hipóteses
  chegarmos às conclusões.

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Mais Terminologia

• Lemma
• Teorema menor, que pode ser usado como um passo
  intermediário para provar um teorema maior.
• Corolário
• Teorema menor provado como consequência direta de
  um teorema maior.
• Conjectura
• Afirmativa cujo valor verdade não foi provado
• Teoria
• Conjunto de teoremas que podem ser provados a
  partir de um conjunto de axiomas.

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Cálculo Dedutivo

• Existem várias maneiras formais de provar
  teoremas em lógica.
• Abordagem axiomática
• Tabelas semânticas
• Dedução Natural
• Vamos estudar a Dedução Natural
• Baseada no uso de regras de inferência

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Regras de Inferência Forma Geral

• Um regra de inferência é
• Um padrão estabelecendo que se conhecemos um
  conjunto de premissas verdadeiras, então podemos
  deduzir certas conclusões realacionadas são
  verdadeiras.
• premissa 1 premissa 2 ? conclusão ?
  logo

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Regras de InferênciaLógica Propos.

• p Regra da Adição? p?q
• p?q Regra da Simplificação ? p
• p Regra da Conjunção q ? p?q

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Modus Ponens Modus Tollens

• p Modus ponensp?q
• ?q
• ?q p?q Modus tollens ??p

Modo da afirmação
Modo da negação
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Silogismo

• p?q Silogismo hipotético q?r?p?r
• p ? q Silogismo disjuntivo
• ?p
• ? q

Aristóteles (ca. 384-322 B.C.)
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Validdade das Regras de Inferência

• Podemos provar para cada uma dessas regras sua
  validade
• Se as premissas são True então a conclusão deve
  ser True.
• Exemplo Regra do silogismo disjuntivo Se p ?
  q e ?p então qUse tabela verdade para provar
  que esta regra é válida

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Regras de Inferência e Implicações

• Cada RI válida corresponde a uma implica que
  representa uma tautologia.
• premissa 1 RI premissa 2 ?
  conclusão
• Tautologia correspondente
• ((prem 1) ? (prem 2) ? ) ? conclusão

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Completude das RI

• Estas RI não são suficiente para provar todos os
  teoremas (i.e., não são completas)
• Por exemplo
• Suponha vc deseja provar uma proposição da forma
  p?q. (Ou?p)
• Somente uma regra é aplicável silogismo
  hipotético (esta regra pressupõe que os
  antecedentes também são da forma p?q)
• Discutiremos isto depois.

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Prova Formal

• A prova formal de uma concluão C, a partir das
  premissas p1, p2,,pn consiste de um sequência
  finita de passos, em cada um deles aplicando
  alguma regra de inferência às premissas ou a
  afirmativas previamente provadas, para ao final
  fornecer uma nova afirmativa verdadeira -
  conclusão

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Validade e Verdade

• Método de prova é válido se
• nunca chega a conclusão falsa partindo de
  premissas verdadeiras
• nunca chega a conclusão verdadeira partindo de
  premissas falsas

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Prova Forma - Exemplo

• Suponha as seguintes premissasNão está com
  sol, está frio.Vamos nadar somente se estiver
  com sol.Se não nadarmos vamos andar de
  barco.Se andarmos de barco chegaremos cedo em
  casa.
• E prove o teoremaVamos chegar cedo em casa
  usando RI.

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Prova Forma Exemplo - Solução

• Considere
• sol Está com sol frio Está frio
• nadar Vamos nadar
• barco Vamos andar de barco
• cedo Chegaremos cedo em casa.
• As premissas podem ser escritas como(1) ?sol ?
  frio (2) nadar ? sol(3) ?nadar ? barco (4) barco
  ? cedo

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Prova Forma Exemplo - Solução

• Passo Provado por1. ?sol ? frio Premissa 1.2.
  ?sol Simplificação of 1.3. nadar?sol Premissa
  2.4. ?nadar Modus Tollens em 2,3.5.
  ?nadar?barco Premissa 3.6. barco Modus Ponens
  em 4,5.7. barco?cedo Premissa 4.8. cedo Modus
  Ponens em 6,7.

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RI para Quantificadores

• ?x P(x) Instanciação universal
• ?P(o) (substitui um objeto específico o)
• P(g) (g um elemento qualquer do UD)??x P(x)
  Generalização universal
• ?x P(x) Instanciação existencial
• ?P(c) (substitui por uma nova constante c)
• P(o) (substitui um objeto o) ??x P(x)
  Generalização existencial

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• Regras problemáticas
• Generalização universal (qualquer o)
• Instanciação existencial (novo c)
• Regras sem problemas
• Instanciação universal
• Generalização existencial

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Exemplo simples

• O argumento é correto ou não?
• Todo aluno de computação é bonito.
• Jocivaldo é aluno de computação.
• Assim, Jocivaldo é bonito.
• Primeiro separe as premissas da conclusão
• Premissa 1 Todo aluno de computação é bonito
• Premissa 2 Jocivaldo é aluno de computação.
• Conclusão Jocivaldo é bonito.

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cont

• Escrevendo em notação de lógica.
• Premissa 1
• Todo aluno de computação é bonito.
• U.D. todas as pessoas
• T(x) x é aluno de computação
• E(x) x é bonito
• Premissa 1 afirma ?x(T(x)?E(x))

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cont

• Premissa 2
• Jocivaldo é aluno de computação.
• R Jocivaldo
• Premissa 2 afirma T(R)
• Conclusion afirma E(R)
• Argumento correto

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Cont....

• Afirmativa Como foi obtida
• ?x(T(x) ? E(x)) (Premissa 1)
• T(Ramesh) ? E(Ramesh) (Instanciação
  Universal)
• T(Ramesh) (Premissa 2)
• E(Ramesh) (Modus Ponens de afirmativa 2
  e 3)

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• Na prática, provas são apresentadas de maneira
  informal.
• Mostraremos algumas técnicas

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Exemplo de Prova Informal

• Teorema
• Se ?x(P(x) ?Q(x) e ?x(Q(x) ?R(x))
• Então ?x(P(x) ?R(x)).
• Prova Suponha que premissas valem mas conclusão
  não, e.g., P(a) and ?R(a).
• Primeira premissa implica que P(a)?Q(a), assim
  temos que Q(a).
• Segunda premissaimplica que Q(a)?R(a), assim
  também temos R(a).
• O que gera uma contradição pois ?R(a)
• Logo Suposição inicial não pode ser True.

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Forma geral desta prova

• Teorema Se p e q então r.
• Prova Assume p e q (premissas)Supõe que ?r.
  (tenta)Esta suposição leva a uma
  contradição (e.g. R(a) ?
  ?R(a))..Assim, ?r não pode ser True.Logo, r
  deve ser True.
• Esta estratégia de prova é denominada
• Prova por contradição
• Redução ao absurdo

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Outros métodos de prova para implicações

• Prova Direta Assume p é true, e prova q.
• Prova indireta Assume ?q, e prova ?p.
• Prova por Vácuo Prove ?p por ele mesmo.
• Prova Trivial Prove q por ele mesmo.
• Prova por casos Mostre que p?(a ? b),e (a?q) e
  (b?q).

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Exemplo Prova Direta

• Definição Um inteiro n é impar sss n2k1 para
  algum inteiro k n é par sss n2k para um k.
• Teorema (Para todos os números n) Se n é impar,
  então n2 é um inteiro impar.
• Prova Se n é ímpar, então n 2k1 para algum
  k. Assim, n2 (2k1)2 4k2 4k 1 2(2k2
  2k) 1. Logo n2 é da forma 2j 1 (com j igual
  a 2k2 2k), logo n2 é impar.

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Prova Indireta - Exemplo

• Teorema (Para todo inteiro n) Se 3n2 é
  ímpar, então n é ímpar.
• Prova Suponha que a conclusão é falsa, i.e., n
  é par. Então n2k para algum k. Assim 3n2
  3(2k)2 6k2 2(3k1). Logo 3n2 é par. Logo
  3n2 não é ímpar. Mostramos que (n é
  impar)?(3n2 é impar), assim a contra-positiva
  (3n2 é impar) ? (n é impar) tambem é True

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Exemplo de Prova por Vácuo

• Teorema (Para todo n) Se n é par e impar então
  n2 n n.
• Prova A afirmativa n é par e ímpar é False,
  poissince no number can be both odd and even.
  Assim o teorema é verdadeiro por vácuo.

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Prova Trivial - Exemplo

• Teorema (Para n inteiro) Se n é a soma de dois
  números primos, então né par ou n é impar.
• Prova Qualquer inteiro é par ou ímpar. Assim a
  conclusão é verdadeira sem importar os
  antecedentes. É trivialmente True.