Symmetriat ja symmetriarikot kvanttikentt

1
Symmetriat ja symmetriarikot kvanttikenttäteoriois
sa

• Laudaturseminaari 25.9.07
• Matti Antola

2
0.1 Alkupölinät

• Esitelmän kulku
• 1 Symmetrioista 3
• 2 Symmetrioiden ja symmetriarikkojen
  luokittelu 5
• 3 Higgsin mekanismi 8
• 4 Kiraalisymmetria 11
• Yhteenveto 14
• Enemmän kiinnostaa tässä symmetriarikko kuin
  symmetriat itsessään

3
1.1 Symmetrioita

• Kirjain T on peilisymmetrinen keskiakselin
  suhteen gt peilauksen jälkeen T näyttää samalta
• Pallo on pallosymmetrinen gt rotaation jälkeen
  pallo näyttää samalta
• Matemaattisesti?
• Lagrangianilla on isospin SU(2) symmetria gt
  muunnoksen jälkeen Lagrangiani säilyttää muotonsa
• Helpompi käyttää sanoja invariantti ja
  muunnos
• Pallo on invariantti rotaatiomuunnoksessa,
  Lagrangiani on invariantti SU(2) muunnoksessa

4
1.2 Symmetriat kvanttikenttäteorioissa

• Mikä on kvanttikenttäteoria (kahdessa rivissä)?
• Fysikaalisesti klassiset ratkaisut kentille
  fluktuaatiot
• Matemaattisesti aktio gt korrelaattorit,
  määrittelee teorian täysin
• Symmetriat tärkeitä
• Kvanttimekaniikassa eksakteja symmetrioita
• Teorioiden luokitus lokaalien ryhmien mukaan
• SMSU(3)xSU(2)xU(1) (väri x heikko x
  elektromagneettinen)
• Usein havaittu symmetria luonnossa gt vaatimus
  teorialle
• Esim. isospin SU(2)

5
2.1 Symmetrioiden luokittelu

• Vaikutusavaruuden mukaan
• aika-avaruus koordinaatit gt kenttäteoriassa
  ulkoinen symmetria, esim Lorentz symmetria
• Kvanttitilat gt sisäinen symmetria, esim
  Isospin SU(2)
• Symmetriaryhmän mukaan
• Jatkuva (Lie ryhmä), esim isospin SU(2) ja
  Poincare
• ei-jatkuva, esim varauskonjugaatio ja pariteetti
• Aika-avaruusriippuvuus
• ei riipu paikasta x globaali symmetria, esim.
  isospin SU(2)
• riippuu paikasta x lokaali symmetria (gauge
  symmetry), esim SU(2) weak

6
2.2 Symmetrioiden luokittelu

• Pitävyyden perusteella
• eksakti symmetria / rikkoutumaton symmetria
• likimääräinen symmetria pieni määrä
  rikkoutumista (kvantifioitava)
• rikottu symmetria symmetria ei ole havaittavissa
• Likimääräinen tai rikottu symmetria rikkoutunut
• Eksplisiittisesti, esim termi Lagrangianissa
• Spontaanisti, esim potentiaali symmetrinen,
  mutta kentän minimiarvon lähellä epäsymmetrinen
• Dynaamisesti, esim fermionikondensaatti gt massa
  fermionille

7
2.3 Symmetrioiden luokittelu

• Yhteensä ...monta... kombinaatiota!
• Tavoitteena
• Mikä on Goldstonen teoreema?
• Johdattaa Higgsin mekanismiin ja
  kiraalisymmetriaan
• Ensimmäinen lokaali eksakti spontaanisti rikottu,
  toinen globaali likimääräinen (dynaamisesti)
  rikottu
• Spontaneous Symmetry Breaking (SSB) /
• Dynamical Symmetry Breaking (DSB) /
• Explicit Symmetry Breaking (ESB)
• ... niin mitä eroa?

8
3.1 Spontaani symmetriarikko

• Esimerkkinä kompleksinen skalaarikenttä
• Usein järjestysparametri

9
3.2 Goldstonen teoreema

• Jokaista rikottua symmetriageneraattoria vastaa
  yksi massaton hiukkanen Goldstonen bosoni
• Pätee globaalille eksaktille symmetrialle
• Jos symmetria likimääräinen gt pienimassainen
  bosoni, pseudo-Goldstone
• Lokaalin symmetrian vastine jokaista rikottua
  symmetriageneraattoria vastaava mittabosoni saa
  massan
• Ei pystytä osoittamaan yleisesti
• Tämä on Higgsin mekanismi

10
3.3 Higgsin mekanismi

• Higgsin mekanismi on tapa saada mittakentille ja
  fermioneille spontaanisti massa
• SMn tapa rikkoa heikko vuorovaikutus (EWSB)
• Myös fermionit saavat massan, kun Lagrangianiin
  otetaan Yukawa-muotoinen termi
• Miksi?
• Lltä vaaditaan jotain symmetrioita gt usein
  massatermit pilaavat symmetrian
• Mittakentän massatermi ei invariantti
• heikko vuorovaikutus...
• renormalisoituvuus
• SM leptoneilla ei voi olla massatermiä
• Korkeilla energioilla symmetrinen faasi
  hiukkaset massattomia, matalilla energioilla
  rikottu faasi massat

11
4.1 Likimääräinen symmetria

• Likimääräinen symmetria heikko eksplisiittinen
  symmetriarikko
• jokin symmetria on melkein voimassa voidaan
  kirjoittaa L L0 L1
• Usein osa L1 voi tulla jonkin toisen sektorin
  spontaanista symmetriarikosta
• Myös anomaliat
• Anomalia voi häivyttää symmetrian jäljet
  kokonaan, kuten QCDn flavor axial U(1)
• Vain jos kiraalisymmetria mittakenttäteoriassa
  (lokaali symmetria)

12
4.2 Dynaaminen symmetriarikko

• Dynaaminen symmetriarikko (Dynamical Symmetry
  Breaking) on eräänlainen spontaani symmetriarikko
• Teknisiä laskuja
• Vain mittakenttäteorioissa
• Ei näy klassisella tasolla eli puutason
  graafeissa
• Ei näy potentiaalista johtuu interaktioista!
• Täydellinen propagaattori VOI olla ratkaisuja
  jotka ei toteuta alkuperäisiä symmetrioita

13
4.3 Kiraalisymmetria

• QCDssä kaksi kevyintä kvarkkia on hyvin kevyitä
• Jos kvarkkien massat poistetaan, huomataan että
  Lagrangiani erottuu vasenkätisten ja
  oikeakätisten hiukkasten osalta kokonaan
• Tähän liittyy globaali symmetria SU(2)xSU(2),
  joka on siis likimääräinen symmetria
• Pioneilla on oikeat kvanttiluvut vastatakseen
  rikkoutuneen kiraalisymmetrian Goldstoneja
• Pseudo-Goldstoneja, kun otetaan huomioon että
  kvarkit eivät ole kokonaan massattomia
• Eli kvarkkien massatermit ovat hyvin pieniä,
  mutta silti antavat spontaanille symmetriarikolle
  suunnan
• Tässä keskusteltu kahdesta kevyimmästä kvarkista
  voidaan osoittaa (ainakin Weinberg voi), että
  vastaava SU(3)xSU(3) on varmasti spontaanisti
  rikottu

14
Yhteenveto

• Goldstonen teoreema osoittaa, että jokaista
  globaalin symmetrian rikottua generaattoria
  vastaa massaton hiukkanen
• Lokaalin symmetrian tapauksessa rikottua
  generaattoria vastaava mittakenttä saa massan
  (Higgsin mekanismi)
• Voidaan argumentoida että QCDssä on dynaamisesti
  rikottu likimääräinen kiraalisymmetria, jolle
  suunnan antaa kvarkkien pienet massat
• SSB on mikä vain symmetriarikko, millä on jollain
  tavalla dynaaminen alkuperä vaikka m2(T)
• DSB tarkoittaa nimenomaan interaktioista johtuvaa
  symmetriarikkoa
• ESB jokin staattinen efekti rikkoo symmetrian