D-teoria - kvantittunut avaruus ja aika

1
D-teoria Uusi kvanttimekaniikan tulkinta
perustuen kvantittuneeseen avaruuteen ja
aikaan gravitaation ja kvanttimekaniikan
yhdistäminen. versio 3.04 29.7.2022
Pekka Virtanen
2
Johdanto Luonnontieteiden ehkä merkittävin
yksittäinen saavutus on atomin keksiminen.
Ainetta ei voida jakaa osiinsa loputtomiin.
Atomin idea viittaa siihen, että maailmassa on
yksi erikoisasemassa oleva mittakaava eli atomin
mittakaava. Fyysikot uskovat, että kaikki
luonnonilmiöt syntyvät yhden mittakaavan tasolta
eli kvantti-ilmiöiden mittakaavasta. Mittakaava
liittyy avaruuteen. Mitä on tyhjä tila eli
avaruus? Millaisia ovat tyhjän avaruuden rakenne
ja ominaisuudet? Onko olemassa pienin jakamaton
pituus ja ovatko avaruuden suunnat kvantittuneet
pienimmässä mittakaavassa? Erikoisasemassa olevan
mittakaavan olemassaolo viittaa kvantittuneeseen
eli solurakenteiseen avaruuteen. Silloin avaruus
voidaan kuvata taustasta riipumattomilla
yksikkövektoreilla, jotka virittävät kyseiset
solut. Tällainen avaruus on absoluuttinen mutta
eri kuin Newtonin absoluuttinen avaruus. Tyhjää
avaruutta ei ole mahdollista havaita suoraan
mutta sen rakennetta on mahdollista tutkia
teoreettisesti. Kun avaruus kuvataan
solurakenteisena, monet arkijärjen vastaiset
kvantti-ilmiöt voidaan ymmärtää.
Havaintoavaruuden ilmaantumiseksi
solurakenteisesta avaruudesta tarvitaan
karkeistettuja havaintoja. Klassinen
havaintoavaruus syntyy geometrisesti
absoluuttisen avaruuden emergenttinä
ominaisuutena. On kaksi erilaista kuvaa yhdestä
avaruudesta, karkeistettu ja karkeistamaton,
lineaarinen ja epälineaarinen. D-teoriaa voidaan
pitää kvanttimekaniikan uutena tulkintana, joka
perustuu avaruuden rakenteen määrittelevään
hypoteesiin. Kvantittuneen avaruuden ja ajan
malli mm. ratkaisee kvanttimekaniikan
mittausongelman ja tuottaa Lorentzin
muunnosyhtälöt, joihin Suhteellisuusteoria
puolestaan perustuu. Kun matematiikka soveltuu
hyvin luonnonilmiöiden kuvaamiseen ja on
abstrakti osa tätä maailmaa, on kattavan
fysikaalisen teorian kuvattava myös matematiikan
perusteet kuten esim. lukujoukkojen syntyminen.
Avaruus on myös matemaattinen käsite ja
absoluuttinen avaruus yhdistää fysikaalisen
maailman ja siinä syntyvän matematiikan
toisiinsa. Havaitsijan tietoisuus on näyttänyt
olevan osa mittausprosessia. Kvantittuneen
avaruuden malli antaa uuden näkökulman
tietoisuuden merkitykseen kvanttimekaniikassa.
Myös toinen tulkintaan liittyvä asia,
ei-lokaalisuus, tulee ymmärrettäväksi
avaruusmallin avulla. Kolmas tulkintaan liittyvä
asia on hiukkasen aaltofunktio, joka on
kvanttimekaniikassa matemaattinen abstraktio.
D-teoriassa sillä on yhteys kompleksiseen
absoluuttiseen avaruuteen, joka ei rakenteensa
(Manhattan-metriikka) vuoksi ole havaittava eikä
yksikäsitteinen. Silloin havaitsemattoman vapaan
hiukkasen paikkakaan ei ole yksikäsitteinen ja
hiukkanen näyttää aallolta. Mittaus muuttaa asian
antamalla hiukkaselle paikan lineaarisessa
yksikäsitteisessä havaintoavaruudessa eli
romahduttamalla hiukkasen aaltofunktion
samanaikaisesti kaikkialla. Kvanttifysiikan
Standardimallissa symmetria-avaruuksien rotaatiot
ovat keskeisiä asioita, samoin ns. mittaperiaate.
Rotaatiot ja mittaperiaate liittyvät suoraan
kvantittuneen avaruusajan ominaisuuksiin. Kun
avaruus käsittää myös kvantittuneen
kompleksiavaruuden, makroskooppisen sauvan
rotaatiot solurakenteisessa avaruudessa ovat
mitansäilyttäviä. Lopulta jää jäljelle vaatimaton
kysymys "Mitä kaikki on?". Voidaan osoittaa, että
kysymykseen ei ole mahdollista saada vastausta.
Yksi abstraktio jää malliin aina jäljelle. Mutta
vain yksi.
3
D-teoria - Kvantittuneen avaruuden ja ajan
malli Osa ? Avaruus ja aika Teorian
hypoteesi Suuressa mittakaavassa fysikaalinen
tila-avaruus on taustasta riippumaton
neliulotteisen hyperoktaedrin kolmiulotteinen
kvantittunut pinta. Se on euklidiseen
havainto-avaruuteen verrattuna neliöllinen ja
absoluuttinen. Suljetun pinnan sisä- ja
ulkopuolella sijaitseva reunallinen
kompleksiavaruus ulottuu määrätylle etäisyydelle
pinnasta. Aika on myös kvantittunut ja
avaruudessa pätee Manhattan-metriikka. (
Havaintoavaruus on absoluuttisen avaruuden
emergentti ominaisuus. Se syntyy absoluuttisesta
avaruudesta karkeistettujen havaintojen kautta
jokaiselle havaitsijalle liiketilasta riippuen
erilaisena ja on neljällä ortonormeeratulla
kantavektorilla viritetyn Riemannin hyperpallon
kolmiulotteinen pinta.)
4
Uusi D-teoria 3.04 on ilmestynyt D-teoria esittää
uuden tavan lähestyä kaikkia fysiikan ilmiöitä.
Teoria perustuu geometriaan, algebraan ja
logiikkaan. Yleinen suhteellisuusteoria perustuu
geometriaan mutta kvanttimekaniikka ei.
Abstraktiin algebraan perustuvan
kvanttimekaniikan geometrisointi on välttämätöntä
näiden kahden teorian yhdistämiseksi
. Määritellään aluksi absoluuttisen avaruuden
Manhattan-metriikkaan perustuva geometria
suuressa ja pienessä mittakaavassa. Absoluuttinen
avaruus kuvataan kvantittuneeksi ja neliölliseksi
havaintoavaruuteen verrattuna, myös aika
kvantitetaan. Samalla osoitetaan, että
havaitsijalle ei voi olla olemassa absoluuttista
paikkaa eikä aikaa. Lorentzin muunnosyhtälöiden,
relativistisen Diracin yhtälön ja relativistisen
energiayhtälön toteutuminen avaruusmallissa on
vahva näyttö mallin pätevyydestä. Mallin mukaan
taustasta riippumaton solurakenteinen avaruus
monine ominaispiirteineen on ainoa tarvittava
substanssi. Silloin esim. aika ja alkeishiukkaset
syntyvät pelkästään avaruudesta ja ovat avaruuden
ominaisuuksia. Absoluuttinen avaruus ei
kuitenkaan osoittaudu yksikäsitteiseksi
havaintoavaruudessa nähtynä, mikä selittää esim.
ns. aaltofunktion romahtamisen mittauksen
yhteydessä. D-teoria osoittaa matemaattisesti,
että maailma on deterministinen ja
reduktionistinen. Kaikki makroskooppiset ilmiöt
gravitaatio mukaanluettuna selittyvät
kvanttitason ilmiöiden kautta. Uusimpana
lisäyksenä teoria sisältää sähköheikon voiman
varaukset, vuorovaikutushiukkaset massoineen sekä
Weinbergin kulman tarkan arvon johtamisen. Solurak
enteisen avaruuden riippumattomuus taustasta
tarkoittaa, että avaruutta tarkastellaan vain
sisältäpäin. Soluille, jotka muodostavat tilan
eli avaruuden, ei määritellä eikä edellytetä
mitään taustaa. Soluilla on paikka ja
ominaisuudet vain toisiinsa nähden, ei taustan
suhteen. Määrittelijät itse koostuvat samoista
soluista ja määräytyvät täysin niiden
ominaisuuksista. Määrittelijät kuuluvat siis itse
samaan joukkoon määriteltävän kohteen kanssa..
5
D-teorian suhde Standardimalliin D-teorian
ymmärtäminen ei vaadi kvanttimekaniikan
Standardimallin syvällistä tuntemusta.
Standardimallin yhtenä perustana on aaltofunktio
ja sen vaiheen globaali ja lokaali invarianssi
eli ns. mittaperiaate. Globaalin mittaperiaatteen
mukaan järjestelmän aaltofunktion vaihe voidaan
muuttaa kaikissa avaruuden ja ajan pisteissä vain
yhdellä kertaa ja samalla määrällä.
Standardimalli ei esitä aaltofunktiolle
fysikaalista merkitystä. D-teoria kertoo
geometrisesti, mitä aaltofunktio ja sen
kompleksinen vaihe ovat ja mistä mittaperiaate
syntyy. Mittaperiaatteen kehittäjät pitivät
mittaperiaatetta eli vaiheen globaalia
invarianssia suhteellisuusperiaatteen vastaisena,
mutta D-teoria osoittaa, että niin on vain
näennäisesti. Mittaperiaatetta sovelletaan
D-teoriassa sähkömagnetismin ja gravitaation
kuvauksessa. Toinen Standardimallin perusta ovat
symmetriaryhmien U(1), SU(2) ja SU(3) erilaiset
rotaatiot eli kierrot. D-teoria osoittaa ryhmien
U(1) ja SU(2) osalta näiden ryhmien merkityksen
sähköheikossa vuorovaikutuksessa sekä syyn
siihen, miksi rotaatioryhmät ovat merkittäviä
kvanttimekaniikassa. SU(2)-rotaatioryhmän
ominaisuuksia sovelletaan spin-½-hiukkasten
geometrisessa kuvauksessa yhdessä abstraktin
isospin-avaruuden kanssa. Symmetriaryhmää SU(3)
käytetään värivoiman kuvauksen yhteydessä. Standar
dimalli sisältää W- ja Z-bosonit sähköheikon
voiman vuorovaikutushiukkasina. Niiden massat on
mitattava. D-teoriassa johdetaan W-bosonin massan
arvo neljän merkitsevän numeron tarkkudella sekä
tarkka arvo Weinbergin kulmalle, josta saadaan
lasketuksi Z-bosonin massan suuruus. Johtaminen
tehdään kokonaislukuja käyttäen kuten
kvantittuneessa aika-avaruudessa
kuuluu. Standardimallin mukaan energia ja kentät
ovat kvantittuneita. D-teorian mukaan myös
avaruuden suunnat, pituudet sekä aika ja
liikemäärä ovat kvantittuneet. Aika on
Standardimallissa parametri eikä malli selitä
ajan olemusta tai ominaisuuksia. D-teorian
avaruusmalli kuvaa suhteellisen ajan olemuksen ja
ominaisuudet kvantti-ilmiöiden tasolta.
Standardimalli sisältää monta eri substanssia.
D-teorian mukaan substansseja tarvitaan vain
yksi. Ainoa substanssi selittää periaatteessa
kaikki fysikaaliset ilmiöt. Standardimalli
sisältää käsitteet sattuma ja todennäköisyys,
mutta D-teoria ei niitä tarvitse. Maailma näyttää
D-teorian mukaan täysin deterministiseltä.
Determinismin välttämättömyys syntyy kaiken
olevaisen kvantittumisesta. Standardimalli ei
esitä mitään testattua mallia gravitaatiolle, ja
siten kvanttimekaniikkaa ja gravitaatiota ei ole
kyetty siinä yhdistämään. D-teoria esittää mallin
gravitaation ja hitausvoiman yhdistämiseksi
kvanttimekaniikkaan. Standardimalli ei auta
tulkitsemaan kvanttimekaniikan mittausongelmaa,
aaltofunktion romahtamista mittauksessa tai
vaikka hiukkasparin lomittumiseen liittyvää
ei-lokaalisuutta. Fyysikot kiistelevät, onko
maailma ei-lokaali tai epädeterministinen tai
molempia. D-teoria esittää tulkinnan ja
selityksen näille fyysikoita jo kauan
askarruttaneille kysymyksille.
6
Avaruuden ja ajan kvantittaminen puuttuu
Standardimallista, mutta on keskeinen asia
D-teoriassa. Fysiikassa on aikaisemmin
kvantisoitu energia sekä myöhemmin hiukkaset ja
vuorovaikutuskentät. Seuraavaksi kvantisoidaan
avaruus ja aika. Se on järjestyksessä kolmas ja
viimeinen kvantittaminen sekä samalla uusi
paradigma. D-teoriassa hiukkaset tai edes
avaruuden pisteet eivät ole pistemäisiä, jolloin
teoriaan ei synny äärettömyyksiä, jotka pitäisi
saada kumoutumaan keskenään. Kun ajatellaan
Standardimallista poiketen, että avaruus on
solurakenteinen, törmätään monen mielestä
ongelmaan. Avaruus näyttää olevan samanlainen
kaikissa suunnissa eli avaruus on isotrooppinen.
Kuinka avaruus silloin voisi olla
solurakenteinen? Vastaus saadaan, kun
määritellään avaruuden rakenne ja materia
tavalla, joka saa avaruuden näyttämään
isotrooppiselta makroskooppisessa mittakaavassa.
Tämä määrittely johtaa mm. kvantti-ilmiöiden
käsittelyyn aivan uudella geometriaan
perustuvalla tavalla. Samalla määrittely on
teorian ainoa hypoteesi.
7
D-teorian tausta
Geometria
Kvanttimekaniikka- ei-lokaalisuus-
epätarkkuusperiaate- tilastollisuus-
tulkintaongelmat- abstrakti algebra
Yleinen suhteellisuusteoriaGravitaation
olemassaolo riippuu koordinaatistosta, joten
gravitaatio on avaruuden geometrian ominaisuus
LaajennusKaikki, mitä on olemassa, syntyy vain
avaruudesta ja sen ominaisuuksista eli avaruus on
ainoa substanssi.
D-teoria- lokaali Manhattan-metriikka-
deterministinen- kvantittuneet avaruus ja aika
- havaintoavaruus on vain kuva
Pekka Virtanen
Fysikaalinen todellisuus
Paradigman vaihtoModernin fysiikan mukaan
absoluuttista avaruutta ei ole olemassa.
D-teorian mukaan vain absoluuttinen avaruus
kaikkine ominaispiirteineen on olemassa.
8
Matematiikan suuri merkitys fysiikassa Matematiika
n avulla voidaan kuvata ilmiöitä hämmästyttävän
tehokkaasti. Matematiikka näyttää olevan suorassa
yhteydessä luonnon perimmäisiin ilmiöihin, eikä
syytä tunneta. Matematiikan perusteet, kuten
lukujoukot, syntyvät maailman sisäisenä
abstraktina ominaisuutena, eikä niitä voi valita
mielivaltaisesti. Niillä voi olettaa olevan
yhteys maailmankaikkeuden sisäiseen
rakenteeseen. HypoteesiMillainen fysikaalinen
avaruus - sellainen algebra. Millainen
fysikaalinen avaruus - sellainen geometria eli
millainen fysikaalinen avaruus - sellainen
matematiikka. Tämä tarkoittaa, että oma
fysikaalinen avaruutemme on määrännyt millaiseksi
matematiikkamme ja logiikkamme voi kehittyä.
Avaruus on keskeinen tekijä kaikissa fysiikan
ilmiöissä, ja avaruus on samalla matemaattinen
käsite. Voidaankin ajatella, että abstrakti
matemaattinen teoria kertoo fysikaalisen
avaruuden luonteesta. Tarkastelemalla
matematiikan peruskäsitteitä saadaan tietoa
fysikaalisesta avaruudestamme. Yksi esimerkki
tästä ovat imaginääriluvut. Ajatelkaamme outoa
lukua i, joka ei ole tästä maailmasta. Sillä ei
ole suuruutta eikä se voi olla negatiivinen eikä
positiivinen. Tämä luku kuitenkin sijaitsee
omalla lukusuorallaan, jolla on avaruudessa
kuvitteellinen imaginäärinen suunta. Tämä
lukusuora on kohtisuorassa reaalilukujen
lukusuoraa vastaan. Niinpä imaginääriluku saadaan
näkyväksi eli reaaliseksi lisäämällä siihen uusi
kohtisuora suunta eli neliöimällä luku. Näin luku
i voidaan ymmärtää luvuksi, jolla on avaruudessa
oma suuntansa, jota emme voi koskaan havaita,
mutta sen neliöllä on reaalinen
arvo. Imaginääriluvut ilmestyivät matematiikkaan
jo kauan sitten, mutta niitä alettiin ymmärtää
vasta, kun syntyi kompleksitason eli
kompleksiavaruuden käsite. Kolmikantainen
reaalilukujen avaruutemme sai yhden kannan eli
ulottuvuuden lisää. Imaginäärilukujen
ilmestyminen matematiikkaamme kertoo, että
avaruutemme on nelikantainen ja että meille ei
ole teoriassa mahdollista havaita neljättä
imaginäärisen (kuvitteellisen) kantavektorin
suuntaa avaruudessamme. Silti voimme käyttää
kompleksilukuja neljännen kantavektorin
suuntaisten ilmiöiden käsittelyyn. Imaginääriluvut
muuttuvat reaalisiksi, kun ne neliöidään.
Kirjoittamalla koordinaatistomuunnos X x ²
, Y y ² , Z z ² ja I i ² siirrytään
(x,y,z,i)-avaruudestamme neliölliseen
4-kantaiseen avaruuteen (X,Y,Z, I). Tällaista
avaruutta kutsutaan absoluuttiseksi, koska 4
ortonormeerattua avaruussuuntaa ovat siinä
havaittavia eli reaalisia. Tällaisessa
avaruudessa esim. neliö X Y 1 kuvautuu
lineaariseen (x,y,z)-havaintoavaruuteemme
yksikköympyräksi x² y² 1. Tällainen muunnos,
vaikka se onkin matemaattisesti hallitsematon,
voidaan todella tehdä tietyin edellytyksin ja
tietyin seurauksin, joista lisää myöhemmin.
9
Absoluuttisessa 4-kantaisessa avaruudessa
Pythagoraan lause kirjoitetaan esim. ds a b
c d, missä a ? b ? c ? d. Havaintoavaruudessam
me sama lause kirjoitetaan ds² a² b² c²
d². Matematiikan lukujoukkojen laajentamista
voidaan kuvata seuraavan kaavion avulla
Luonnolliset luvut
Kokonais-luvut
Rationaali-luvut
Reaali-luvut
Kompleksi-luvut
Negatiiviset kokonaisluvut
Murto-luvut
Irrationaali-luvut
Imaginääri-luvut
Lukujoukkojen määrää ei ole mahdollista laajentaa
suuremmaksi! Niinpä kompleksilukujen joukko on
laajin mahdollinen lukujoukko, jolle ovat
voimassa tietyt algebralliset perusominaisuudet
(vaihdanta- ja liitäntälait, osittelulaki,
neutraalialkiot sekä vasta- ja käänteisalkio). Se
on samalla algebrallisesti suljettu
lukujoukko. Edelliset lukujoukot löytyvät kaikki
havaitsijan maailmasta eli n-ulotteisesta
euklidisesta avaruudesta. Kompleksilukujen
olemassaolo siinä tarkoittaa, että fysikaalisessa
absoluuttisessa avaruudessa ulottuvuuksia
(kantoja) on silloin n1 kappaletta. Havaitsijan
n-kantainen avaruus oletetaan suljetuksi, ja n
3. Kvanttimekaniikassa sovelletaan menestyksellä
ryhmäteoriaa, erityisesti Lien algebraa. Se on
abstraktia algebraa, jossa tutkitaan rotaatioiden
ominaisuuksia erilaisissa avaruuksissa.
Todellisten hiukkasten käyttäytymistä kuvaavia
Lien ryhmiä ovat U(1), SU(2) ja SU(3). Ne kaikki
liittyvät kompleksiavaruuteen. Matemaatikko Felix
Klein esitti, että geometriaa eivät luonnehdi ja
määrittele niinkään geometriset oliot, vaan
pikemminkin ryhmämuunnokset, jotka jättävät
geometrian ennalleen, eli symmetriat. Erilaisilla
avaruuksilla on erilaiset symmetriaominaisuudet.
Voidaan sanoa, että avaruuden geometrian
määrittelee parhaiten sen symmetriaryhmä. Näiden
Lien ryhmien käyttö kvanttimekaniikassa vihjaa
hiukkasten sijaitsevan kompleksiavaruudessa. Matem
atiikka sisältää käsitteen ääretön. Mihin tahansa
lukuun voidaan aina lisätä mikä tahansa luku ja
tulos sopii aina lukusuoralle. Lukusuora ei
koskaan pääty. Käsite ääretön merkitsee, että
avaruudella ei ole olemassa reunaa. Silloin
fysikaalisen avaruuden on oltava suljettu
rakenne, joka on myös kierrettävissä ympäri,
mutta ei havaittavalla tavalla. Suljettua kehää
voi kiertää ympäri matkan, jonka pituus on
ääretön.
10
Matemaatikko ja loogikko Kurt Gödel osoitti,
ettei matematiikassa minkä tahansa
aksioomajärjestelmän kaikkia lauseita ole
mahdollista todistaa oikeaksi tai vääräksi
aukottomasti, mikä perustuu lopultakin siihen,
että avaruus on suljettu eikä siitä voi poistua
ulkopuolelle toteamaan, mikä on totta ja mikä ei.
Siten emme esimerkiksi koskaan voi tietää, missä
avaruutemme sijaitsee suhteessa johonkin
muuhun. D-teoriassa osoitetaan, että avaruuden
suuren ja pienen mittakaavan rakenteella on
keskeinen merkitys kaikissa fysiikan ilmiöissä.
Siksi fysiikka ei voi saada lopullista muotoaan
ilman tämän rakenteen selvittämistä. Avaruuden
rakenteesta seuraa myös joitakin loogisesti ja
geometrisesti johdettavissa olevia asioita kuten
esim. valonnopeuden vakioisuus. Suhteellisuusteori
assa avaruuden rakenne ei ole hypoteesi (vaan
mysteeri). Suhteellisuusteoriassa on kaksi
hypoteesia, jotka Einsteinin mukaan ovat 1.
Valon nopeus on kaikissa tyhjiössä toistensa
suhteen liikkuvissa koordinaattijärjestelmissä
yhtä suuri. 2. Kaikissa toistensa suhteen
tasaisesti liikkuvissa koordinaattijärjestelmissä
ovat voimassa samat luonnonlait. Nämä molemmat
hypoteesit voidaan johtaa loogisesti D-teorian
avaruuden rakennetta koskevasta hypoteesista,
joka esitettiin jo tämän dokumentin alussa.
D-teorian hypoteesia tukevat lisäksi monet
mittaukset. Matematiikka on abstrakti asia.
Abstrakti on myös fysikaalinen absoluuttinen
avaruus, jota on mahdoton havaita, kuten pian
osoitetaan. Absoluuttinen avaruus on fysiikassa
abstrakti raja, jota pidemmälle luontoa ei ole
mahdollista ymmärtää. Matematiikan ja fysiikan
yhteiseksi perustaksi asettuu siis absoluuttinen
avaruus ja se selittää matematiikan tehokkuuden
luonnontieteissä.
The School Of Athens
Paul Benioff Lopullisen kaikenteorian ei
pitäisi vain yhdistää fysiikkaa vaan tarjota myös
yhteinen selitys fysiikalle ja matematiikalle.
11
Solurakenteinen absoluuttinen avaruus Laajeneva
avaruus voidaan kuvata lukumäärältään kasvavien
ortonormeerattujen kantavektoreiden joukon
virittämänä avaruutena siten, että dimensioluku N
1,2,3 kuvaa kantavektoreiden lukumäärän
kasvua. Aluksi dimensioluku N1. Määritellään
avaruus yksinkertaisella tavalla aloittamalla
yksiulotteisesta janasta. Jana on abstrakti malli
jollekin, minkä olemusta ei voida tietää. Jana on
taustasta riippumaton avaruuden kvantti, joka
virittää eli luo avaruuden. Janalla on 2
päätepistettä ja sen pituus olkoon aluksi yksi
yksikkö. Annetaan janan sitten kääntyä uuden
ulottuvuuden suuntaan 90 astetta ja saadaan
neliö, jolla on kaksi lävistäjää eli pääakselia.
Lävistäjät leikkaavat toisensa keskipisteissään,
ja kumpikin lävistäjä tulee jaetuksi kahdeksi
uudeksi janaksi. Avaruudessa pätee
Manhattan-metriikka.
y
Y
X
x
Kun N 2, absoluuttinen avaruus voidaan kuvata
koordinaatistossa (X,Y) neliönä lXl lYl 1
, kun lXl,lYl lt 1. Neliön kuvitellut sivut ovat
etäisyydellä XY 1 neliön keskipisteestä, kun
etäisyydet lasketaan ainoastaan kahden pääakselin
suuntaisina matkoina. Absoluuttinen avaruus (X,Y)
on D-teorian hypoteesin mukaan neliöllinen
verrattuna euklidiseen havaintoavaruuteen
(x,y)-koordinaatistossa, jolloin sijoittamalla
edelliseen X ? x ² , Y ? y ² saadaan
euklidisessa havaintoavaruudessa x ² y ²
1. Saadaan yksikköympyrän kehä. Edellinen muunnos
voidaan tehdä tietyin edellytyksin ja seurauksin,
joista lisää myöhemmin. (Havaintoavaruus kuvataan
D-teoriassa myöhemmin.) Lisätään koordinaatistoon
yksi kanta, eli N 3, antamalla neliön kääntyä
90 astetta uuden ulottuvuuden suuntaan. Saadaan
oktaedri.
Oktaedri on säännöllinen monitahokas, joka
sisältää 3 lävistäjää ja 6 kärkeä. Tahkoja on 8
ja ne ovat säännöllisiä kolmioita. Lävistäjät
ovat keskenään samanpituisia ja kohtisuorassa
toisiaan vastaan. Oktaedrin 2-ulotteisen
kuvitellun pinnan jokainen piste on samalla
etäisyydellä keskipisteestä, kun etäisyydet
mitataan pääakseleiden suuntaisina eli lXl lYl
lZl 1 , kun lXl,lYl,lZl lt 1. Oktaedrin
lävistäjät määrittävät avaruuden etäisyydet
kolmen pääakselin suunnassa. Lävistäjät
leikkaavat toisensa. Siten kukin lävistäjä tulee
jaetuksi kahdeksi janaksi.
12
Absoluuttinen avaruus (X,Y,Z) on neliöllinen
verrattuna havaintoavaruuteen koordinaatistossa
(x,y,z), jolloin sijoittamalla edelliseen X ?
x ² , Y ? y ² , Z ? z ² saadaan
euklidisessa havaintoavaruudessa x ² y ² z ²
1. Saadaan havaintoavaruuden yksikköpallo. Lisät
ään koordinaatistoon yksi kanta eli N 4
antamalla oktaedrin kääntyä 90 astetta uuden
ulottuvuuden suuntaan. Saadaan hyperoktaedri
(engl. hexadecachoron). Hyperoktaedri koostuu
16sta tetraedrista siten, että lävistäjiä on
neljä ja kärkiä on kahdeksan. Hyperoktaedrin
pinta on 3-kantainen ja voidaan täyttää
kolmiulotteisilla ei-säännöllisillä
tetraedreilla. Kaikki 4 keskenään kohtisuoraa
kantaa ovat hyperoktaedrissa symmetriset eikä
yhtä voida erottaa toisesta. Pinnan kaikki
pisteet ovat yhtä kaukana hyperoktaedrin
keskipisteestä, kun etäisyys lasketaan
pääakseleiden suunnassa. Saadaan lXl lYl lZl
lUl 1 , kun lXl,lYl,lZl,lUl lt
1. Sijoittamalla edelliseen X ? x ² , Y ?
y ² , Z ? z ² ja U ? u ² saadaan
hyperoktaedrille havaintoavaruudessa x ² y ²
z ² u ² 1 , joka on Riemannin hyperpallo.
Hyperpallossa pääakseleiden suunnat ovat
kadonneet ja pallon pinta on 3-kantainen.
Yksinkertaistetussa kuvassa hyperoktaedrillä on
kahdeksan kärkeä. Nelikantaisen objektin
visualisointi 3D-avaruudessa on mahdotonta. Kun
hyperoktaedria leikataan lävistäjää vastaan
kohtisuoralla tasolla, saadaan leikkauskuvioksi
oktaedri. Kun lävistäjiä on 4, voidaan oktaedrit
nimetä kirjaimilla Ox, Oy, Oz, ja Ou.
Hyperoktaedrin pinta on 3-kantainen Tälle
pinnalle voidaan asettaa miten tahansa
paikallinen 3-kantainen ortonormeerattu
(x,y,z)-koordinaatisto. Silloin neljäs
avaruussuunta u on aina kohtisuorassa pintaa
vastaan.
13
Liikuttaessa pinnalla ja siirryttäessä tahkolta
toiseen vaihtuu neljäs avaruussuunta toiseksi
siten, että kukin suunnista X,Y,Z ja U ovat
omalla tahkollaan kohtisuorassa pintaa vastaan.
Paikallinen 4-kantainen koordinaatisto virittää
avaruuden, jossa neljäs koordinaatti on pinnan
3-kantaisuuden vuoksi aina erikoisasemassa muihin
kolmeen verrattuna. Paikallisesti sitä kutsutaan
nimellä "neljäs ulottuvuus" tai "4.D". Sitä ei
euklidisella 3D-pinnalla ole mitenkään
mahdollista suoraan havaita. Neljäs ulottuvuus on
pinnalla aina reunallinen (tai nolla), kun muut
kolme ovat pinnan kautta sulkeutuneita ja siten
reunattomia. Hyperoktaedrin 3-kantainen pinta
voidaan osittain täyttää kolmiulotteisilla
tetraedreilla. Tetraedrit eivät silloin ole
säännöllisiä. Kahdeksan vierekkäistä tetraedriä
muodostavat yhdessä säännöllisen oktaedrin.
Niinpä hyperoktaedrin solurakenteisen 3D-pinnan
määritellään koostuvan säännöllisistä
oktaedreista, jotka muodostavat oktaedrin
lävistäjän paksuisia kuoria. Lävistäjän puolikas
on avaruuden pienin käyttökelpoinen mittayksikkö.
3D-pinnan paksuuden 4.Dn suunnassa voidaan
ajatella olevan nolla (tai ns. Planckin säteen
suuruinen, kuten myöhemmin tarkemmin kuvataan).
Oktaedrit täyttävät 3D-avaruudesta vain osan.
Lopun täyttävät ns. antioktaedrit kuten pian
tarkemmin esitetään.
Kaksi epäsäännöllistä tetraedria. Niitä tarvitaan
kahdeksan yhden säännöllisen oktaedrin
muodostamiseen
Y
-Z
X
-X
Z
-Y
Kunkin origon paikka lävistäjien muodostamassa
verkossa on määrätty. Oktaedrin origo Oktaedrien
särmien leikkauspistePositiivinen avaruussuunta
Solumaisen 3D-avaruuden rakenne. Jokainen solu on
4.Dn suunnassa yhtä kaukana nelikantaisen
avaruuden keskipisteestä.
Absoluuttisessa avaruudessa pituudet ovat
olemassa vain oktaedrien lävistäjien eli
avaruuden pääakselien suunnissa. Hyperoktaedrin
3D-pinnalla akseleita on kolmessa suunnassa.
Tällaisen avaruuden metriikkaa kutsutaan nimellä
Manhattan-metriikka. Jokaisen oktaedrin
keskipiste muodostaa origon siten, että origon
yhdellä puolella lävistäjän puolikas on
positiivinen ja vastakkaisella puolella
negatiivinen. Silloin origon paikka lävistäjien
muodostamassa verkossa on määrätty. Avaruuteen
syntyy näin absoluuttiset vastakkaismerkkiset
suunnat. Positiivisuutta ja negatiivisuutta ei
ole mahdollista määritellä muuten kuin, että
niiden itseisarvo on nollaa suurempi mutta niiden
summa on nolla.
14
Oktaedrit eivät yksinään täytä 3-kantaista
avaruutta vaan 2/3-osaa siitä. Oktaedrien
ulkopuolella on säännöllisiä tetraedreja ?T,
jotka jaetaan kukin neljäksi epäsäännölliseksi
tetraedriksi ?t. Määritellään oktaedrille sen
nurinpäin oleva objekti eli kahdeksasta
tetraedrista ?t koostuva antioktaedri. Yhdessä
oktaedrit ja antioktaedrit täyttävät kokonaan
3-kantaisen avaruuden ja niiden samanpituiset ja
samansuuntaiset mutta erilliset lävistäjät
muodostavat avaruuteen kuoria ja antikuoria.
Oktaedrit ja antiavaruuden muodostavat tetraedrit
?T ovat säännöllisiä.
Kvantittunut avaruus muodostuu oktaedrien ja
antioktaedrien lomittuneista lävistäjistä. Tämä
jako kahteen avaruuteen merkitsee
alkeishiukkasille jakoa spin-ylös- ja
spin-alas-hiukkasiin niiden sijainnin mukaan (se
ei merkitse jakoa hiukkasiin/antihiukkasiin,
sillä hiukkasella ja sen antihiukkasella on sama
spin.) Avaruuksia kutsutaan myös spin-miinus- ja
spin-plus-avaruuksiksi.
2 epäsäännöllistä tetraedria ?t
Oktaedri ja sen ympärillä olevien antioktaedrien
lävistäjiä (punaisella).
Säännöllinen tetraedri ?T
Alemmasta kuvasta huomataan, että yhdistämällä
antioktaedreissa säännöllisten tetraedrien ?T
vastakkaisten särmien keskipisteet saadaan kolme
janaa x, y ja z. Kunkin janan pituus on sama
kuin oktaedrissa lävistäjien puolikkaiden pituus
eli yksikkövektorien pituudet x, y, z 1.
Lisäksi huomataan, että janat ovat keskenään
kohtisuorassa kuten x ? y ? z. Janat x, y ja z
ovat myös samansuuntaiset kuin x, y ja z. Janat
ovat antioktaedrin lävistäjien puolikkaita
vas-taavalla tavalla kuin oktaedrissa janat x, y
ja z. Antiavaruuden olemassaolo ei kuitenkaan
laajenna havaintoavaruutta, mutta
kaksinkertaistaa absoluuttisen avaruuden
koon. Kuvasta huomataan, että antioktaedrien
lävistäjät muodostavat oman erillisen verkkonsa
lomittuneena oktaedrien lävistäjien vastaavaan
verkkoon. Lävistäjien verkot ovat identtiset.
Siten kumpi tahansa verkko voidaan ajatella
oktaedrien lävistäjiksi ja toinen antioktaedrien
lävistäjäksi. Lävistäjät ovatkin avaruuden
varsinainen substanssi. (Oktaedrien särmät tai
tahkot eivät ole.) Lävistäjät ovat taustasta
riippumattomia eli niiden ei edellytetä
sijaitsevan missään taustassa vaan ne luovat itse
tilan eli avaruuden. Ilman niitä ei olemassa
mitään tilaa.
?T
z
y'
x'
z'
y
x
Kahden oktaedrin puolikkaan välissä on
säännöllinen tetraedri.
Lävistäjät muodostavat 2 erillistä ja identtistä
verkkoa, avaruuden ja antiavaruuden eli kaksi
lomittunutta Manhattan-metriikkaa.
15
a
d
Va
Vo
z
y
Yksikkövektorit oktaedrissa ja nurin päin olevat
yksikkövektorit antioktaedrissa määrittelevät
saman pisteen havaintoavaruudessa.
a
x
Kuvassa oktaedrin puolikas ja vieressä sijaitseva
säännöllinen tetraedri on vedetty erilleen
toisistaan. Oktaedrin puolikkaan tilavuudeksi
saadaan, kun x,y,z 1 ja a v 2 Vo a² z / 3
2/3. Punaisella piirretyn antioktaedrin osan
eli säännöllisen tetraedrin tahkon ala on A ½ a
d, kun kolmion keskijana d a v 3 / 2.
Tetraedrin tilavuudeksi Va saadaan, kun korkeus
on h Va Ah/3 ½ a d ( 2 v 3 / 3 ) / 3 1 /
3. Yhteensä oktaedrin ja antioktaedrin
puolikkaiden tilavuus V Vo Va 1. Lävistäjät
muodostavat myös kuutioita. Pelkästään kuutioita
tarkastelemalla absoluuttisen avaruuden
neliöllisyys ei kuitenkaan paljastu.
Kolmikantaisen pinnan oktaedrien kolme
kohtisuoraa lävistäjää kytkeytyvät päistään
kohtisuoriksi silmukoiksi. Silloin pinnan
jokaisen pisteen (oktaedrin) kautta kulkee 3
keskenään kohtisuorassa olevaa silmukkaa.
Silmukat ovat pinnalla keskenään samanpituisia ja
kiertävät koko 3D-pinnan ympäri.
Kompleksiavaruus Jotta avaruusmalli toimisi, on
malliin lisättävä vielä yksi olennainen osa. Se
on 3D-pinnan molemmin puolin sijaitseva
äärelliselle etäisyydelle pinnasta ulottuva
kompleksinen avaruus. Siitä käytetään myös
nimitystä Higgsin duplettikenttä, ja se jakautuu
3D-pinnan kohdalta Higgsin dupletin ylemmäksi ja
alemmaksi kentäksi siten, että 3D-pinta rikkoo
symmetrian. Kompleksiavaruus on kvantittunut, ja
siinä pätee Manhattan-metriikka. Kompleksiavaruus
on neliulotteinen, reunallinen ja sillä on
määrätty paksuus. Se rakentuu kolmiulotteisista
oktaedreista, jotka ovat toisiaan vastaan
kohtisuorassa kuten seuraavalla sivulla kuvataan.
Oktaedrien lävistäjien suunnat ovat 45º kulmassa
3D-avaruutta vastaan. Yhdessä kompleksiavaruus ja
3D-pinta saavat havaintoavaruuden näyttämään
isotrooppiselta kuten myöhemmn tarkemmin
kuvataan. Siihen voidaan rakentaa neliulotteinen
atomi kaikkine kvanttilukuineen, se luo Diracin
kentän (meren), sisältää sähköheikon voiman
molemmat varaukset jne.
16
Tarkastellaan kompleksiavaruuden rakennetta
seuraavassa kuvassa, kun reaaliavaruutena on
aluksi vasemmalla esitetty yksiulotteinen suora.
Suoran ulkopuolelle lisätään siihen nähden 45º
kulmaan keskenään samanpituisia janoja, jotka
ovat keskenään kohtisuorassa ja niiden kärjet
yhtyvät kuvan esittämällä tavalla. Yksiulotteiset
janat muodostavat neliöiden lävistäjiä ja samalla
kaksiulotteisen kompleksisen pinnan. Janojen
kärkipisteiden kautta on mahdollista kulkea
kompleksiavaruudessa kaksiulotteisesti. Jos
reaaliavaruus on kaksiulotteinen pinta, sen
ulkopuolelle lisätään vastaavasti keskenään
kohtisuorat neliöt siten, että niiden kärjet
yhtyvät kuvan esittämällä tavalla.
Kaksiulotteiset neliöt muodostavat yhdessä
kolmiulotteisen kompleksiavaruuden jonka
Manhattan-akselit ovat osin 45º kulmassa pintaa
(A-B-C) vastaan. Neliöiden kärkipisteiden kautta
on mahdollista kulkea kompleksiavaruudessa
kolmiulotteisesti.
1-ulotteinen reaaliavaruus
Y
A
Y
Z
B
A
B
X
C
X
x
Kaksiulotteisen reaaliavaruuden (x,y)
ulkopuolella sijaitsee 3-ulotteinen
kompleksiavaruus, jonka rakennuselementit ovat
keskenään kohtisuorien 2-ulotteisten neliöiden
lävistäjiä. Kompleksiavaruudesta (X,Y,Z) löytyvät
aliavaruudet eli tasot (X,Y), (Y,Z) ja (Z,X).
Kuvan pisteet A, B ja C ovat (X,Y,Z)-avaruuden ja
reaalisen (x,y)-pinnan pisteitä. Pisteitä
yhdistävät janat ovat osa (x,y)-pintaa (ei
kuvassa).
Yksiulotteisen reaaliavaruuden ulkopuolella
sijaitsee 2-ulotteinen kompleksiavaruus, jonka
rakennuselementit ovat 1-ulotteisia janoja. Janat
muodostavat neliöitä. Kuvan pisteet A ja B ovat
reaalisen x-avaruuden ja (X,Y)-pinnan
leikkaus-pisteitä.
Seuraavaksi kolmiulotteisen reaalisen pinnan
(x,y,z) ulkopuolelle lisätään vastaavalla tavalla
3-ulotteisia oktaedreja keskenään kohtisuoraan.
Kolmiulotteiset oktaedrit muodostavat yhdessä
neliulotteisen kompleksiavaruuden, jonka
Manhattan-akselit ovat 45º kulmassa 3D-pintaa
vastaan. Oktaedrien kärkipisteiden kautta
avaruudessa on mahdollista liikkua eri suuntiin
neliulotteisesti. Oktaedrien keskipisteissä
leikkaa kolme lävistäjää. Kompleksiavaruuden
neljä pääakselia X,Y,Z ja W eivät projisoidu
keskenään kohtisuoriksi euklidiseen 3D-avaruuteen
kuten seuraavalla sivulla esitetään.
17
Kompleksiavaruuden neljää pääakselia merkitään
kirjaimilla X, Y, Z ja W. Niiden projektiot
reaaliavaruudessa eli (x,y,z)-avaruudessa ovat
45º kulmassa tasoihin xy, yz ja zx nähden.
y
X
X
Pääakseleiden X, Y, Z ja W neljää
projektiosuuntaa euklidisessa avaruudessa
kutsutaan neljäksi pääprojektiosuunnaksi X, Y,
Z ja W. Kukin pääakseli X,Y,Z ja W projisoituu
suuntaan, joka on yhtä kaukana 3D-pinnan
pääakseleista x, y ja z. Projektioiden suuntia on
myös 4. Ne on esitetty viereisessä kuvassa.
Positiiviset ja negatiiviset suunnat on merkitty
väreillä.
?
?
Z
? 45º
x
W
Y
? 45º
z
Akselien X, Y, Z ja W projektioiden kulma
3D-pinnan pääakseleihin x,y ja z nähden on
kaikissa tapauksissa ? 54.74º. Kulmalle pätee
cos ? 1 / v 3 . Avaruuden ja ajan synty -
Higgsin duplettikentät Maailman syntyessä yli 13
miljardia vuotta sitten reaalista 3D-avaruutta ei
aluksi ollut. Oli vain edellä kuvattu
kompleksinen 4-ulotteinen Manhattan-avaruus, joka
koostui oktaedrien lävistäjistä eli yhteensä 274
janaa pitkistä metriikan pääakseleista.
Pääakselit olivat avaruuden nopean inflatorisen
laajenemisen seurauksena silloin asettumassa 45º
kulmaan horisontaaliseen tasoon nähden. Luku 274
voidaan jakaa kahdeksi tekijäksi eli 274 2 x
137. Luku 137 on jakamaton alkuluku. Koko avaruus
jakautuu symmetrisesti alempaan osaan eli
sisäosaan ja ylempään eli ulko-osaan, jotka
molemmat koostuvat 137 janaa pitkistä akseleista.
Näistä ylempää osaa kutsutaan nimellä Higgsin
ylempi kenttä ja alempi on vastaavasti Higgsin
alempi kenttä. Avaruus on lisäksi jakautunut
toisiinsa lomittuneiksi avaruudeksi ja
antiavaruudeksi.
Higgsin duplettikentän ylempi osa eli
elektronikenttä
Fyysikot löysivät Higgsin duplettikentän
Standardi-mallin viimeisenä osana mutta se syntyi
ensimmäisenä. Symmetria rikkoutuu suuressa
mittakaavassa siinä, että yksi kenttä on suljetun
avaruuden ulompi osa, ja toinen kenttä on sisempi
osa. Tapahtui myös toisenlainen symmetriarikko ja
syntyi piilosymmetria.
137
137
274
Higgsin duplettikentän alempi osa eli
neutriinokenttä Kenttiä kutsutaan myös Diracin
kentäksi tai mereksi.
137
137
Avaruus muuttui inflatoorisen laajentumisen
yhteydessä, kun Higgsin alemmassa osassa tapahtui
ns. spontaani symmetriarikko. Se ei kuitenkaan
ollut spontaani vaan johtui avaruuden suuren
mittakaavan rakenteesta ja gravitaatiosta, joka
puuttuu Standardimallista.
18
Avaruudessa tapahtui ns. spontaani
symmetriarikko. Higgsin alempi duplettikenttä
muuttui peruuttamattomasti siten, että sen
yläreunan laitimmaiset oktaedrien puolikkaat niin
avaruudesta kuin antiavaruudestakin kääntyivät
45º ja muodostivat 3D-pinnan ja sen oktaedreista
koostuvan solukon. Tämän seurauksena kahtia
jakautuneen avaruuden sisemmän puoliskon
pääakseleiden pituus on yhden janan verran
lyhyempi eli 136 janaa. Tällä jaolla on
ratkaiseva merkitys esim. sähköheikon voiman ja
atomimallin toimivuuden kannalta.
w
w-
137
137
Spontaani symmetriarikko muodosti 3D-pinnan
Avaruuden ulompi puolisko
Avaruuden sisempi puolisko
136
137
Zo
Avaruus (2x137) ennen spontaania symmetriarikkoa.
Kuvaan on piirretty vain osa pääakseleista.
Avaruus spontaanin symmetriarikon jälkeen.
3D-pinta on syntynyt.
3D-pinnan Skalaarikenttä
Janat käntyivät 45 astetta.
Symmetriarikon tapahtuessa 3D-pinta kiertyi
lisäksi omassa tasossaan 45º siten, että
kompleksivaruus liittyy siihen seuraavalla
sivulla esitettävän kuvan tavalla. Oktaedrin
lävistäjä käsittää 2 janaa, joista syntyy kahden
janan mittaisia kuoria. Lävistäjistä muodostuvien
kompleksiavaruuden Manhattan-metriikan
pääakselien pituus 3D-pinnan yläpuolella eli
ulkopuolella on 137 janaa eli 68,5 kuorta ja
alapuolella 136 janaa eli 68 kuorta.
Kompleksiavaruuden Manhattan-metriikan
pituudeltaan äärellisiä pääakseleita kutsutaan
myös hilajonoiksi. Kompleksinen hila-avaruus on
kytketty kiinteästi 3D-pintaan. Kompleksisia
hila-avaruuksia on toisiinsa lomittuneena kaksi.
Ne ovat avaruus ja antiavaruus eli spin-plus- ja
spin-miinus-avaruudet.
4.D
137 janaa
3D-pinnan ulkopuoliset 1-ulotteiset hilajonot,
jotka ovat pituudeltaan 137 janaa eli lävistäjän
puolikasta, projisoituvat 3D-pinnalle muodostaen
projektiosuhteen ? 1/137.035999, josta lisää
myöhemmin. Projektiosuhdetta kutsutaan myös
nimellä hienorakennevakio.
0
136 janaa
3D-pinta
Hyperoktaedri eli Universumi
Hilajonojen muodostama kompleksinen hila
19
Seuraavassa kuvassa vasemmalla reaalisen
3D-avaruuden pisteet A ja B yhdistyvät
kuvitteellisella janalla (katkoviiva) siten, että
3D-avaruuden koordinaattiakselit ovat 45º
kulmassa tai kohtisuorassa sen suhteen. Kuvassa
oikealla 3D-pinnan projisoidun tason yläpuolelle
lisätään kompeksinen Manhattan-metriikka 45º
kulmaan kuvitteeellisten janojen suhteen. Saadaan
4-ulotteinen Manhattan-metriikka liitettynä
3D-pintaan. Lomittuneen antiavaruuden
kompleksiset janat esitetään 3D-pinnan
yläpuolella pisteviivoilla. 3D-pinta ei ole
lomittunut kuten kompleksinen antiavaruus.
spin-miinus- kompleksiavaruus
spin-plus- kompleksiavaruus
C
kuoren lävistäjä d
D
45º
B
A
D
A
E
d
B
E
3D-pinnan oktaedri B
Oktaedrin origo (esim. A, B, C, D)
3D-pinnallaOktaedrien särmien leikkauspiste
(esim. E) 3D-pinnalla
Kuva esittää 3D-avaruuden oktaedreja ja niiden
keskipisteitä A, B, C ja D. Pisteitä yhdistävät
kuvitteelliset katkoviivat, jotka ovat 45º
kulmassa tai kohtisuorassa oktaedrien lävistäjiin
nähden.
Kuvassa 3D-avaruus on projisoitu 2D-tasoon, jonka
yläpuolella on kompleksinen Manhattan-avaruus
yhdistyneenä 3D-avaruuden pisteisiin A,B, jne.
3D-pinnan janat ovat kiertyneet tasossaan 45º
kompleksiavaruuden suhteen. Antiavaruuden janat
liittyvät 3D-pinnan oktaedrien kärkipisteisiin,
jolloin niiden 3D-pinnan origoista määräytyvät
janojen suuntien etumerkit ovat päinvastaiset.
Reaalinen 3D-pinta ja sen ympärillä sijaitseva
neliulotteinen kompleksiavaruus muodostuvat siis
molemmat oktaedreista. Avaruuden pääakseleilla on
3D-pinnalla (X,Y,Z) kolme eri suuntaa, kun
kompleksiavaruudessa (X,Y,Z,W) akseleiden suuntia
on neljä. Silti kompleksiavaruudessakaan yhden
oktaedrin sisällä ei voi liikkua kuin kolmeen eri
suuntaan, mikä rajaa hiukkasperheiden lukumäärän
kolmeen. Kompleksiavaruuden oktaedrin
symmetriaryhmä on kompleksinen SU(3). Kompleksiava
ruus (X,Y,Z,W) sisältää neljä oktaedreista
rakennettua 3-ulotteista aliavaruutta, jotka ovat
(X,Y,Z), (Y,Z,W), (Z,W,X) ja (W,X,Y). Oktaedrien
lävistäjät projisoituvat kohtisuorasti 3D-pinnan
xy-, yz- ja zx-tasoille 45º kulmaan 3D-pinnan
akseleita x, y ja z vastaan. Manhattan-metriikan
pituusmitan yksikkö on oktaedrin lävistäjä d
2.8179403 fm, joka on sama kuin elektronin
klassinen säde. d h
2.8179403267 fm , 137,035999174
mec missä me on elektronin massa, h on Planckin
vakio ja c on valonnopeus. Manhattan-metriikan
lyhin mittayksikkö on oktaedrin lävistäjän
puolikas d/2. Lävistäjän eräänlainen paksuus on
Planckin pituuden suuruinen 1,6 10-35 m.
20
Tarkastellaan seuraavaksi tarkemmin kompleksisen
hilan rakennetta. Hilan janat muodostavat
d-kuoria seuraavan kuvan mukaisesti.
Kompleksiavaruudessa kuoren koko d on sama kuin
3D-pinnan kuorella ( d).
N68 d-kuoren projektio
Huom! Kuoret 3D-pinnan ulkopuolella ovat
vastaavia kuin atomin elektronikuoret, joita
merkitään elektronin pääkvanttiluvulla.
N2 d-kuoren projektio
1-ulotteisia soluja eli janoja
d-kuori
N1 d-kuoren projektio
Hilakoppi eli oktaedri
d
d/2
No d-kuoren projektio
d/2
3D-pinta on d-kuori
Avaruuden 3D-pinta sijoittuu ½-kuoren päähän
kuoresta N1 sen alapuolelle. Kompleksisella
hilalla ja 3D-pinnalla on kiinteä kytkentä
toisiinsa. Kuvaan on piirretty vain pieni osa
Manhattan-metriikan janoista.
d/2
3D-pinnan oktaedrin projektio
-N1 d-kuoren projektio
Kompleksisen Manhattan-metriikan kaikki 4
akselisuuntaa projisoituvat kohtisuorasti
3D-pinnan xy-, yz- ja zx-tasoille 45º kulmaan
3D-pinnan akseleihin nähden.
-N68 ½ -kuoren projektio
d/2
21
3D-pinnan ulkopuoliset solut muodostavat
toisiinsa lomittuneet spin-positiivisen ja
spin-negatiivisen hila-avaruuden eli avaruuden ja
antiavaruuden. 3D-pinnalla nähtynä hila-avaruuden
akselit ovat kompleksiset eli akseleiden kaikki
pisteet kuvataan kompleksiluvuilla. Hilajonot ja
niiden muodostama hila ovat reunalliset eli eivät
ulotu avaruuden eli hyperoktaedrin keskustaan
saakka. Siten koko fysikaalinen avaruus muodostuu
3D-pinnasta ja sen lähiavaruudesta eli
neliulotteisesta kompleksiavaruuden hilasta
ilman, että avaruudella on solurakenteista
fysikaalista sädettä. Tällainen pinta voi
aaltoilla siten, että siinä aaltoilee sekä
avaruus että aika yhdessä. Aaltoon liittyy aina
energiaa, joka kaareuttaa avaruuden ja ajan kuten
myöhemmin kuvataan. Avaruuden pinta yksin riittää
määrittelemään avaruuden laajuuden, joka on
äärellinen. Havaintoavaruus on Riemannin
hyperpallon kolmikantainen pinta, jonka
ominaiskaarevuus on positiivinen. Hyperpallo on
kuitenkin absoluuttisen avaruuden matemaattisella
muunnoksella saatu "kuvajainen" eikä vastaa
avaruuden todellista muotoa. Neliön sivujen
kaikki pisteet ovat yhtä kaukana neliön
keskipisteestä vain pääakseleiden eli lävistäjien
suuntaisina pituuksina mitattuina. Muita
avaruussuuntia ei neliön absoluuttisessa
avaruudessa eli Manhattan-metriikassa ole
olemassa. Samoin hyperoktaedrin 3D-pinnan kaikki
pisteet ovat näin mitattuna samalla etäisyydellä
avaruuden keskipisteestä. Silloin voidaan
määritellä hyperoktaedrin pinnalle käsite
"ominaiskaarevuus" sekä "kaarevuussäde" eli
pinnan etäisyys keskipisteestä. Hyperoktaedrin
pinnan ominaiskaarevuus on nolla. Tällaista
avaruutta on mahdotonta visualisoida. Avaruuden
ja sen ilmiöiden ymmärtämiseksi joudutaan aina
käyttämään yksinkertaistettuja lakeja ja
sääntöjä, jotka eivät yksinään kerro koko
totuutta. Avaruutta voidaan ymmärtää
matemaattisesti, mutta tulokset on silti jotenkin
kongretisoitava kolmiulotteisen maailman
havaintoihin liittyviksi. Matemaattisen
tarkastelun yksi merkittävä tulos on, että
suuressa mittakaavassa absoluut-tisen 3D-pinnan
eli hyperoktaedrin pinnan paikallinen
ominaisuuskaarevuus on nolla! (Paikallisia
painovoimakenttiä ei tässä huomioida.) Toinen
merkittävä asia on, että tällaista pintaa pitkin
voidaan kiertää avaruuden ympäri kaikissa
3D-avaruuden suunnissa ja palata lähtöpisteeseen.
Avaruus on äärellinen 4-ulotteinen tila, joka
voidaan kiertää avaruuden ympäri myötäpäivään tai
vastapäivään ilman, että kiertosuuntaa voidaan
3D-avaruudessa havaita. Havaitsijalle pinnan
kannat 1.D...3.D ovat isotrooppisia, joten
jokainen havaittava suunta on samalla avaruuden
kiertosuunta. Koska absoluuttisella 3D-pinnalla
avaruuden ominaiskaarevuus on nolla, ei ole
mahdollista havaita imaginääriseksi valittua
kantaa 4.D. Pinta muistuttaa tässä suhteessa
lieriön pintaa. Kun avaruuteen aikoinaan
lisättiin uusi ulottuvuus eli kanta 4.D, syntyi
tilanne, jota kuvataan kosmologiassa
alkuräjähdykseksi. Avaruuden laajentuessa
tiettyyn kokoon saakka avaruu-teen lisätään uusi
kantavektori 5.D. Tällöin avaruuden symmetria
muuttuu siten, että mm. nykyisen kaltaista aikaa
ei ole olemassa.
22
Avaruuden vapausasteet ? kymmenen
vapausastetta Nelikantaisessa avaruudessa
vapausasteita voi olla enemmän kuin
neljä. Hiukkasilla on vapausasteita, jotka
tällaisessa avaruudessa näyttäytyvät
avaruudensuuntina ja rakenteina. Oktaedrin
sisällä on kolme lävistäjää, ja vapausasteita
syntyy siten kolme. Lomittunut antiavaruus
kaksinkertaistaa määrän eli 2 x 3 6. Ennen
piilosymmetrian ilmaantumista eli ilman 3D-pintaa
oktaedrien lävistäjistä koostuva hyperoktaedrin
kompleksinen pinta oli neliulotteinen, joten
vapausasteita siinä oli neljä. Kaikki nuo neljä
vapausastetta olivat pituudeltaan 2 x 137 274
janaa ja samanarvoisia, jolloin niitä voi pitää
skalaareina. Yhteensä vapausasteita on siis 64
eli kymmenen. Syntynyt 3D-pinta rikkoi asetelman
siten, että neljästä skalaarista jäi jäljelle
vain yksi 3D-pinnan suuntainen skalaari, eli
3D-pinta itse, ja muut kolme muuttuivat
sähköheikon voiman vuorovaikutuksen välittäjiksi
W, W- ja Zo. Vapausasteiden määrä säilyi
entisellään. Sähköheikon voiman molemmat
varaukset ja välittäjähiukkasten kvantitatiiviset
ominaisuudet johdetaan myöhemmin
D-teoriassa. Higgsin duplettikentällä on monta
nimeä. Sen ylempää osaa kutsutaan myös
elektronikentäksi tai W-bosonikentäksi, jossa
hiukkasille syntyy sähkövaraus, ja alempaa osaa
neutriinokentäksi tai Z-bosonikentäksi, jossa
sähkövarausta ei voi syntyä. Higgsin
duplettikenttää kutsutaan myös Diracin kentäksi
(tai mereksi), koska Paul Dirac ennusti sen. Sitä
voidaan kutsua myös fotonikentäksi, koska fotoni
rakentuu U(1)-symmetria-avaruuteen 3D-pinnan
molemmin puolin. Higgsin duplettikentän alempaan
osaan sisältyvää 3D-pintaa voidaan kutsua myös
värikentäksi, koska se antaa kvanttikentilleen
värivarauksen.
Avaruuden mittayksikkö d Suhteellisuusteorian
mukaan avaruus voi supistua ja kaareutua.
3D-avaruuden supistuminen tapahtuu avaruuden
omassa tasossa, ja kaareutuminen tapahtuu 4.Dn
suuntaan. Supistumisen määrä on verrannollinen
kappaleen massaan ja liikemäärään.
Kaareutumisessa on kysymys avaruuden vajoamisesta
4.Dn suunnassa. Kaareutuminen aiheuttaa
ympäristöön kiihtyvyyskentän (painovoimakentän)
kohti potentiaalikuoppaa. Kompleksiavaruus määrää
havaitsijan kaikki pituudet, valon etenemisen ja
ajan kulumisen. Siksi kompleksiselle
hila-avaruudelle määritellään horisontaalinen
pituus d d tasaisessa avaruudessa eli
hilajonojen ollessa tasan 45º kulmassa 3D-pintaan
nähden. Pituus d muuttuu kompleksiavaruuden
supistumisen yhteydessä verrattuna tasaisen
avaruuden pituuteen d. Pituus d havaitaan aina
vakiomittaiseksi, koska sen pituutta ei ole
mahdollista verrata tasaisen avaruuden pituuteen.
Niinpä kompleksinen hila-avaruus on havaitsijalle
aina tasaiselta näyttävä avaruus. Tästä eteenpäin
pituus d tarkoittaakin kompleksisen
hila-avaruuden mittaa d, joka on havaitsijalle
vakio ja jonka arvo lasketaan vastaamaan arvoa
tasaisessa avaruudessa. Arvon vakioisuus
vaikuttaa osaltaan havaintoavaruuden
isotrooppisuuteen.
23
d ?P eli Planckin pituus 3D-pinnalla nähtynä
projektion suunta
dv2
dv2
d vakio
d
?45º
3D-pinta
Tasainen komp-leksiavaruus
Tällä alueella kompleksi-avaruus on supistunut
dv2
Kompleksisen hila-avaruuden supistumista
paikallisesti itsensä suhteen (ei minkään taustan
suhteen) ei voida havaita, koska ei ole olemassa
supistumatonta vertailukohtaa. Sen sijaan
tasaisessa Manhattan-metriikassa nähtynä
kappaleen absoluuttinen pituus muuttuu
kompleksiavaruuden supistumisen yhteydessä.
Kompleksiavaruuden supistuessa ääriasentoonsa on
yhden hilakopin leveys 3D-pinnan suunnassa sama
kuin Planckin pituus ?P. Ääriasennossa oktaedrin
lävistäjien puolikkaat ovat vierekkäin
samansuuntaisina, ja niiden yhteisen leveyden
täytyy silloin olla nollaa suurempi (edellinen
kuva). Olkoon kompleksiavaruuden kappaleen pituus
?S projisoituna 3D-pinnalle ?S ?X d ?Y
d ?Z d , kun ?X ? ?Y ? ?Z missä d
on vakiomittainen jana ja ??X? a, ??Y? b ja
??Z? c ovat janojen lukumäärät
kompleksiavaruuden pääakselien suunnissa.
Havaitsematon lokaali supistuminen pääakselien
suunnissa kohti kappaleen painopistettä vääristää
absoluuttisen avaruuden epälineaariseksi
havaintoavaruudessa nähtynä. Vastaava
epälineaarinen pituus ?s on lineaarisessa
havaintoavaruudessa nähtynä skalaari ja saa
arvon ?s (a² b² c²) d , missä d on sama
ja mikä tarkoittaa, että absoluuttinen avaruus on
neliöllinen euklidiseen havaintoavaruuteen
nähden. Pääakseleiden suuntaisia määriä a, b ja c
ei havaita vaan ne jäävät teoreettisiksi.
Neliöllisyydestä seuraa edellä esitetty
koordinaatistomuunnos X ? x² , Y ? y² , Z
? z² .
Koordinaatistomuunnoksella saadaan lineaarinen
vastaavuus avaruuksien x² ja X välille.
Koordinaatisto-muunnos x ? x ²
x²
x
a²
a²
X
X
a
a
Lineaarinen vastaavuus
Epälineaarinen vastaavuus
24
Oletetaan, että hilakopin lävistäjä projisoituu
3D-pinnalle 45º kulmassa havaintoavaruuden
pituudeksi dv2 tilanteessa, jossa avaruus on
täysin tasainen eikä mitään voimakenttiä ole.
Hilajonot ovat 45º kulmassa 3D-pintaan nähden.
Tässä tilanteessa pituudelle d lasketaan arvo
neljän mitatun vakion avulla. Tällainen tilanne
on kuitenkin mahdoton. Kaikkialla avaruudessa
vaikuttava tietty skalaarikenttä pyrkii
pienentämään hilajonojen kaltevuutta arvosta
?45º ja leventämään hilakoppia 3D-pinnan
suunnassa. Pituuden d laskukaavassa jakajan
termin 137,035999174 poikkeama arvosta 137
kuitenkin pienentää hilakopin leveyden vastaamaan
tasaisen avaruuden laskennallista pituutta d. d
h
2.8179403267 fm , 137,035999174 c
me missä me on elektronin massa, h on Planckin
vakio ja c on valonnopeus. Edellä pituuden d
lausekkessa (137,035999174 c me) liittyy
kertoimen 137,035999174 poikkeama arvosta 137
valonnopeuteen c siten, että kerroin suurentaa
nopeuden c arvoksi c, joka on valonnopeus
tasaisessa Manhattan-avaruudessa avaruuden
solujen suhteen ilman valon dispersiota.
Dispersio ilmenee laajenevassa avaruudessa
(??45º) valon nopeuden c hidastumisena kaikkialla
avaruudessa nopeuteen c verrattuna. Dispersiosta
kerrotaan myöhemmin D-teoriassa. Tasaisen
avaruuden valonopeus c saadaan hilajonojen
kulmien muuttumista kuvaavan hienorakennevakion
avulla eli c 137,035999174 c eli 137c
137,035999174c. 137 Skalaarikenttää ei havaita
suoraan, koska se ilmenee samana kaikkialla.
Kenttä hidastaa valon nopeuden c ja muuttaa
pituuden d projektion suuremmaksi kuin vakioiden
avulla tasaisessa avaruudessa (?45º) laskettu
arvo. Vaikutus näkyy Manhattan-pituudessa R 2 x
68½ d 137d, jonka pitäisi kulmalla ?45º olla
137d, mutta joka skalaarikentässä on mitattuihin
vakioihin perustuva R 137,035999174 d h
. mec
68½ d
68½ d
? 45º
Manhattan-metriikka R 68½ d 68½ d
137dYhden kuoren eli oktaedrin läpimitta on d,
jolloin avaruuden kvantti eli jana on
pituudeltaan d/2.
R
3D-pinta
Edellisen kuvan Manhattan-pituus R voidaan
siirtää 3D-pinnalta havaintoavaruuteen
neliöimällä. Näin saadaan Bohrin vetyatomin säde
r1. Pituusyksikköä d ei neliöidä. r1 R²
137.035999174² d 0.5291772 x 10-10
m. Pituusyksikkö d sopii siis D-teorian
avaruusmallin pituusyksiköksi. Vetyatomin rakenne
kuvataan myöhemmin geometrisen atomimallin
yhteydessä. Atomin kaikki kvanttiluvut saavat
siinä yhteydessä geometrisen ja kvantitatiivisen
kuvauksen.
25
Dimensioton projektiosuhde ? kuvaa yhden
hilajonon projisoitumista 45º kulmassa
3D-pinnalle pituudeksi 137.035999174d.
Projektiosuhde ? olisi tasan 1/137, jos
skalaarikenttä ei offsetin tavoin olisi
vaikuttamassa. Suhde ? kertoo myös millä
todennäköisyydellä esim. fotoni osuu kulkemaan
tietyn pisteen kautta liikuttaessa edellisen
kuvan tapaan Manhattan-metriikassa. Samanpituisia
reittivaihtoehtoja on 137 kappaletta, mikä määrää
sähkömagneettisen vuorovaikutuksen suuruuden
valonnopeuden mitatulla arvolla c. Kompleksinen
hila-avaruus määrää havaintoavaruuden mitat, ja
kuten edellä esitettiin vakiot d ja ? havaitaan
vakioina myös avaruuden supistuessa. Hyvin
suurilla energioilla projektiosuhteelle on
mitattu suurempia arvoja, eli kaikissa
olosuhteissa ? ei ole vakio. On myöskin
mahdollista, että edellä mainittu skalaarikenttä
ei ole tarkalleen samansuuruinen kaikkialla ja
kaikkina aikoina, jolloin ? voi muuttua
paikallisesti. Kun puhutaan yksittäisestä
hiukkasesta/kappaleesta ja sen paikasta, on
periaatteessa aina ilmaistava, onko paikka
havaintoavaruuden paikka vai absoluuttisen
Manhattan-avaruuden paikka. Nämä vaihtoehdot ovat
toisensa poissulkevia, eikä niiden suhde ole
yksikäsitteinen. Absoluuttisen avaruuden piste ei
ole lokaali nähtynä havaintoavaruudessa. Niinpä
voidaan sanoa, että absoluuttisen avaruuden piste
leviää tuhruksi havaintoavaruudessa nähtynä, eikä
paikka ole yksikäsiteinen. Hiukkasen kvanttiluvut
riippuvat vain sen sijainnista avaruuden
Manhattan-metriikassa. D-teoriassa esimerkiksi
atomin elektronin kaikki kvanttiluvut voidaan
ilmaista elektronin sijannin avulla. Koska
sijainti ei havaintoavaruudessa nähtynä ole
yksikäsitteinen absoluuttisen avaruuden
neliöllisyydestä johtuen, myöskään hiukkasen
kvanttiluvut eivät ole yksikäsitteiset. Niinpä
esimerkiksi hiukkasen spin voi olla etumerkiltään
samanaikaisesti positiivinen ja negatiivinen
(superpositio). Kun kaksi spin-½-hiukkasta eivät
voi sijaita Manhattan-metriikassa samassa
paikassa, niiden kvanttiluvutkaan eivät voi olla
samat. Tuloksena saadaan ns. Paulin kieltosääntö
eli sääntö, joka kieltää esimerkiksi kahden
elektronin samat kvanttiluvut. Elektronit ja
Diracin kentän kvantittunut aika Kompleksiavaruude
n oktaedrit eivät ole tyhjiä vaan niillä on spin.
Jokainen 6-osainen hilakoppi eli oktaedri
sisältää yhden ½-lävistäjän pituisen
spin-½-hiukkasen e tai e-, jota kutsutaan
positiiviseksi tai negatiiviseksi
hilahiukkaseksi. Muut hilakopin 5 janaa ovat
tyhjiä. Tyhjä jana tarkoittaa tässä, että solussa
ei ole aaltoa, johon liittyy tietty
kaareutumisamplitudi.
Kompleksiavaruuden hila muodostuu viereisen kuvan
esittämistä hilakopeista, joissa sijaitsee ja
samalla kiertää kussakin yksi hilahiukkanen eli
elektroni. Hilakoppi on kolmiulotteinen
muodostuen oktaedrin kolmesta lävistäjästä eli
kuudesta janasta. Hilakopit kuvataan piirtämällä
lävistäjät 45º kulmaan vaakatasoon nähden
erotukseksi 3D-pinnan oktaedreista. Lävistäjän
puolikas voi kaareutua kuten e- kaareutuu kuvassa.
e-
Tyhjä jana
26
Hilaan säänöllisesti pakkautuneet hilahiukkaset
e ja e- muodostavat yhdessä positiivisia ja
negatiivisia hilajonojen hahmoja. Kaikki
hilahiukkaset ovat hilakopeissaan asettuneena
siten, että hahmot muodostavat kompleksiavaruuteen
yhtenäisiä 2-ulotteisia tasomaisia verkkoja eli
elektronitasoja (Diracin meri). Lukuisien
tasojen suunnat ovat kussakin aliavaruudessa
keskenään samat ja vaihtuvat kaikki
samanaikaisesti hilahiukkasten toistuvissa
rotaatioissa. Globaalisti samanaikaisesti
toistuvat alkeisrotaatiot synnyttävät
hilakoppeihin hilahiukkasten kvantittuneen
kiertoliikkeen. Elektronitasot ovat kompleksisia,
ja elektronille niiden symmetria-avaruus on
SU(2). Aluksi oli siis vain kompleksinen
hila-avaruus, joka koostui 2 x 137 274 janaa
pitkistä pääakseleista. Pääakselit olivat aivan
aluksi kaikki jokseenkin samansuuntaiset eli
kohtisuorassa myöhemmin syntyvää 3D-pintaa
vastaan. Oktaedrit olivat silloin litistyneet
Planckin pituuden levyisiksi. Pian oktaedrit
kuitenkin levenivät nopeasti, ja avaruus laajeni
voimakkaasti valoa nopeammin tekijällä 1020.
Hilajonojen ja 3D-pinnan välinen kulma pieneni
hieman alle 45 asteeseen. Tällaista ilmiötä
kutsutaan nimellä kosminen inflaatio. Kosmisen
inflaation yhteydessä avaruus siirtyi pienempään
energiatilaan ja vapautunut energia siirtyi
kompleksiavaruuden jokaiseen hilakoppiin
hilahiukkasten e ja e- energiaksi. Hilahiukkaset
aloittivat ikuisen kvantittuneen kiertoliikkeensä
edestakaisin hilakopeissaan ja samalla syntyi
kvanttimekaaninen aika, joka on eri asia kuin
havaitsijan suhteellinen aika. Kosmisen
inflaation aikana syntyi myös 3D-pinta edellä
esitetyllä tavalla hila-avaruuden
137/136-symmetriarikon seurauksena. Tasaisessa
avaruudessa kuoren vierekkäisissä hilakopeissa
elektronien 6 eri vaihetta poikkeavat toisistaan
tasan 90º. Ne vaihtuvat täsmälleen
samanaikaisesti, eli vaihe-eron ?? ajatellaan
olevan nolla, kun hilajonot ovat 45º kulmassa
3D-pintaan nähden. Aina muulloin ???? gt 0. Jos on
kyseessä paikallinen eli lokaali vaihe-ero,
liittyy siihen aina jokin vuorovaikutuskenttä.
Kenttä muuttaa avaruuden muodon ja rotaatioiden
vaiheen. Hiukkasen aaltoyhtälössä voidaan
aaltofunktion imaginääristä vaihetta ? muuttaa
globaalisti, eikä siitä synny havaittavaa ilmiötä
(globaali vaiheinvarianssi). Lokaali vaihe-ero
sen sijaan vaatii potentiaalifunktion lisäämistä
aaltoyhtälöön, ja siitä seuraa jonkin voimakentän
läsnäolo. Voimakenttä saa 3D-pinnan aaltoilemaan
vaihetta vastaavasti.
?? lt 0
?? 0
?? gt 0
Vaihe-ero ?? on kvantittunut, ja sitä mitataan
viereisten hilakoppien alkeisrotaatioiden
välisellä aikaerolla ?t. Aikaero ?t on Planckin
ajan jokin monikerta. Tasaisessa avaruudessa
alkeisrotaatiot ovat samanaikaisia (?? 0) mutta
muualla vaihe-erot ?? aiheuttavat
alkeisrotaatioihin eriaikaisutta. Huom!
Planckin aika ei D-teoriassa kuvaa ajan kvantin
suuruutta vaan kahden kvantin välistä eroa
samalla tavalla kuin Planckin pituus kuvaa kahden
avaruuden kvantin eli janan välistä minimieroa
eli välmatkaa.
27
Aaltoyhtälön lokaali vaiheinvarianssi vaatii siis
vuorovaikutuskentän ilmaantumista. Itse
vuorovaikutuskenttä on kvantittunut.
Vuorovaikutus tapahtuu vuorovaikutushiukkasten
kuten virtuaalisten fotonien avulla. Kun kenttä
itse on kvantittunut, täytyy myös lokaalin
vaihe-eron olla kvantittunut. Vaihe-eroa kuvataan
kulman avulla, joten kulma on myös kvantittunut.
Aaltofunktion vaihe on imaginäärinen suure, eikä
vaihetta ole mahdollista mitata. Niinpä ei ole
olemassa vaihe-eroa vastaavaa kvantittunutta
suuretta. Voidaan puhua piilokvantittumisesta.
Ainoastaan vuorovaikutuskentän kvantit tai niiden
vaikutus voidaan havaita. Hilahiukkasen
pyörimisliike ja ajan kvantti Hilahiukkasen
kvantittunut pyörimisliike luo havaitsijan ajan
ja valonnopeuden Manhattan-avaruuden eri
suuntiin. Hiukkaset saavat siitä spininsä ja
havaitsemattoman vaiheensa.
Hilahiukkasen hetkellinen pyörimisliike
Hilahiukkaset e ja e- eroavat tyhjästä janasta
energiansa vuoksi. Energia kuvataan avaruuden eli
solun kaareutumisena. Avaruuden kaareutumiseen
liittyy aina energiaa. Hilahiukkanen on siten
hilakopissa edestakaisin askeltaen kiertävä
energiapaketti (kuten liipotin kellossa ), jolla
on liike- ja potentiaalienergiaa. Energioiden
määrän hetkellinen suhde on sama kuin
sähkövarauksen ja heikon varauksen suhde, minkä
seurauksena voimat esiintyvät eri hetkinä eli eri
vaiheissa. Edestakainen liike tarkoittaa
kvanttimekaanisen ajan suunnan säännöllistä
vaihtumista. Kaareutuminen tapahtuu
2-ulotteisessa elektronitasossa, jossa
alkeisrotaatio (, joka kuvataan myöhemmin)
kulloinkin on menossa. Akseleiden positiivinen
suunta on kuvassa alas. Kaareutumisella on
amplitudi ja sen suunta akseleiden ja
pyö-rimissuunnan suhteen antaa hiukkasen
hetkelliselle tilalle etumerkin tai - (kuvassa
värin). Siten kuvan hilakoppien elektronitasossa