Teoria cinetica dei gas

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Teoria cinetica dei gas

• Interpretazione microscopica della temperatura e
  della pressione.

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Modello molecolare del gas perfetto
La teoria cinetica dei gas si basa sul concetto
che la materia è formata da molecole in continuo
movimento rappresenta un modello che descrive in
modo approssimativo ed esemplificato un sistema
fisico più complesso.

• Ogni gas è formato da un numero enorme di
  molecole
• Le molecole sono immaginate come sferette rigide
  indeformabili e di dimensioni trascurabili
  rispetto alla loro distanza media
• Le molecole non in continuo e disordinato
  movimento
• Le forse di interazione si considerano
  praticamente nulle, tra un urto e laltro il moto
  è rettilineo
• Gli urti molecola-molecola e molecola-parete sono
  elastici

Coesione e adesione
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Modello molecolare e di interazione
Da un punto di vista energetico, le molecole dei
gas, in continuo e disordinato movimento, sono
dotate di energia cinetica. Se il gas è
rarefatto possiamo supporre che le forze di
interazioni tra molecole sia trascurabile e
quindi lunica forma di energia che contribuisce
alla ENERGIA INTERNA del gas è quella cinetica
(positiva) Se il gas non è rarefatto allora le
molecole interagiscono tra loro e quindi occorre
introdurre anche una energia potenziale. Poiché
la forza di interazione è attrattiva lenergia
potenziale sarà negativa . Queste considerazioni
ci permettono di differenziare da un punto di
vista energetico i gas reali da quelli ideali.
Due molecole si attraggono quando si trovano ad
una distanza compresa tra 10-9 m e 10-7 m. (zona
gialla) Si respingono se la distanza è minore di
10-9 m, come se le molecole entrassero in
collisione. Non interagiscono se la distanza è
superiore ai 10-7 m, cioè fuori della zona
dazione gialla.
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Urti molecolari e pressione
La pressione di N molecole di un gas perfetto
contenuto in un recipiente di volume V è il
risultato di un numero elevatissimo di urti
elastici delle molecole contro le pareti. Non è
necessario studiare il moto di ogni singola
molecola. La meccanica statistica studia i
sistemi fisici formati da un enorme numero di
componenti in base alle proprietà medie dei
componenti stessi.
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Poiché negli urti contro le pareti cambia
soltanto la componente della quantità di moto
perpendicolare alla parete stessa, possiamo
considerare urti ideali che avvengono soltanto
lungo questa direzione.
1/3 delle molecole si muove lungo lasse x 1/3
delle molecole si muove lungo lasse y 1/3 delle
molecole si muove lungo lasse z Con una velocità
media uguale per tutte di
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Elaborazione matematica
La variazione di quantità di moto nellurto è
E poiché tra un urto e laltro rispetto una
stessa parete è pari a Per il teorema
dellimpulso Sostituendo
Quindi la pressione è direttamente proporzionale
al quadrato della velocità media
Per il terzo principio della dinamica se F è la
forza della parete sulla particella, -F sarà la
forza che la particella imprime sulla parete. La
pressione , per definizione, è pari alla forza
premente ortogonalmente una superficie diviso la
superficie stessa. Calcolando quindi la forza
totale e dividendo per la superficie
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Energia cinetica e temperatura
Grandezza microscopica
Grandezze macroscopiche
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Elaborazione matematica
Quindi è possibile dare uninterpretazione
microscopica anche della temperatura assoluta
essa misura la rapidità del moto di agitazione
delle molecole Più è alta la temperatura più le
molecole si muovono velocemente.
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La costante di Boltzmann
La costane di Boltzmann è particolarmente utile
quando di un gas viene dato il numero di molecole
N e non di moli n. Lequazione di stato può
essere riscritta come segue
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Punti da esporre

1. Ricavare lespressione della T rispetto alla
   velocità media
2. Ricavare lespressione della velocità media
   rispetto alla T
3. ricavare la dipendenza della velocità quadratica
   media dalla massa molecolare

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Lequipartizione dellenergiaIn quali modi
lenergia cinetica può venire immagazzinata dalle
molecole.Caso 1 gas monoatomico
Principio di indipendenza dei moti lungo le
direzioni x,y,z di Galileo
Una molecola può possedere energia cinetica lungo
lasse x indipendentemente dal fatto che la
possieda rispetto le altre due direzioni y, z.
Possiamo allora smontare lequazione in pezzi
facendo affacciare lidea che ad ogni modo
indipendente di accumulare energia da parte delle
molecole competa lo stesso quantitativo energetico
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Facciamo il punto!
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Interpretiamo ancora la costante di Boltzmann
Rappresenta laumento energetico che si ha in
ogni serbatoio indipendente della molecola
quando la temperatura viene incrementata di un
grado
Il PRINCIPIO DEQUIPARTIZIONE DELLENERGIA,
formulato da J. C. Maxwell (1831 1879), afferma
che, individuato il numero di modi diversi,
indipendenti tra loro, in cui ciascuna delle
molecole di una sostanza può accumulare energia,
questa, mediamente, si ripartisce in maniera
uguale tra essi, in modo tale che ciascuno di
essi ne abbia un quantitativo pari a Dove T è
la temperatura espressa in kelvin della sostanza
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Lequipartizione dellenergiaSe le molecole non
sono monoatomiche, sono possibili altri serbatoi
energetici?.
Se un gas ha molecole biatomiche, si aggiungono
altre due possibilità di movimento indipendenti,
oltre alla traslazione. Si tratta delle rotazioni
attorno ai due assi ortogonali allasse di
simmetria. Lenergia potrà essere incamerata
anche in essi e quindi ogni molecola avrà
complessivamente Se le possibilità di ruotare
in modo indipendente sono tre, molecole
poliatomiche, allora lenergia sale a
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La distribuzione delle velocità molecolari di un
gas perfetto.
Nel modello di gas perfetto formato da molecole
in moto disordinato e continuo abbiamo fatto
lipotesi semplificativa che le molecole avessero
velocità uguali tra loro. Ma ciò non è verosimile
e non ci deve spaventare perché Il PERFETTO
DISORDINE ci permette di prevedere il futuro!
Supponiamo che le particelle di un gas a
temperatura T si trovino allinizio nella
situazione altamente ordinata in cui il valore
del modulo della di velocità v sia uguale per
tutte. In base alla relazione che lega energia
cinetica media e temperatura sarà In breve
tempo, a causa dei primi urti, alcune di esse
diverranno più veloci ed altre più lente.
Nellipotesi di urti elastici, per ogni molecola
che perde velocità ve ne sarà, in corrispondenza,
una che laumenta.
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Istogramma della distribuzione di Maxwell
In un istogramma che rappresenti il numero di
molecole in relazione allintensità della loro
velocità (indipendentemente dalla direzione) si
assisterà ad un graduale sparpagliamento verso
velocità immediatamente vicine a quella di
partenza. Gli urti avranno leffetto di far
scavalcare a destra il valore v dalla molecola
che cresce di velocità, ed a sinistra da quella
che rallenta. Se attendiamo un tempo lungo, si
raggiunge in questo modo una distribuzione
stabile. Si tratta di una forma di equilibrio, ma
non nel senso statico di questo termine una
molecola qualunque, in ogni caso, ora rallenta ed
ora accelera a seconda degli urti subiti.
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Lettura del grafico
Il punto di massimo vp rappresenta il valore di
velocità avvicinandosi al quale cresce la
probabilità di trovare molecole. Ma la situazione
fisica non è simmetrica attorno ad esso mentre
le intensità delle velocità a sinistra non
possono scendere al di sotto dello zero, a
destra, non esiste invece un limite ai valori
possibili (se non quello di non superare la
velocità della luce).
Spostandosi verso un qualunque intervallo di
valori molto grandi, sarà quindi sempre possibile
trovare molecole che si muovono a tali velocità.
Il loro numero però diminuisce progressivamente
in caso contrario dovremmo avere a disposizione
infinite particelle. Si dimostra che la velocità
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Lettura del grafico
Se aumentiamo la temperatura del gas, le velocità
tendono a raggrupparsi attorno ad un nuovo valore
massimo che cresce secondo la relazione vista
sopra
Quando T aumenta, inoltre, in una situazione di
equilibrio statistico, la distribuzione delle
velocità molecolari intorno al massimo si allarga
sempre di più. Così, per effetto dellincremento
dellenergia cinetica media delle molecole, la
distribuzione viaggia spostandosi verso destra,
con le ali della campana che si fanno sempre più
aperte.
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Lettura del grafico
Bisogna pensare a questa distribuzione come ad un
istogramma in cui larea sottesa rappresenta il
numero totale di molecole, mentre larea compresa
in una fetta verticale fra due velocità vicine
rappresenta il numero di molecole che hanno
velocità comprese fra questi valori.
Per basse temperature, la forma piccata della
distribuzione fa sì che solo un piccolo
intervallo di velocità attorno al valore massimo
sia occupato da un numero di molecole che non sia
trascurabile, e solamente poche particelle hanno
velocità molto più grandi (o molto più piccole)
di vp.
AL CRESCERE DELLA TEMPERATURA AUMENTA IL GRADO
DELLA DISTRIBUZIONE DELLENERGIA COMPLESSIVA FRA
GLI STATI DI VELOCITÀ.
Aumentando la temperatura il numero complessivo
di molecole non cambia quindi larea sottesa
resta equivalente. Ma ora i valori di velocità
interessati in modo significativo non sono solo
una fetta ristretta intorno a vp, la forma della
curva si allarga in modo che una frazione più
importante delle molecole totali abbiano velocità
più grandi e più piccole del massimo.