Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

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Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

• Lezione 2
• Operazioni a termine e cedole indicizzate ai
  tassi di interesse

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Operazioni a termine

• Unoperazione a termine è uno scambio tra una
  somma v(t,?,T) determinata al tempo t e pagata al
  tempo ? t in cambio di ununità di valuta
  disponibile al tempo T.
• Loperazione a pronti è un caso particolare in
  cui ? t, e ovviamente v(t,?,T) v(t,T).
• v(t,?,T) è definito come il prezzo a termine
  (forward price) stabilito in t di un investimento
  che inizia in ? t e restituisce un euro in T.

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Prezzi a pronti e a termine

• Consideriamo la seguente strategia
• Acquisto a pronti di una quantità nominale di
  v(t,?,T) unità di valuta disponibile in ? e
  acquisto a termine, per regolamento in ?, di
  ununità di valuta disponibile in T
• Indebitamento a pronti di per la restituzione di
  ununità di valuta in T.
• E facile osservare che questa strategia fornisce
  un pay-off nullo sia in in ? che in T.
• Se il valore della strategia al tempo t è diverso
  da zero, esiste una possibilità di arbitraggio
  per una delle due controparti.

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Esempio di arbitraggio
v(t,?) v(t,?,T) v(t,?,T)
v(t,?,T) 1
v(t, T) 1
Totale v(t, T) v(t,?) v(t,?,T) 0 0
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Prezzi a pronti e a termine

• I prezzi a pronti e a termine sono quindi legati
  da una relazione che esclude la possibilità di
  arbitraggio sopra descritta
• v(t,T)v(t,?) v(t,?,T)
• Linformazione sulla funzione di sconto a termine
  è quindi interamente contenuta nella funzione di
  sconto a pronti
• Questa relazione induce un nesso funzionale tra
  curva dei tassi a pronti e curva a termine

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La struttura per scadenza dei tassi a termine
La struttura per scadenza dei tassi a termine è
un modo di rappresentare la funzione di sconto a
termine Può essere rappresentata in
capitalizzazione composta discreta
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La struttura per scadenza dei tassi a termine
La struttura per scadenza dei tassi a termine è
un modo di rappresentare la funzione di sconto a
termine Può essere rappresentata in
capitalizzazione composta continua
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La struttura per scadenza dei tassi di interesse
La struttura per scadenza dei tassi a termine è
un modo di rappresentare la funzione di sconto a
termine Può essere rappresentata in
capitalizzazione semplice
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Cedole indicizzate

• Una cedola indicizzata è determinata sulla base
  di un indice, tipicamente un tasso dinteresse,
  osservato a una data ?, definita data di reset.
• Il caso tipico (noto come natural time lag) è
  quello di una cedola con
• periodo di godimento da ? a T
• data di reset ? e data di pagamento T
• tasso di riferimento per la determinazione della
  cedola
• i(? ,T) (T ? ) 1/v (? ,T) 1
• Si noti che tipicamente il tasso indicizzato è a
  capitalizzazione semplice, per la convenzione di
  mercato che utilizza tale meccanismo su tassi con
  scadenza inferiore allanno.

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Il portafoglio di replica

• Qual è il portafoglio di replica di una cedola
  indicizzata, riferita a un nominale pari a
  ununità di valuta?
• Si noti che al tempo ? il valore della cedola,
  determinata in ? e pagata in T, sarà dato da
• v (? ,T) i(? ,T) (T ? ) 1 v (? ,T)
• Il portafoglio di replica che è naturale
  scegliere è quindi
• Una posizione lunga (investimento) per ununità
  di valuta disponibile in ?
• Una posizione corta (finanziamento) per ununità
  di valuta disponibile in T

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Flussi di cassa di una cedola indicizzata

• Sfruttando largomento di arbitraggio appena
  descritto, otteniamo che una cedola indicizzata
  corrisponde a una posizione di investimento a
  breve termine finanziata con indebitamento a
  lungo termine, per un ammontare pari al valore
  nominale C su cui è calcolata la cedola. Una
  cedola indicizzata nasconde quindi una posizione
  di debito (leverage)

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Prezzo di non arbitraggiocedole indicizzate

• Il portafoglio di replica consente di valutare la
  cedola al tempo t come
• cedola indicizzata v(t,?) v(t,T)
• A ? abbiamo che il valore della posizione
  risulta infatti
• 1 v(?,T) v(?,T) 1/ v(?,T) 1
• v(?,T) i(?,T)(T ?)
• fattore di
  sconto X cedola indicizzata
• Al tempo t il valore della cedola può essere
  scritto
• v(t,?) v(t,T) v(t,T)v(t,?) / v(t,T) 1
• v(t,T) f(t,?,T)(T ?)
• fattore
  di sconto X tasso forward

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Cedole indicizzate alcuni caveat importanti

• E sbagliato asserire che le cedole future attese
  sono rappresentate dai tassi forward perché
  questi ultimi sono previsori non distorti dei
  tassi a pronti futuri
• La valutazione delle cedole attese tramite i
  tassi forward non è legata ad alcuno scenario
  futuro di evoluzione dei tassi, bensì alla curva
  dei tassi forward corrente.
• La curva dei tassi forward varia insieme a quella
  a pronti, ed insieme ad esse varia sia il valore
  delle cedole attese che il loro valore scontato

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Flussi di cedole indicizzate

• Consideriamo uno scadenzario
• ?t,t1,t2,tm?
• dove ti, i 1,2,,m 1 sono le date di reset
  delle cedole, ognuna delle quali è pagata in
  ti1.
• t è la data di valutazione del flusso di cedole.
  
• E agevole verificare che il valore del flusso di
  cedole corrisponde a
• Una posizione lunga (investimento) per ununità
  di valuta alla data di reset della prima cedola
  (t1)
• Una posizione corta (finanziamento) per ununita
  di valuta alla data di pagamento dellultima
  cedola (tm)

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Floater

• Un titolo indicizzato (floater) è caratterizzato
  da uno scadenzario
• ?t,t1,t2,tm?
• In t1 viene pagata la cedola corrente c (valore
  cv(t,t1))
• ti, i 1,2,,m 1 sono le date di reset delle
  cedole indicizzate pagate in ti1 (valore v(t,t1)
  v(t,tm))
• Il capitale viene rimborsato in ununica
  soluzione in tm.
• Valore delle cedole cv(t,t1) v(t,t1) v(t,tm)
• Valore del capitale v(t,tm)
• Valore complessivo del titolo
• Valore del titolo Valore delle cedole Valore
  del capitale
• cv(t,t1) v(t,t1)
  v(t,tm) v(t,tm)
• (1 c) v(t,t1)
• Un titolo indicizzato è finanziariamente
  equivalente a un titolo a breve, con scadenza in
  corrispondenza della data di reset della prima
  cedola indicizzata e cedola pari alla cedola
  corrente

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Debito indicizzato Debito a breve
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Valutazione di un floater
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Analisi di stress di un floater

• Assumendo un aumento di 1 dei rendimenti

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Un forward rate agreement (FRA)

• Un contratto FRA è uno scambio, deciso al tempo
  t, tra un flusso indicizzato e una cedola fissa
  k, sul periodo di investimento da ? a T.
• Assumendo che la cedola sia determinata al tempo
  ?, posta uguale al tasso i(?,T), e pagata, a
  fronte del flusso fisso, al tempo T, abbiamo che
• FRA(t) v(t,?) v(t,T) v(t,T)k
• v(t,T) v(t,?)/ v(t,T) 1 k
• v(t,T) f(t,?,T) k
• Alla data di origine abbiamo per convenzione
  FRA(0) 0, cosicché otteniamo k f(t,?,T)
• Si noti inoltre che nella pratica dei mercati lo
  scambio del pay-off avviene a ? invece che a T
  (in advance FRA)

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Lag naturale

• In questa analisi abbiamo assunto
• Definizione della cedola allinizio del periodo
• Pagamento della cedola alla fine del periodo
• Tasso di indicizzazione riferito allo stesso
  periodo di godimento della cedola (es. cedola
  semestrale indicizzata a tasso semestrale)
• Queste ipotesi definiscono il lag naturale
• Una rappresentazione più generale del prezzo di
  una cedola indicizzata include aggiustamenti,
• Cedola attesa tasso forward
• convexity adjustment timing adjustment
• Solo nel caso di lag naturale abbiamo
• convexity adjustment timing adjustment 0
• Lo studio del caso più generale richiede però
  concetti che vanno oltre questo corso

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EsercizioReverse floater

• Un titolo a indicizzazione inversa, o reverse
  floater, è caratterizzato da uno scadenzario
• ?t,t1,t2,tj, tm?
• Fino alla scadenza tj vengono pagate cedole fisse
  (tipicamente molto alte)
• A partire dalla data di reset tj le cedole
  vengono determinate sulla base della formula
• rMax ? i(ti,ti1)
• dove ? è un parametro di leverage.
• Il capitale viene rimborsato in ununica
  soluzione alla scadenza

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SoluzioneReverse floater

• Un titolo reverse floater può essere scomposto in
  
• Un flusso attivo di cedole fisse pagate alle
  scadenze ?t1,t2,tj?
• Un flusso attivo di cedole fisse pari a
• (ti1 ti)rMax , i j 1, m 1.
• Un flusso passivo di cedole indicizzate su un
  capitale pari a ? volte il valore nominale
• Un titolo zero-coupon-bond che paga il nominale
  alla scadenza
• Un reverse floater corrisponde quindi a un
  investimento a lungo termine finanziato con
  unesposizione termine a breve termine, per un
  ammontare multiplo del valore nominale
• La posizione di debito a breve e investimento a
  lunga rende il prodotto estremamente sensibile a
  aumenti i) del livello e ii) dellinclinazione
  della curva dei tassi