Diapositive 1

1
Fonction partie entière
f(x) a b (x h) k
Rôle des paramètres
Remarque
Tu devrais visionner la présentation  Fonction
en escalier.ppt  avant de visionner celle-ci.
2
La fonction partie entière est un type de
fonction en escalier.
Fonction partie entière
Fonction en escalier quelconque
Les marches ont des longueurs différentes.
Ce qui la distingue, cest sa régularité.
Les distances entre les marches sont différentes.
Les marches ont toutes la même longueur.
La distance entre les marches est toujours la
même.
3
f(x) a b (x h) k
La fonction partie entière de base est
représentée par f(x) x .
Les paramètres a, b, h, k vont transformer cette
fonction de base.
Regardons, en premier, ce que signifie f(x) x
.
4
Le symbole x signifie le plus grand entier
inférieur ou égal à x.
Exemple
Si x 2,25
alors x
2,25
2.
Soit le plus grand entier inférieur à 2,25.
Si x 45,99
alors x
45,99
45.
Si x 489,23
alors x
489,23
489.
Si x 26
alors x
26
26.
5
Le symbole x signifie le plus grand entier
inférieur ou égal à x.
Attention
Si x - 2,25
alors x
- 2,25
- 3
Soit le plus grand entier inférieur à - 2,25.
Si x - 78,1
alors x
- 78,1
- 79.
6
La fonction partie entière sert à représenter
certaines situations dans lesquelles la variable
dépendante ne varie pas alors que la variable
indépendante varie.
Prenons comme exemple ton âge.
Variable indépendante
Variable dépendante
À ton dernier anniversaire,
tu as eu 15 ans.
À 15 ans et 1 mois,
tu as encore 15 ans.
À 15 ans et 3 mois,
tu as encore 15 ans.
À 15 ans et 6 mois,
tu as encore 15 ans.
À 15 ans et 9 mois,
tu as encore 15 ans.
tu auras 16 ans.
Durant toute lannée, on ne retient que la partie
entière de ton âge, soit 15 ans.
7
Représentons par un graphique lâge dun enfant.
Durant toute la première année,
lâge est de 0 an.
x varie,
mais y ne varie pas,
Durant toute la deuxième année,
lâge est de 1 an.
x varie,
mais y ne varie pas,
Ainsi de suite.
8
Le modèle théorique de la fonction partie entière
de base est
f(x) x
Caractéristiques
y

• La longueur des marches est
• de 1 unité.

• Les intervalles de valeurs
• de la variable indépendante
• sont fermés à gauche,
• ce qui signifie que la première
• valeur de lintervalle est incluse.

x

0 , 1
Exemple
- La distance entre les marches est de 1 unité.
- Lordonnée à lorigine est 0.
- Les abscisses à lorigine sont dans
lintervalle 0 , 1 .
La fonction f , partie entière de x , qui associe
à chaque nombre réel x le plus grand entier
inférieur ou égal à x est définie par f(x) x
dom f IR et ima f Z.
-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,
9
La fonction partie entière de base est f(x) x
.
Les paramètres a, b, h, k transforment cette
fonction de base.
On obtient alors f(x) a b (x h) k
Regardons le rôle joué par chacun de ces
paramètres.
Pour bien comprendre ces rôles, utilisons une
table de valeurs restreinte et le graphique qui
lui est associé.
10
Pour mieux comprendre le rôle de chaque
paramètre, neutralisons les autres.
Le paramètre a
f(x) a b (x h) k
b 1, h 0 et k 0
f(x) a 1 (x 0) 0
f(x) a x
f(x) 1 x
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
1
-2
-2
-1
-1
0
0
1
2
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
11
Fonction croissante.
f(x) 1 x
f(x) - 1 x
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
-1
-1
0
1
1
2
-2
-2
0
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
Réflexion par rapport à laxe des x .
Fonction décroissante.
12
x

-1
-0,1
0
0,9
1
1,9

f(x) x

-1
-1
0
0
1
1

f(x) 2 x

-2
-2
0
0
2
2

a gt 1
La distance verticale entre les marches augmente.
Étirement vertical.
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
f(x) 0,5 x
-1
-1
-0,5
-0,5
0
0
0,5
0,5
0 lt a lt 1
La distance verticale entre les marches diminue.
Compression verticale.
13
Pour mieux comprendre le rôle de chaque
paramètre, neutralisons les autres.
Le paramètre b
f(x) a b (x h) k
a 1, h 0 et k 0
f(x) 1 b (x 0) 0
f(x) b x
f(x) b x
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
f(x) 1 x
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
f(x) 1 x
14
Fonction croissante.
f(x) 1 x
b gt 0
f(x) - b x
-2
-1,9
-1
-0,9
0
0,1
1
1,1
2
2
1,9
1
0,9
0
-0,1
-1
-1,1
-2
f(x) -1 x
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
f(x) -1 x
Réflexion par rapport à laxe des y.
Fonction décroissante.
b lt 0
15
-1
-0,6
-0,5
-0,1
0
0,4
0,5
0,9
1
f(x) 2 x
-2
-1,2
-1
-0,2
0
0,8
1
1,8
2
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
f(x) 2 x
b gt 1
La longueur des marches (intervalles) diminue.
Compression horizontale.
-2
-1
-0,1
0
1
1,9
2
2,5
3
f(x) 0,5 x
-1
-0,5
-0,05
0
0,5
0,95
1
1,25
1,5
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
f(x) 0,5 x
0 lt b lt 1
La longueur des marches (intervalles) augmente.
Étirement horizontal.
16
Pour mieux comprendre le rôle de chaque
paramètre, neutralisons les autres.
Le paramètre h
f(x) a b (x h) k
a 1, b 1 et k 0
f(x) 1 1 (x h) 0
f(x) (x h)
f(x) x h
f(x) x h
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
2,9
3
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
f(x) x 1
f(x) x 1
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
Translation horizontale vers la droite.
17
f(x) x h
-3
-2,1
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
f(x) x 1
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
f(x) x 1
2
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
h - 1
Translation horizontale vers la gauche.
18
Pour mieux comprendre le rôle de chaque
paramètre, neutralisons les autres.
Le paramètre k
f(x) a b (x h) k
a 1, b 1 et h 0
f(x) x k
f(x) 1 1 (x 0) k
f(x) x k
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
f(x) x
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
f(x) x 1
-1
-1
0
0
1
1
2
2
Translation verticale vers le haut.
19
f(x) x k
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
2,9

-1
-1
0
0
1
1
2
2

f(x) x
f(x) x - 1

-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
k -1
Translation verticale vers le bas.
20
En résumé
Le paramètre a
0 lt a lt 1
a gt 1
a 1
a lt -1
-1 lt a lt 0
a -1
21
En résumé
Le paramètre b
b gt 1
0 lt b lt 1
b 1
b lt -1
-1 lt b lt 0
b -1
22
En résumé
Le paramètre h
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
h lt 0
h gt 0
Le paramètre k
k lt 0
k gt 0
23
Remarque
a et b du même signe.
Fonction croissante.
b négatif
a négatif
a et b de signes contraires.
Fonction décroissante.
b négatif
a positif
b positif
a négatif
24
Attention
Pour interpréter correctement les paramètres
dune fonction partie entière, il faut que
celle-ci soit écrite en forme canonique.
f(x) a b (x h) k
Exemple
f(x) 2 2x 4 1
f(x) 2 2 (x 2) 1
a 2 b 2 h 2 k 1
Exemple
f(x) 3 5 - x - 2
f(x) 3 - x 5 - 2
f(x) 3 - ( x 5 ) - 2
a 3 b -1 h 5 k -2
25
Pour bien comprendre la fonction partie entière,
cest-à-dire
- analyser les caractéristiques de la fonction
- déterminer la règle de la fonction
- tracer le graphique de la fonction
- résoudre léquation
il faut bien saisir le rôle de chaque paramètre.