Introdu

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Introdução ao ?-calculus

• Prof. Gustavo MottaDepartamento de
  Informática/UFPB

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Sumário

• Expressões-? sem variáveis livres
• Combinadores aritméticos, constantes Cia.

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Expressões-? sem variáveis livres

• Expressões-? com variáveis livres são dependentes
  do contexto
• Sentido (ou valor) depende de suas variáveis
  livres
• Usar uma expressão-? num certo contexto significa
  usá-la como subexpressão em outra expressão
• ?x.(y)x usada no contexto ((?x.?y.hole)E)F
• resulta em ((?x.?y.?x.(y)x)E)F ? ?x.(F)x
• Note que a ocorrência livre de y foi capturada
  pelo contexto onde a subexpressão foi empregada
• Um contexto é uma expressão-? com um ou mais
  holes (lacunas)

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Expressões-? sem variáveis livres

• Note a diferença entre usar uma expressão-? E num
  contexto C e a substituição de hole por E, com
  hole sendo variável livre em C
• ((?hole.C)E ? E / holeC
• Nesse caso, as varáveis livres não são capturadas
• Variáveis livres ? variáveis globais
• Variáveis livres numa expressão-? correspondem a
  variáveis globais usadas num bloco aninhado ou no
  corpo de um procedimento numa linguagem de
  programação convencional
• Variáveis amarradas correspondem a parâmetros
  formais ou a variáveis locais

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Expressões-? sem variáveis livres

• Expressões-? sem variáveis livres são
  independentes do contexto
• Comportam-se da mesma forma em qualquer contexto
• Similares a símbolos constantes
• A expressão-? ?x.x representa a transformação de
  identidade em qualquer contexto
• Combinadores
• Definição - Expressões-? sem variáveis livres
  são chamadas de expressões-? fechadas ou de
  combinadores

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Expressões-? sem variáveis livres

• Usados para combinar funções na formação de
  novas funções
• Exemplos
• Combinador identidade - I
• I é considerado um símbolo constante (ou palavra
  reservada) e não uma variável
• Representa uma classe de expressões-?
  ?-congruentes
• Definido como
• I ? ?x.x

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Expressões-? sem variáveis livres

• Exemplos
• Combinador composição - compose
• Define a composição de duas funções f e g
• compose ? ?f.?g.?x.(f)(g)x
• Tratamento de símbolos para combinadores
• (1) Abreviação para expressões-?
• (2) Considerá-los atômicos e introduzir regras de
  redução específicas
• (I)E ? E
• (((compose)F)G)E ? (F)(G)E

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Expressões-? sem variáveis livres

• Exemplos
• Combinadores booleanos
• true ? ?x.?y.x
• false ? ?x.?y.y
• Regras de redução
• ((true)P)Q ? P
• ((false)P)Q ? Q
• Seleciona uma de duas alternativas

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Expressões-? sem variáveis livres

• Combinadores booleanos
• A expressão condicional
• If C then P else Q
• toma a forma
• ((C)P)Q
• na notação ?, com P e Q denotando expressões-?
  arbitrárias e C sendo redutível a ?x.?y.x ou a
  ?x.?y.y
• Representada pelo combinador
• ?c.?p.?q.((c)p)q
• Lembrem-se que o lambda-calculus é livre de tipos

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Combinadores aritméticos, constantes Cia.

• Observações
• Valores verdade e operadores booleanos padrão
  podem ser representados por combinadores
  específicos
• Comportam-se da mesma maneira em diferentes
  contextos
• Em princípio, não há diferença entre um valor
  constante como true ou false e uma função bem
  definida como and
• De fato, toda função bem definida pode ser
  considerada uma entidade constante
• Mesmo os valores verdade são representados por
  funções
• Quase tudo pode ser representado dessa maneira

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Combinadores aritméticos, constantes Cia.

• Representação dos números naturais
• Numerais de Church
• 0 ? ?f.?x.x
• 1 ? ?f.?x.(f)x
• 2 ? ?f.?x.(f)(f)x
• 3 ? ?f.?x.(f)(f)(f)x
• Em geral, o combinador representando o n-ésimo
  número realiza n iterações do primeiro argumento
  sobre o segundo

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Combinadores aritméticos, constantes Cia.

• Representação dos números naturais
• Operadores aritméticos
• succ ? ?n.?f.?x.(f)((n)f)x
• (?n.?f.?x.(f)((n)f)x)?f.?x.(f)x
• ?f.?x.(f)((?f.?x.(f)x)f)x
• ?f.?x.(f)(?x.(f)x)x
• ?f.?x.(f)(f)x ? 2
• Notem que o nome das variáveis bounded não é
  importante

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Combinadores aritméticos, constantes Cia.

• Representação dos números naturais
• Operadores aritméticos
• ? ?m.?n.?f.?x.((m)f)((n)f)x
• ((?m.?n.?f.?x.((m)f)((n)f)x)?f.?x.(f)(f)x)?f.?x.
  (f)(f)(f)x
• (?n.?f.?x.((?f.?x.(f)(f)x)f)((n)f)x)?f.?x.(f)(f)
  (f)x
• ?f.?x.((?f.?x.(f)(f)x)f)((?f.?x.(f)(f)(f)x)f)x
• ?f.?x.(?x.(f)(f)x)(?x.(f)(f)(f)x)x
• ?f.?x.(?x.(f)(f)x)(f)(f)(f)x
• ?f.?x.(f)(f)(f)(f)(f)x ? 5

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Combinadores aritméticos, constantes Cia.

• Representação dos números naturais
• Operadores aritméticos
• ? ?m.?n.?f.(m)(n)f
• Teste de zero
• zero ? ?n.((n)(true)false)true
• (?n.((n)(true)false)true)?f.?x.(f)x
• ((?f.?x.(f)x)(true)false)true
• (?x.((true)false)x)true
• ((true)false)true ? false

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Combinadores aritméticos, constantes Cia.

• Representação dos números naturais
• Operadores aritméticos
• A representação da operação predecessor, que
  resulta em n 1 para n gt 0 e 0 para n 0 é
  engenhosa
• Representar pares do tipo n, n 1 na
  notação-?, onde um par qualquer a, b é dado
  por ?z.((z)a)b
• tendo as seguintes propriedades
• (?z.((z)a)b)true ? a
• (?z.((z)a)b)false ? b

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Combinadores aritméticos, constantes Cia.

• Representação dos números naturais
• Operadores aritméticos
• Define-se então a função next, para obter n 1,
  n a partir de n, n 1, que corresponde à
  seguinte expressão-?
• next ? ?p.?z.((z)(succ)(p)true)(p)true
• Aplicando esse operador a partir do par
  ?z.((z)0)0, temos
• ((n)?p.?z.((z)(succ)(p)true)(p)true)?z.((z)0)0
• Agora, para se ter a função predecessor, basta
  selecionar o segundo elemento do par ordenado
  resultante
• pred ? ?n.(((n)?p.?z.((z)(succ)(p)true)(p)true)?z.
  ((z)0)0)false

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Bibliografia

• Revesz, G. E. Lambda-Calculus, Combinators, and
  Functional Programming. Cambridge University
  Press, 1988.