Tiro Parab

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Tiro Parabólico

• Supongamos que se dispara un proyectil, con
  velocidad inicial v0, desde una altura h,
  formando un ángulo ? con la horizontal. Se
  pretende calcular la máxima altura alcanzada y la
  distancia horizontal recorrida.
• Como suposiciones simplificadoras se despreciará
  el rozamiento del aire y se considerará que la
  aceleración de la gravedad es constante durante
  el vuelo del proyectil.

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y
V0x
V0
V0y
y0
?
V0x
ymax
x0
x
V0x V0cos?
V0y V0sen?
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Ecuaciones del movimiento

• Para resolver el problema utilizaremos la
  segunda ley de Newton 
•  

• Como hemos despreciado el efecto del rozamiento
  del aire la única fuerza que actúa sobre el
  proyectil es la fuerza de la gravedad. Además,
  ésta está siempre dirigida hacia abajo (dirección
  y negativa). Por otra parte, la aceleración es,
  por definición   

• Suponemos que el proyectil se mueve en el plano
  x-y, entonces 

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• Donde i y j representan vectores unitarios en
  las direcciones x e y respectivamente. Por tanto,
  la segunda ley de Newton toma la forma 

• Para resolver esta ecuación procedemos igualando
  componentes 

• Estas ecuaciones diferenciales son muy fáciles de
  resolver, simplemente hay que integrar dos veces
  y tener en cuenta las constantes de integración (
  velocidad y posición iniciales).
• La ecuación en la coordenada y conduce a 

(primera integración, aparece la constante
inicial de velocidad).
(segunda integración, produce la constante
inicial de posición).
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• Para la coordenada x tenemos 

• Podemos, en este momento, observar por qué a este
  movimiento se le llama tiro parabólico, la
  función y(t) (posición en función del tiempo) es
  la ecuación de una parábola.

• Una vez obtenidas las ecuaciones del movimiento
  se pueden resolver las cuestiones iniciales.
• a) Altura máxima
• Llamaremos al punto de máxima altura ymax. En
  este punto, la componente vertical de la
  velocidad del proyectil tiene que ser cero.
  Matemáticamente podemos ver esto de la siguiente
  manera.  
• Nuestro problema consiste en hallar el valor
  máximo de y(t). Pero sabemos que el máximo de una
  función se obtiene derivando dicha función e
  igualándola a cero, así 

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• Pero, por definición la derivada de la posición
  con respecto al tiempo es la velocidad, por tanto
  llegamos a la conclusión inicial. Utilizando la
  expresión de la velocidad calculada en el
  apartado ecuaciones del movimiento podemos
  calcular el tiempo que tarda el proyectil en
  llegar a la máxima altura 

• El valor de la velocidad inicial en la coordenada
  y se puede calcular de los datos del problema y
  observando la figura adjunta.

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• a) Distancia horizontal.
• Ahora queremos calcular la distancia horizontal
  que recorre el proyectil. Esta distancia viene
  dada por la expresión 

• donde t será el tiempo que permanece el proyectil
  en el aire. Este tiempo será el que tarda en
  alcanzar la altura máxima (calculada antes) y el
  que tarda en caer desde dicha altura al suelo.

• Cuando el cuerpo esté en el suelo, su coordenada
  y será nula, por tanto 

• En este caso, es la posición inicial, que
  coincide con el instante en el que el proyectil
  alcanza la máxima altura, por tanto  y0 ymax

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• Y V0y será la velocidad en el punto de máxima
  altura, este punto fue calculado anteriormente y
  como vimos era cero. Por tanto 

• Este es el tiempo que tarda el proyectil en caer
  desde la altura máxima al suelo. Por
  consiguiente, el tiempo de vuelo ha sido 

• Y la distancia horizontal recorrida se obtiene
  fácilmente 

En esta expresión podemos sustituir el valor de
t, obteniéndose una expresión un tanto compleja 

• Con esto queda estudiado el tiro parabólico.
  Cualquier otro problema relacionado con
  movimiento cerca de la superficie de la tierra
  puede estudiarse de manera totalmente análoga a
  este.

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Ecuaciones de movimiento con aceleración
constante en el eje x
Ecuaciones de movimiento con aceleración
constante en el eje y
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Bajo la acción de la gravedad
Ecuaciones de movimiento con aceleración
constante en el eje x
Bajo la acción de la gravedad
Ecuaciones de movimiento con aceleración
constante en el eje y