Diapositive 1

1
La forme exponentielle
2
La forme exponentielle est une forme décriture
permettant de représenter une multiplication
répétée dun même facteur.
Ainsi

5

2 X 2 X 2

3 X 3 X 3 X 3 X 3

10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10
5 X 5 X 5 X 5
À linverse,
On ne multiplie pas les facteurs entre eux.
On écrit le facteur et lexposant qui indique
combien de fois le facteur sest multiplié par
lui-même.
3
Vocabulaire
Le nombre qui indique combien de fois un facteur
(la base) se multiplie par lui-même sappelle
lexposant
( On lécrit plus petit et on le place en
haut et à droite du facteur. )
Le facteur qui se répète sappelle la
base
Le produit de cette multiplication répétée
sappelle la
3
2
8
puissance

2 X 2 X 2
8
Loi 1
Sous la forme exponentielle, lexposant signifie
le nombre de fois que lon doit multiplier la
base par elle-même.
Cest la loi la plus importante.
4
Formule les expressions suivantes sous la forme
exponentielle
5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5
56
2 X 2 X 3 X 3 X 3 X 7 X 7 X 7
22 X 33 X 73
Remarque
On regroupe ensemble les bases semblables
on les réunit par le signe de multiplication
puisque cest une multiplication de facteurs.
2 X 3 X 2 X 5 X 2 X 3 X 7 X 5
23 X 32 X 52 X 7
2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 5 X 5 X 7
23 X 32 X 52 X 7
Remarque
On peut permuter ( changer de place) les facteurs
car ils sont tous unis par le signe de
multiplication.
1,253
1,25 X 1,25 X 1,25
-7 X -7 X -7 X -7
( -7 )4
5
Détermine la puissance des expressions suivantes
25
32
2 X 2 X 2 X 2 X 2
avec la calculatrice, utiliser la touche
ou
ou
2
5
Exemple
25
32
53
125
1,174
1,87388721
0,52
0,25
0,53
0,125
1012
1 000 000 000 000
10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10
15
1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1
1
6
Selon la loi sur la multiplication de fractions.
Base négative
(-2)2
-2 X -2
4
(-2)3
-2 X -2 X -2
- 8
(-2)4
-2 X -2 X -2 X -2
16
- 32
(-2)5
-2 X -2 X -2 X -2 X -2
Règle
Une base négative affectée dun exposant pair
donne toujours une puissance positive.
Une base négative affectée dun exposant impair
donne toujours une puissance négative.
7
Loi 2
Lorsquon multiple des bases semblables, on
additionne les exposants.
peut sécrire
23 21 X 21 X 21
Exemple
23 2 X 2 X 2
Un nombre, sans exposant écrit, signifie que
lexposant est 1
2 21
Une lettre , sans exposant écrit, signifie que
lexposant est 1
x x1
soit
2111
21 X 21 X 21 23
23
23 X 22
25
232
25
X
x . x . x
x3
8
Réduis les expressions suivantes
33 X 32
35
1,252 X 1,25
1,252 X 1,251
1,253
x2 X x2
x4
(-8)2 X (-8)
( -8 )3
2x X 2x
2 X x X 2 X x
22 x2
4 x2
(ab)4
(ab)2 X (ab)2
(x 3) X (x 3)2
(x 3)3
9
Réduis les expressions suivantes
25 X 33 X 53
22 X 3 X 23 X 5 X 32 X 52
32 X 52 X 2 X 33 X 23 X 52
24 X 35 X 54
Écris les multiplications suivantes sous la forme
exponentielle en utilisant des facteurs premiers
2 X 3 X 6 X 9 X 4
2 X 3 X 2 X 3 X 32 X 22
24 X 34
25 X 32
24 X 12
23 X 3 X 22 X 3
10
Loi 3
Lorsquon divise des bases semblables, on
soustrait les exposants.
Exemple
23
25 22
25 2
Démonstration
Écrivons 25 22 sous la forme dune fraction
car une division est une fraction.
Développons
23
Simplifions les facteurs communs au numérateur et
au dénominateur
x4 x3
x 4 3
x
11
Réduis les expressions suivantes
35 32
33
24
27 23
x2 x
x
x
x3 x2
4x3 2x2
22 x3 2 x2
2x
6x
( a 3 )1
( a 3 )
1
22 22
22 2
20
22 23
2-1
12
Démonstration
8
4
2
1
Loi 4 Une base affectée de lexposant 0 est
toujours égale à 1.
Loi 4 a0 1
2-1
2-2

On doit rendre lexposant positif en inversant la
base.
13
Calcule les expressions suivantes
5-3
4
2,25
4
14
Loi 1
Loi 2
Loi 3
Loi 4
Loi 5
15
Simplifie les expressions suivantes
a2b0
a2 X b0
a2 X 1
a2
(- 5)-2
3a X 3a X a
32a3
9a3
2 X 5-1
4a-1
4 X a-1
50
car
50
2 X 5 X 5
16
Calcule les expressions suivantes
72 7-2
72 - -2
722
74
2 401
car
2 401
(2x)3
8x3
(2x)3
2x X 2x X 2x
23 x3
8x3
car
1,25
car
1,25
10-2
0,01
car
10-2
0,01
125
55 X 5-2
125
soit
55 -2
55 -2
53
soit
55 X 5-2
125
53
70 X 72
car
49
70 X 72
1 X 72
72
49
( 5 X 3 X 2 X 4 X 6 X 52 X 33 X 7 )0
1
17
car
Règle
Dans une expression fractionnaire, si un facteur
au numérateur est affecté dun exposant négatif,
on lenvoie au dénominateur pour le rendre
positif et vice-versa.
2 X 31
6
2-1 X 3 X 5-2 X 7
0,42
18
cb3
a-2 b2 a2 b-2
1
soit
a-2 a2 b2 b-2
a-22 b2-2
a0 b0
1 X 1
1
a-2 b2 a2 b-2
soit
a-2 b2 a2 b-2
1
1
( x 1 )
x -2
19
Attention
( - 5 ) -3
Inverser la base change le signe de lexposant.
Inverser la base ne change pas le signe de la
base.
Cependant
Un exposant pair donne toujours une puissance
positive.
( - 5 ) -2
Il faut bien connaître ses lois.
20
Précision
soit
24 22
24 2
22
soit
22
soit
22 24
22 4
2-2
soit
21
Loi 6
Lorsquune puissance se retrouve à lintérieur
dune parenthèse et que celle-ci est affectée
dun exposant, on multiplie cet exposant avec
lexposant de la base à lintérieur.
Démonstration
(32)3
32 X 32 X 32
36
(32)3
32 X 3
36
donc
Exemples
(22)3
22 X 3
26
a15
(a5)3
a5 X 3
( (-5)3 )4
(-5)3 X 4
(-5)12
22
Loi 7
Lorsquune puissance se retrouve à lintérieur
dune parenthèse et que celle-ci est affectée
dun exposant, on multiplie cet exposant avec
lexposant de la base à lintérieur.
Exemple
( 2 X 5 )3
23 X 53
La première loi dit Sous la forme
exponentielle, lexposant signifie le nombre de
fois que lon
doit multiplier la base par elle-même.
donc
( 2 X 5 )3
(2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) X ( 2 X 5 )
23 X 53
2 X 5 X 2 X 5 X 2 X 5
( 22 X 3 )2
( 22 X 3 ) X ( 22 X 3 ) donc
22 X 22 X 3 X 3
24 X 32
Exemples
( 74 X 52 )3
74 X 3 X 52 X 3
712 X 56
23
Cette loi nest vraie que sil ny a que des
facteurs dans la parenthèse.
26 X 34
5 184
Exemple
( 23 X 32 )2
( 23 X 32 )2
( 8 X 9 )2
722
5 184
145
26 34
( 23 32 )2
( 23 32 )2
( 8 9 )2
172
289
22 X 23
22 3
25
Attention
Loi 2
( 22 )3
22 X 3
26
Loi 6
24
Problèmes
(63)2
66
(5-1)3
car
(5-1)3
5-3
(22 X 53)2
24 X 56
car
(3x2)2
9x4
(3x2)2
(31 . x2)2
32 . x4
9 . x4
9x4
(-2y)2
4y2
(-2y)3
-8y3
(-5xy)3
-125x3y3
x-2 y-2
(xy)-2
car
(xy)-2
a-3 b-6 a9 b-12
a6 b-18
(ab2a-3b4)-3
car
(ab2a-3b4)-3
25
Écris les expressions suivantes selon la base
exigée.
car
83 en base 2
29
83
(23)3
29
car
94 en base 3
38
94
(32)4
38
24 X 2-9
2-5
42 X 8-3 en base 2
car
42 X 8-3
(22)2 X (23)-3
2-5
42 X 2-3 en base 2
2
car
42 X 2-3
(22)2 X 2-3
24 X 2-3
2
car
(36)3 en base 6
66
(36)3
(62)3
66
33 X 73 en base 21
213
car
33 X 73
213
(3 X 7)3
(22 X 3)3
123 en base 2 et 3
26 X 33
car
(4 X 3)3
26 X 33
123
(a(n2))2
a2n4
car
(a(n2))2
a2(n2)
a2n4
Petit défi
(ab)2(2n-6) (ab)4(n-3)
car
1
(ab)(4n-12) (ab)4n-12
1
26
Loi 8
Lorsquun quotient de puissance ( une fraction )
se retrouve à lintérieur dune parenthèse et que
celle-ci est affectée dun exposant, on multiplie
cet exposant avec les exposants du numérateur et
du dénominateur.
Démonstration
donc
Calcule les expressions suivantes
27
Calcule les expressions suivantes
car
car
153 53
27
car
153 53
33
27
car
28
Les lois sur les exposants sont particulièrement
intéressantes pour simplifier des expressions
complexes.
Simplifie les expressions suivantes.
(2 x 3)2
62
36
car
36
car
2 225 000
car
2 225 000
29
Les exposants fractionnaires
3


Un exposant fractionnaire signifie que lon doit
calculer une racine.
3
3
2
2
30
La forme radicale
Il indique la grandeur de lextraction.
Vocabulaire
Cest la réponse. 2 est donc la racine cubique de
8.
Cest le symbole qui indique que lon doit
extraire une racine.
Cest le nombre que lon doit extraire.
Remarque
se prononce la racine cubique.
2
se prononce la racine carrée.
Lindice est alors 2.
Par convention, on ne lécrit pas, mais il faut
se souvenir quil est là.
31
La forme radicale
Sens
signifie
quel est le nombre qui multiplié 3 fois par
lui-même donne 8 ?
Ce nombre est 2 car 2 X 2 X 2 8.
peut donc sécrire
signifie
quel est le nombre qui multiplié 2 fois par
lui-même donne 25 ?
Ce nombre est 5 car 5 X 5 25.
peut donc sécrire
32
Remarque
La racine carrée dun nombre négatif nexiste pas
dans les réels.
Exemple
signifie quel est le nombre qui multiplié deux
fois par lui-même donne - 4 ?
Ce nombre nexiste pas car
2 X 2 4
-2 X -2 4
- 4 provient de 2 X -2
La racine cubique dun nombre négatif existe dans
les réels.
Exemple
signifie quel est le nombre qui multiplié trois
fois par lui-même donne - 8 ?
Ce nombre est -2 car
-2 X -2 X -2 -8
33
Écrire une forme radicale en forme exponentielle.
3
1

1
Il faut se souvenir que lexposant de 8 est 1.
Cet exposant est le numérateur de la fraction.
Lindice du radical est le dénominateur de la
fraction.
Cette forme décriture est intéressante pour
calculer rapidement certains radicandes.
Exemple
2
34
Simplifie les expressions suivantes.
x2
car
4
4
car
16
car
16
4
4
car
x
x
car
35
Loi des radicaux
La forme radicale peut sécrire en forme
exponentielle, donc
les lois sur les radicaux sont les mêmes que les
lois sur les exposants.
Nous allons nous attarder sur deux lois en
particulier
36
Démonstration

6
2
X
3

6
Il est parfois plus précis dutiliser cette loi.
Exemple
2,9993
3
mais
Attention
La loi nest vraie que si les indices des
radicaux sont les mêmes.
La loi ne sapplique pas.
37
Démonstration
2
4
2

2
Il est parfois plus précis dutiliser cette loi.
4,47
Exemple
2,004
2,23
mais
2
Attention
La loi nest vraie que si les indices des
radicaux sont les mêmes.
38
Calcule les expressions suivantes.
5
8
39
Calcule les expressions suivantes.
2 . x
2x
ou simplement
2x
2 . x
2x
2x
ou simplement
a X b
ab
40
Quelques défis
Donne la réponse en forme radicale.
Calcule la valeur de cette expression.
2
Simplifie lexpression.
x8 y-2
41
Réduis au maximum cette expression donne la
réponse en base 4 et en base 2.
et