Polygone und Polyeder

1
Polygone und Polyeder
2
Reguläre Polygone
Oktagon
Quadrat
Dreieck
Hexagon
Pentagon
3
120º
30º
30º
30º
4
(No Transcript)
5
108º
72º
54º
54º
54º
6
36º
36º
36º
108º
36º
72º
72º
7
36º
36º
36º
1
1
108º
y
1
36º
x
36º
72º
36º
8
A
1
1
B
E
y
F
1
x
D
C
Also .
Aber .
Dreieck ADF ist ähnlich Dreieck BCF.
9
A
1
1
B
E
y
F
1
x
D
C
10
Der Goldene Schnitt
1
x
1-x
11
Konstruktion von
2
1
12

• Pentagon
• Konstruiere das Goldene Dreieck
• Konstruiere das Pentagon

13
(No Transcript)
14
(No Transcript)
15
Welche regulären Polygone können mit Zirkel
und Lineal konstruiert werden?
The reguläre Septagon (Heptagon) kann nicht mit
Zirkel un Lineal konstruiert werden!
16
Platonische Körper
Reguläre Polyeder, welche konvex sind und
kongruente reguläre Polygone als Seitenflächen
haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich
viele Flächen zusammen.
Es gibt genau fünf Tetraeder, Cubus Hexaeder,
Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder
20
12
17
Beispiel
Oktaeder
Boot
konvex
nicht konvex
18
of a Fractal Nature
Photography by Gayla Chandler
http//www.public.asu.edu/starlite/
19
(No Transcript)
20
(No Transcript)
21
(No Transcript)
22
(No Transcript)
23
(No Transcript)
24
Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 1 Peripheriewinkel der Seitenflächen
Jede Seitenfläche ist ein reguläres Polygon
Partition des Polygons in n Dreiecke
Summe aller Winkel
Summe aller Winkel im Zentrum
Summe der Peripheriewinkel
Ein Peripheriewinkel
25
Warum fünf Platonische Körper?
Peripheriewinkel
Dreieck
Quadrat
Pentagon
Hexagon
Septagon
26
Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 2
An einem Eckpunkt muss die Summe der
Peripherie- winkel kleiner als sein
27
Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3
In einem Eckpunkt treffen mindestens 3
Seitenflächen zusammen.
Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als
sein .
Dreiecke
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Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3
In einem Eckpunkt treffen mindestens 3
Seitenflächen zusammen.
Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als
sein .
Quadrat
29
Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3
In einem Eckpunkt treffen mindestens 3
Seitenflächen zusammen.
Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als
sein .
Pentagon
30
Flächen, Kanten, Ecken,
Tetraeder
Flächen Kanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke
4 6 4 3 3
31
Flächen, Kanten, Ecken,
Hexaeder
Flächen Kanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke
6 12 8 4 3
32
Flächen, Kanten, Ecken,
Oktaeder
Flächen Kanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke
8 12 6 3 4
33
Flächen, Kanten, Ecken,
Ikosaeder
Flächen Kanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke
20 30 12 3 5
34
Flächen, Kanten, Ecken,
Dodekaeder
Flächen Kanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke
12 30 20 5 3
35
Flächen Kanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke
4 6 4 3 3
6 12 8 4 3
8 12 6 3 4
20 30 12 3 5
12 30 20 5 3
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Euler-Zahl
Flächen Kanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Kante
4 6 4 3 3
6 12 8 4 3
8 12 6 3 4
20 30 12 3 5
12 30 20 5 3
37
Duale Polyeder
Flächen Kanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke
4 6 4 3 3
6 12 8 4 3
8 12 6 3 4
20 30 12 3 5
12 30 20 5 3
38
Duale Polyeder
Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert
39
Duale Polyeder
Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert
40
Netze von Körpern
41
Netze von Körpern
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Netze von Körpern
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Netze von Körpern
44
Netze von Körpern
45
Netze von Körpern
46
Ein Netz aber verschiedene Körper
47
Ein Körper aber verschiedene Netze
48
Ein Körper aber verschiedene Netze
Platonischer Körper Zahl der Netze
Cubus 11
Dodekaeder 43380
Ikosaeder 43380
Oktaeder 11
Tetraeder 2
49
Welcher Körper ist das?
http//astronomy.swin.edu.au/pbourke/geometry/pol
ycuts/
50
Welcher Körper ist das?
http//astronomy.swin.edu.au/pbourke/geometry/pol
ycuts/
51
Welcher Körper ist das?
http//astronomy.swin.edu.au/pbourke/geometry/pol
ycuts/