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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA TEOREMAS DE THALES

•  PROFESORA GLADYS ZORRILLA

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OBJETIVOS

• 1) Identificar los teoremas de Thales en su forma
  particular y general.
• 2) Aplicar los teoremas de Thales en ejercicios
  prácticos y problemas de planteo.

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Una anécdota contada por Platón
THALES DE MILETO
Nació alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia
Menor (ahora Turquía). Era un hombre que se
destacó en varia áreas como comercio,
ingeniería, astronomía y geometría. Fue
considerado uno de los siete sabios de Grecia
Una noche Thales estaba observando el cielo y
tropezó. Un sirviente lo Levantó y le dijo cómo
pretendes entender lo que pasa en el cielo, si no
puedes ver lo que está a tus pies.
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Curiosidades.

• Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y
  la sombra de las pirámides, Thales midió, por
  semejanza, sus alturas respectivas. La
  proporcionalidad entre los segmentos que las
  rectas paralelas determinan en otras rectas dio
  lugar a lo que hoy se conoce como el teorema de
  Thales.

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Puesto que los rayos del Sol inciden
paralelamente sobre la Tierra, se pueda observar
que
Los triángulos rectángulos determinados por la
altura de la pirámide y su sombra y el
determinado por la altura del bastón y la suya
son semejantes
Pirámide
Podemos, por tanto, establecer la proporción
H
h

s
S
hS
H
De donde
s
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Aplicaciones de esta idea
Calcula la altura del siguiente edificio
Escribimos la proporción
y al resolverla tenemos
3 x 5 15
x 75 3
X 25 m
15 m
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1ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES Al cortar los
lados de un ángulo por dos paralelas, los
segmentos que intersecan los lados son
proporcionales.
HIPÓTESIS L1 // L2
TESIS
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EJEMPLO 1 En la figura L1 // L2 // L3 , T y
S transversales, calcula la medida del trazo x
Ejercitando lo aprendido.
Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo
al teorema de Thales
Es decir
x

Y resolvemos la proporción
24 x 8 15
X 8 15 24
X 5
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EJEMPLO 2 En la figura L1 // L2 // L3 , T y
S son transversales, calcula x y el trazo CD
Formamos la proporción

Resolvemos la proporción
3(x 1) 2(x 4)
3x 3 2x 8
3x - 2x 8 - 3
X5
Luego, como CD x 4
CD 5 4 9
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2DO TEOREMA PARTICULAR DE THALES Al cortar los
lados de un ángulo por dos paralelas, los
segmentos que se forman desde el vértice a los
puntos de intersección de las paralelas son
proporcionales entre sí.
HIPÓTESIS L1 // L2
TESIS
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• EJEMPLO 1 En el dibujo Si L1 // L2 // L3,
  entonces AC mide?.

Aplicando Thales, tenemos
D
A
X
3
E
B
5X-2
12
C
F
12

• EJEMPLO 2 En el dibujo Si L1 // L2 // L3,
  entonces el valor de x es?.

15x 60 x2 -4x 18x x2 -72 4x
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3ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES Al cortar los
lados de un ángulo por dos paralelas, éstas son
entre sí como los segmentos medidos desde las
paralelas al vértice.
HIPÓTESIS L1 // L2
TESIS
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• EJEMPLO En el dibujo Si L1 // L2 , entonces
  el valor de BC es?.

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Triángulos de Thales

• En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la
  misma razón  de semejanza 

De acuerdo a esto, en la figura BC// ED,
entonces, con los lados de los triángulos AED y
ABC ocurre
AE

O también
AE
AB

ED
BC
A esta forma de tomar los trazos, se le llama la
doble L
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EJEMPLO En el triángulo ABC, DE//BC . Calcule
x y el trazo AE
Por que x3x 2x3
Formamos la proporción
x3

12
8
Resolvemos la proporción
8(2x 3) 12( x 3)
16x 24 12x 36
16x 12x 36 24
4x 12
X 12 3 4
Por lo tanto, si AE x 3 3 3 6
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TEOREMA GENERAL DE THALES
"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas
por dos transversales, los segmentos de las
transversales determinados por las paralelas, son
proporcionales entre sí.

En el dibujo Si L1 // L2 // L3,// L4 , T y S
transversales, los segmentos a, b, c, d , e y f
son proporcionales
Es decir

c
f
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Aplicaciones del Teorema de Thales
HIPÓTESIS L1 // L2
TESIS
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Ejercitando lo aprendido.

• Ejemplo 1 En la siguiente figura L1//L2. Si BP
  6 cm., CP 4 cm., CD 3 cm., AB ?

X
6
4
3
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• Ejemplo 2 Para calcular el ancho de un río,
  Juana usó una cuerda de 30 metros como se ve en
  el dibujo, y midió la distancia d 6 metros y h
  4 metros. Cuál es el ancho del río?.

X
h
d
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Teorema de la bisectriz de un ángulo interior de
un triángulo
La bisectriz de un ángulo interior de un
triángulo divide al lado opuesto en dos
segmentos, cuyas medidas son proporcionales a la
de los lados del correspondiente ángulo del
triángulo.
C
?
a
b
b?
A
B
u
v
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Ejemplo 1 En un ?ABC, CD es bisectriz del ángulo
en C a 8 cm , b 20 cm y c 14 cm.
Calculemos u y v.
C
b
A
v
a
u
D
c
B
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Ejemplo 2 En un ?ABC con CD bisectriz del
ángulo ACB a 25 cm , b 35 cm y u 20
cm. Calcula v y c.
C
a
b
A
B
v
u
D
c
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Teorema de la bisectriz de un ángulo exterior de
un triángulo
La bisectriz de un ángulo exterior de un vértice
del triángulo divide exteriormente al lado
opuesto en la razón de los lados que forman el
ángulo interior adyacente.
C
?
b
a
A
D
B
u
c
v
v c u
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Ejemplo En un ?ABC, con CB bisectriz del
ángulo exterior en C a 6 cm , b 12 cm y
AB 8 cm. Calcula u.
C
b
a
A
D
B
u
v