Programacin dinmica

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Programación dinámica

• 5.1. Método general.
• 5.2. Análisis de tiempos de ejecución.
• 5.3. Ejemplos de aplicación.
• 5.3.1. Problema del cambio de monedas.
• 5.3.2. Problema de la mochila 0/1.
• 5.3.3. Multiplicación encadenada de matrices.

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Método general

• La programación dinámica se suele utilizar en
  problemas de optimización, donde una solución
  está formada por una serie de decisiones.
• Igual que la técnica divide y vencerás, resuelve
  el problema original combinando las soluciones
  para subproblemas más pequeños.
• Sin embargo, la programación dinámica no utiliza
  recursividad, sino que almacena los resultados de
  los subproblemas en una tabla, calculando primero
  las soluciones para los problemas pequeños.
• Con esto se pretende evitar la repetición de
  cálculos para problemas más pequeños.

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Método general

• Ejemplo. Cálculo de los números de Fibonacci.
• Con método recursivo
• Fibonacci (n integer)
• Si nlt2 Devolver 1
• Sino Devolver Fibonacci (n-1)
  Fibonacci (n-2)
• Problema Muchos cálculos están repetidos, tiempo
  de ejec. exponencial.
• Solución Calcular los valores de menor a mayor
  empezando por 0, e ir guardando los resultados en
  una tabla.
• Con programación dinámica.
• Fibonacci (n integer)
• T0 0 T1 1
• para i 2,3, ...,n
• Ti Ti-1 Ti-2
• Devolver Tn
• Se utiliza la misma fórmula que en la versión
  anterior, pero de forma más inteligente. El
  tiempo de ejecución es ?(n).

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Método general

• Los algoritmos divide y vencerás están dentro de
  los métodos descendentes.
• Empezar con el problema original y descomponer en
  pasos sucesivos en problemas de menor tamaño.
• Partiendo del problema grande, descendemos hacia
  problemas más sencillos.
• La programación dinámica, por el contrario, es un
  método ascendente
• Resolvemos primero los problemas pequeños
  (guardando las soluciones en una tabla) y después
  vamos combinando para resolver los problemas más
  grandes.

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Método general

• La programación dinámica se basa en el Principio
  de Optimalidad de Bellman cualquier subsecuencia
  de una secuencia óptima debe ser, a su vez, una
  secuencia óptima.
• Para cada problema deberíamos comprobar si es
  aplicable el principio de optimalidad.
• Ejemplo.
• 2 B 9
• A D
• 3 C 7
• Camino óptimo de A a D A-C-D, de longitud 10
• Camino óptimo de A al siguiente nivel A-B, de
  longitud 2, y después B-D de longitud 9. Total
  A-B-D, de longitud 11
• Cumple el Principio de Optimalidad?

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Método general

• Aspectos a definir en un algoritmo de
  programación dinámica
• Ecuación recurrente, para calcular la solución de
  los problemas grandes en función de los problemas
  más pequeños.
• Determinar los casos base.
• Definir las tablas utilizadas por el algoritmo, y
  cómo son rellenadas.
• Cómo se recompone la solución global a partir de
  los valores de las tablas.

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Análisis de tiempos de ejecución

• El tiempo de ejecución depende de las
  características concretas del problema a
  resolver.
• En general, será de la forma
• Tamaño de la tablaTiempo de rellenar cada
  elemento de la tabla.
• Un aspecto importante de los algoritmos de
  programación dinámica es que necesitan una tabla
  para almacenar los resultados parciales, que
  puede ocupar mucha memoria.
• Además, algunos de estos cálculos pueden ser
  innecesarios.

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Problema del cambio de monedas

• Problema Dado un conjunto de n tipos de monedas,
  cada una con valor ci, y dada una cantidad P,
  encontrar el número mínimo de monedas que tenemos
  que usar para obtener esa cantidad.
• El algoritmo voraz es muy eficiente, pero sólo
  funciona en un número limitado de casos.
• Utilizando programación dinámica
• Definimos el problema en función de problemas más
  pequeños.
• Determinar los valores de los casos base.
• Definimos las tablas necesarias para almacenar
  los resultados de los subproblemas.
• Establecemos una forma de rellenar las tablas y
  de obtener el resultado.

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Problema del cambio de monedas

• Definición de la ecuación recurrente
• Cambio (i, Q), el problema de calcular el número
  mínimo de monedas necesario para devolver una
  cantidad Q, usando los i primeros tipos de
  monedas (es decir los tipos 1...i).
• La solución de Cambio(i, Q) puede que utilice k
  monedas de tipo i o puede que no utilice ninguna.
• Si no usa ninguna moneda de ese tipo Cambio(i,
  Q) Cambio(i - 1, Q)
• Si usa k monedas de tipo i Cambio(i, Q)
  Cambio(i, Q kci) k
• En cualquier caso, el valor será el mínimo
• Cambio(i, Q) mink0,1,...,Q/ci Cambio(i-1,
  Q-k ci)k
• Casos base Cambio(i, Q)
• Si (i?0) ó (Qlt0) entonces no existe ninguna
  solución al problema, y Cambio(i, Q) ?.
• En otro caso para cualquier igt0, Cambio(i, 0) 0.

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Problema del cambio de monedas

• Definición de las tablas utilizadas
• Necesitamos almacenar los resultados de todos los
  subproblemas.
• El problema a resolver será Cambio (n, P).
• Por lo tanto, necesitamos una tabla de nxP, de
  enteros, que llamaremos D, siendo Di, j
  Cambio(i, j).
• Ejemplo. n 3, P 8, c (1, 4, 6)
• Forma de rellenar las tablas
• De arriba hacia abajo y de izquierda a derecha,
  aplicar la ecuación de recurrencia
• Di, j mink0,1,...,Q/ci D(i-1, Q-k
  ci)k

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Problema del cambio de monedas

• Algoritmo.
• Devolver-cambio (P int C array 1..n of int
  var D array 1..n, 0..P of int)
• para i 1,2,...,n
• Di, 0 0
• para i 1,2,...,n
• para j 1,2,...,P Tener en cuenta si
  el valor
• Di, j mink0,1,...,Q/ci D(i-1, Q-k
  ci)k cae fuera de la tabla
• Ejemplo. n 3, P 8, c (1, 4, 6)
• Cuál es el tiempo de ejecución del algoritmo?
• Cómo es en comparación con el algoritmo voraz?
• Dn, P número mínimo de monedas que hay que
  usar para devolver la cantidad P.

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Problema del cambio de monedas

• Cómo calcular cuántas monedas de cada tipo deben
  usarse, es decir la solución (x1, x2, ..., xn)?
• Se usa otra tabla de decisiones tomadas
• Aux
• Algoritmo para obtener una solución
• para in,n-1,...,1
• xiAuxi,P
• PP-xici
• Cuál es el tiempo de ejecución del algoritmo
  para obtener la solución?
• Es aplicable el principio de optimalidad?

0
1
2
3
4
5
6
7
8
C
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
C
4
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
C
6
0
0
0
0
0
0
1
1
0
3
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Problema de la mochila 0/1

• Igual que en el tema anterior, pero los objetos
  no se pueden fragmentar en trozos más pequeños.
• Problema Tenemos n objetos, cada uno con un peso
  (wi) y un beneficio (vi), y una mochila en la que
  podemos meter objetos, con una capacidad de peso
  máximo M. El objetivo es maximizar el beneficio
  de los objetos transportados, donde cada objeto
  se puede coger entero (xi1) o nada (xi0).
• Definición de la ecuación recurrente
• Sea Mochila (i, m) el problema de la mochila,
  considerando sólo los i primeros objetos (de los
  n originales) con una capacidad de peso m.
  Supondremos que devuelve el valor de beneficio
  total ? xava
• a1..i
• Podemos definir el problema de forma recurrente,
  en función de que se use o no el objeto i.

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Problema de la mochila 0/1

• Definición de la ecuación recurrente
• Si no se usa el objeto i Mochila (i, m)
  Mochila (i - 1, m)
• Si se usa Mochila (i, m) vi Mochila (i - 1,
  m - wi)
• Valor óptimo
• Mochila (i, m) max (Mochila (i-1, m), vi
  Mochila (i-1, m - wi))
• Casos base
• Si (ilt0) o (mlt0) entonces no hay solución
  Mochila (i, m) -?
• En otro caso, si (i0) ó (m0) la solución es no
  incluir ningún objeto Mochila (i, m) 0
• Definición de las tablas
• La solución del problema original será Mochila
  (n, M).
• Por lo tanto necesitamos una tabla V array
  0..n, 0..M of integer.
• Vi, j Beneficio máximo usando los i primeros
  objetos y peso j.

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Problema de la mochila 0/1

• Forma de rellenar las tablas
• Inicializar los casos base.
• Para todo i, desde 1 hasta n, y j desde 1 hasta
  M, aplicar la ecuación de recurrencia
• Vi, j max (Vi - 1, j , Vi - 1, j - wi
  vi)
• Si j es negativo, entonces Vi, j -?, y el
  máximo será el otro término.
• Ejemplo. n 3, M 6, w (2, 3, 4), v (1, 2, 5)
• Tiempo de ejecución ?(nM).

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Problema de la mochila 0/1

• Se puede tener una tabla auxiliar de 0/1 para
  almacenar las decisiones parciales y recomponer
  la solución, o
• A partir de la tabla V obtener la solución (x1,
  x2, ..., xn) partir de la posición Vn, M y
  analizar las decisiones que se tomaron para cada
  objeto i.
• Si (Vi, j Vi-1, j) entonces la solución no
  usa el objeto i, xi 0.
• Si (Vi, j Vi-1, j-wi vi) entonces sí se
  usa el objeto i, xi 1.
• Si (Vi, j Vi-1, j-wi vi) y (Vi, j
  Vi-1, j) entonces podemos usar el objeto i o no
  (existe más de una solución óptima).
• Acabar cuando lleguemos a un i0 ó j0.
• Cuál será el tiempo de recomponer la solución?
• Se cumple el principio de optimalidad?

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Multiplicación encadenada de matrices

• Supongamos que tenemos las matrices M1, M2, ...,
  Mn, que queremos multiplicar
• M M1 x M2 x ... x Mn
• Puesto que el producto es asociativo, habrá
  muchas formas de realizar las multiplicaciones.
  Cada colocación de los paréntesis indica un orden
  en el que se realizan las operaciones.
• Según el orden de las multiplicaciones, el número
  de total de multiplicaciones escalares necesarias
  puede variar considerablemente.
• Sea una matriz A de dimensión pxq y B de qxr,
  entonces el producto AxB requiere pqr
  multiplicaciones escalares (método clásico).

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Multiplicación encadenada de matrices

• Ejemplo. Sean las matrices A, B, C y D, de
  dimensiones A 13x5, B 5x89, C 89x3 y D 3x34.
  Podemos multiplicarlas de 5 formas
• ((AB)C)D Requiere 10.582 13589 13893
  13334
• (AB)(CD) 54.201
• (A(BC))D 2.856 5893 1353
  13334
• A((BC)D) 4.055
• A(B(CD)) 26.418
• Objetivo obtener un orden de multiplicación que
  minimice el número de multiplicaciones escalares.
• Solución sencilla estimar el número de
  multiplicaciones necesarias para todas las
  ordenaciones posibles. Quedarse con la que tenga
  menor valor.
• Cuál es el número de ordenaciones posibles, T(n)?

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Multiplicación encadenada de matrices

• Si n1 ó n2, T(n) 1.
• Si ngt2, entonces podemos realizar la primera
  multiplicación por n-1 sitios distintos (M1M2
  ... Mi)(Mi1Mi2... Mn)
• T(n) ? T(i)T(n-i)
• i1..n-1
• El valor de T(n) está en ?(4n/n2)
• Para cada ordenación necesita un tiempo de ?(n).
• Esta solución requeriría un tiempo con una cota
  inferior de ?(4n/n).
• Solución utilizando programación dinámica
• Definimos NMulti (i, j) el número mínimo de
  productos escalares necesarios para realizar la
  multiplicación entre la matriz i y la j (con i ?
  j), es decir Mi x Mi1 x ... x Mj
• Suponemos que las dimensiones se almacenan en un
  array d0..n, donde la matriz Mi será de
  dimensión di-1 x di.

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Multiplicación encadenada de matrices

• Casos base
• Si i j, entonces NMulti(i, j) 0. No
  necesitamos realizar ninguna operación.
• Si i j-1, entonces NMulti(i, j)
  di-1didi1. Sólo existe una forma de
  hacer el producto.
• Ecuación de recurrencia
• Si no se da ninguno de los casos anteriores,
  entonces podemos hacer la primera multiplicación
  por una posición k, con i?kltj
• (Mi x ... x Mk)x(Mk1 x ... X Mj)
• El resultado será el valor mínimo
• NMulti(i, j) min (NMulti(i, k) NMulti(k1,
  j) di-1dkdj)
• i?kltj
• Tablas usadas por el algoritmo
• El resultado será NMulti(1, n).
• Necesitamos una posición para cada i, j, con 1 ?
  i ? j ? n.

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Multiplicación encadenada de matrices

• Tablas usadas por el algoritmo.
• Sea M una matriz 1..n, 1..n de enteros. El
  algoritmo usará la mitad de la matriz.

• Forma de rellenar la tabla.
• Inicializar la matriz. Para todo i, desde 1 hasta
  n. Mi, i 0
• Aplicar la ecuación de recurrencia por
  diagonales.
• Mi, j min (Mi, k Mk1, j
  di-1dkdj)
• i?kltj
• Ejemplo. n 4, d (10, 20, 50, 1, 100)

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Multiplicación encadenada de matrices

• Cuál es el orden de complejidad de este
  algoritmo?
• En la posición M1, n tenemos almacenado el
  número mínimo de multiplicaciones escalares
  necesario (para la ordenación que es óptima).
  Necesitamos calcular cuál es esta ordenación
  óptima.
• Usar una matriz auxiliar Mejork 1..n, 1..n en
  la que se almacene el mejor valor de k encontrado
  en cada paso durante el cálculo de M (indica cuál
  fue el mínimo en cada celda).
• En el ejemplo anterior.