Value at Risk

1
Value at Risk
Gestión de Riesgos
Profesor Miguel Ángel Martín Mato
2
Distintos tipos de riesgo
Riesgo de reinversión
Riesgo decrédito
Riesgo de iliquidez
Riesgopaís
Riesgo de tipo de cambio
Riesgo operativo
Riesgo de mercado
3
Riesgo algunos aspectos por considerar

• Un problema esencial asociado al término es que
  no se cuenta con una definición única para
  riesgo. Se pueden obtener ventajas relativas al
  trabajar con distintas técnicas para implementar
  su medición.
• Del diccionario
• Contingencia o proximidad de un daño (un risco)
• El peligro o la posibilidad de sufrir pérdidas
• El monto que una compañía puede perder
• La variabilidad de los retornos de una inversión
• La posibilidad de no recibir el pago de una deuda
• Cada una de las contingencias que pueden ser
  objeto de un contrato de seguro

4
Visión intuitiva del riesgo de mercado

• Puntos por considerar
• La oscilación de las variables económicas clave.
• Cambios en el perfil de riesgo de una empresa, de
  un patrimonio o de una emisión particular.
• Valor de la diversificación de portafolio riesgo
  diversificable y riesgo no diversificable.
• Límites impuestos a la diversificación (legales o
  institucionales).
• Consecuencias
• Efectos directos e indirectos sobre el valor de
  los componentes de un portafolio.
• Efecto acumulado sobre el valor total del
  portafolio.

5
Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico

• Algunas medidas de riesgo simétrico
• Desviación estándar y varianza
• Desviación absoluta respecto a la media
• Algunas medidas de riesgo asimétrico
• Semidesviación estándar
• Probabilidades empíricas de pérdida
• Value-at-Risk

6
Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico
Distribución asimétrica hacia ganancias
Resultado esperado
Distribución asimétrica hacia pérdidas
7
Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico

• Ambas tienen el mismo riesgo simétrico
• Los indicadores asimétricos identifican la
  segunda distribución de resultados como más
  riesgosa que la primera

Distribución asimétrica hacia ganancias
Resultado esperado
Distribución asimétrica hacia pérdidas
8
Definición del Value-at-Risk

• Presupuestos
• Es posible reunir información representativa
  sobre los posibles resultados de una inversión en
  el corto plazo.
• Datos históricos o supuestos expertos
• Esta información permite describir el futuro
  (comportamiento estable)
• Tres elementos distintivos de la definición
• El Value-at-Risk incorpora

Horizonte deinversión
Significancia estadística
Criterio asimétrico
9
Definición del Value-at-Risk

• Definición
• Es la máxima pérdida esperada
• dentro de un horizonte de inversión de n días
• con una probabilidad de error de a

Horizonte deinversión
Significancia estadística
Criterio asimétrico
10
Qué es Value at Risk (VaR)

• El VaR resume la pérdida máxima esperada (o peor
  pérdida) a lo largo de un horizonte de tiempo
  objetivo dentro de un intervalo de confianza
  dado.
• El cálculo del VaR está dirigido a elaborar un
  reporte de la siguiente forma
• Se tiene una certeza de X de que no se perderá
  más de V dólares en los siguientes N días
• V es el VaR de N -días para un nivel de
  confianza de X
• Según la propuesta del Comité de Basilea el
  intervalo de confianza ideal es de 99 (1 de
  probabilidad, -2.33 desviaciones) y
• según la metodología de RiskMetrics es de un 95
  (5 de probabilidad y -1.65 desviaciones).

11
Metodologías VaR alternativas

• Las similitudes
• Los tres métodos buscan estimar un valor crítico
  para las pérdidas potenciales.
• Las diferencias
• Cada método realiza distintos supuestos acerca de
  qué valores son representativos sobre las futuras
  pérdidas potenciales y cómo éstas se distribuyen
  estadísticamente.

Método Analítico(Delta Normal)
Método Montecarlo(Simulaciones)
Método Histórico(Histogramas)
12
Metodologías VaR alternativas
Método Analítico(Delta Normal)
Método Montecarlo(Simulaciones)
Método Histórico(Histogramas)
13
VaR Analítico - Delta Normal

• Supuestos
• El supuesto clave es que es posible conocer la
  función de distribución de rendimientos (futuros)
  de la inversión o paquete de inversiones que se
  plantea manejar.
• Se asume que la distribución es normal (y, por
  ello, simétrica), con media y varianza conocidas.
• Sin embargo
• Es realmente normal?
• Problemas de estabilidad de medias y varianzas
• De dónde procede la información sobre media y
  varianza?
• Y los momentos superiores?
• A partir de los supuestos sobre la distribución,
  es posible calcular directamente el percentil de
  riesgo apropiado.

14
VaR Analítico - Delta Normal
Probabilidad deocurrencia
0
1
0
2
-1
-2
Posibles valores de la variable aleatoria
15
VaR Analítico - Delta Normal
Probabilidad deocurrencia
Posibles valores de la variable aleatoria
0
µ 1s
µ
µ 2s
µ-1s
µ -2s
µ -3s
µ 3s
68.26
95.44
99.74
16
VaR Analítico - Delta Normal
Probabilidad deocurrencia
5
90
5
Posibles valores de la variable aleatoria

• Con una probabilidad de 95 en una cola
• DISTR.NORM.ESTAND.INV(5) -1.6448
• Valor crítico 1.6448 Desviaciones estándar

17
VaR Analítico - Delta Normal

• Generalización
• Si llevamos esta generalidad a una distribución
  normal N(m,s) tendríamos que normalizar para
  calcular qué valor de x se superará con una
  probabilidad de 5.

18
VaR Analítico - Delta Normal

• Los dos componentes la media y la volatilidad
• La media (µ) de los rendimientos suele calcularse
  como el promedio aritmético de las rentabilidades
  observadas en el corto plazo. Distinguir la
  diferencia entre media aritmética y geométrica en
  este caso.
• La volatilidad (s) de los rendimientos se
  aproxima utilizando la desviación estándar de las
  rentabilidades observadas en el corto plazo.
• Conversión de plazos
• Es común (aunque no recomendable) convertir los
  rendimientos y volatilidades de un día en sus
  correspondientes anuales del siguiente modo

19
VaR Analítico - Delta Normal

• Período de anulación de riesgo
• El periodo de Anulación de Riesgo (Defeasance
  Period), es el horizonte de tiempo elegido al
  cual se hará referencia para el cálculo de la
  medida de riesgo.
• Las medidas de riesgo vendrán referenciadas en
  función de ese horizonte temporal.
• Rendimiento
• Volatilidad

20
VaR Analítico - Delta Normal

• El intervalo de confianza
• Según la propuesta del Comité de Basilea1 el
  intervalo de confianza ideal es de 99 (1 de
  probabilidad, -2.33 desviaciones estándar) a 10
  días.
• Según la metodología de RiskMetrics2 es de un
  95 (5 de probabilidad y -1.65 desviaciones
  estándar) a 1 día.
• 1 Banco de Pagos Internacionales, Amendment to
  the Capital Accord to Incorporate Markets Risk,
  Comité de Basilea, Basilea, Suiza, Enero de 1996.
• 2 Riskmetrics Technical Document JP Morgan
  1996

21
(No Transcript)
22
Dow Jones desde enero de 1997 hasta marzo del 2001
23
Data-gt 1302 díasMean -gt 0.000553448
StandardDeviation -gt 0.0112249 Kurtosis -gt
6.78236Skewness -gt -0.489853
24
Asunción de Normalidad
Data-gt 252 días Mean -gt -0.0000567592 Skewness -gt
-0.101167 Kurtosis -gt 3.557397 StandardDeviation
-gt 0.0109072
25
(No Transcript)
26
Metodologías VaR alternativas
Método Analítico(Delta Normal)
Método Montecarlo(Simulaciones)
Método Histórico(Histogramas)
27
VaR Montecarlo

• Supuestos
• El supuesto clave es que es posible conocer la
  función de distribución de rendimientos (futuros)
  de la inversión o paquete de inversiones que se
  plantea manejar.
• Se asume que la distribución es una distribución
  conocida (no necesariamente normal o simétrica).
• Para ello es posible utilizar algún procedimiento
  de ajuste o bootstrapping.
• Sin embargo
• Es necesario que una serie de rendimientos se
  distribuya siguiendo un patrón conocido?
• Problemas de estabilidad de parámetros

28
VaR Montecarlo

• Procedimiento
• A partir de los supuestos sobre las
  distribuciones y sus covarianzas, es posible
  generar numerosos rendimientos futuros
  hipotéticos.
• Mediante la combinación de dichos retornos, se
  puede estimar resultados alternativos del
  portafolio y formar así un histograma empírico.
• Finalmente, a partir de este histograma, se puede
  estimar el percentil de riesgo apropiado.
• En síntesis
• Se asume que las distribuciones son conocidas y
  se generan numerosos mundos imaginarios que
  siguen estas distribuciones.
• El VaR se calcula comparando dichos escenarios
  simulados.

29
Movimiento Browmiano
30
(No Transcript)
31
Simulación de Montecarlo

• 1) Selección un proceso estocástico y sus
  parámetros.
• 2) Elección de la amplitud de periodo u horizonte
  de tiempo.
• 3) Selección de la serie de variables aleatorias.
• 4) Cálculo del pronóstico al final del horizonte
  temporal.
• 5) Creación de numerosos caminos aleatorios y de
  sus precios finales.
• 6) Cálculo de la distribución de los precios
  finales
• 7) Cálculo del VaR
• 8) Simulación con un mayor número de caminos
  aleatorios.

32
Selección de la serie de variables aleatorias 10
pasos

• 7715.4, 7747.79, 7838.4, 7945.7, 8071., 8061.95,
  7968.63, 7996.51, 8014.19, 8008.27, 8225.35

33
Simulación 50 pasos

• 8231.28, 8326.23, 7752.63, 7515.54, 7692.93,
  7722.12, 7406.46, 8215.77,7733.26, 7708.26,
  7667.66, 7987.14, 7659.5, 7724.84, 7505.23,
  7607.72, 7960.08, 7215.38, 7663.24, 7633.67,
  7740.72, 7823.22, 7952.66, 7272.22, 7703.3,
  8171.57, 7435.34, 7850.22, 7851.2, 7836.13,
  7618.75, 7606.02, 7762.65, 7480.32, 8018.9,
  7843.87, 7689.99, 7695.14, 7600.88, 7699.05,
  7423.71, 7759.96, 8210.56, 7269.68, 7564.04,
  7829.16, 7473.52, 7795.48, 8258.2, 7581.22

34
200 caminos
35
500 caminos
36
Histograma 200
Mean -gt 7707.1, StandardDeviation -gt 256.394,
Skewness -gt 0.0282609, Kurtosis -gt 2.80355

• VaR 7094 - 7703.24-609.24 puntos de indice

37
Histograma500

• VaR7107.14 - 7707.1-599.96 puntos de índice

38
Metodologías VaR alternativas
Método Analítico(Delta Normal)
Método Montecarlo(Simulaciones)
Método Histórico(Histogramas)
39
VaR Histórico

• Supuestos
• A diferencia de los dos primeros métodos, este
  enfoque no realiza supuestos sobre la manera de
  suavizar la distribución de los retornos.
• Se mantiene el supuesto previo de que el
  comportamiento pasado es representativo del
  futuro cercano.
• Procedimiento
• Se utiliza el propio histograma empírico de los
  retornos históricos para calcular el nivel de
  pérdidas crítico.
• Notar que los patrones de covarianza entre
  variables se incorporan directamente en el
  procedimiento.

40
VaR Histórico Síntesis del proceso
Variables actuales
Cambios históricos
Valores posibles
Tasas de interés
Tasas de interés
Tasas de interés
Tipos de cambio
Tipos de cambio
Tipos de cambio


Spreads de riesgo
Spreads de riesgo
Spreads de riesgo
Índices bursátiles
Índices bursátiles
Índices bursátiles
Histograma de valoresposibles
Valoración del portafolio
41
Qué hay más allá del Value-at-Risk? Conditional
Value at Risk
42
Por qué el VaR no es suficiente?

• Los trabajos de Artzner y Delbaen (1997),
  demuestran que el VaR tiene características
  indeseables
• Falta de subaditividad
• Falta de convexidad
• Por ello, de modo agregado se dice que el VaR no
  es una medida coherente de riesgo.
• El VaR únicamente es coherente cuando está basado
  en distribuciones continuas normalizadas (ya que
  para una distribución normal el VaR es
  proporcional a la desviación estándar).

43
Qué es el CVaR?

• Definición
• El Conditional-Value-at-Risk (CVaR) a un nivel de
  confianza dado es la pérdida esperada entre las
  pérdidas que son mayores que el VaR.
• Dicho de otra forma, es la pérdida esperada que
  es más grande o igual que el VaR.
• Uryasev S., y Rockafellar, R.T 2000
• Implicancias
• Es un promedio de las pérdidas que exceden el
  VaR.
• Va a ser un indicador que no sólo tiene en cuenta
  el VaR sino también las pérdidas extremas de la
  distribución.

44
Acción de Yahoo
45
Acción de Yahoo (Variantes)
46
Resumen de las ventajas del CVaR

• El CVAR calcula riesgos más allá del VAR lo que
  la hace una medida más conservadora, puesto que
  por definición así lo exige, por lo que el CVAR
  domina al VAR.
• El CVAR tiene la propiedad de ser una función
  siempre convexa respecto a las posiciones lo que
  permite la optimización en la posición de una
  cartera.
• El CVAR es continuo respecto al nivel de
  confianza.
• Es consistente con la aproximación de mínima
  varianza, ya que la cartera de mínima varianza es
  la que minimiza también el CVAR.

47
Sol Meliá
Telefónica
BSCH
486 observaciones
48
Carteras de dos acciones - Telefónica y BSCH
CVaR
VaR
Valor del portafolio
Telefónica
Evolución del VaR y del CVaR en función a la
proporción invertida en Telefónica (w1) para un
nivel de confianza del 95 y un horizonte
temporal de un día.
61.22 Telefónica 38.78 BSCH CVaR -gt
5.190
49
El VaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica
y BSCH
VaR
Sol Meliá
Telefónica
Sol Meliá
Evolución del VaR en función a la proporciones
invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y
BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del
95 y un horizonte temporal de un día.
50
El CVaR para tres acciones - Sol Meliá,
Telefónica y BSCH
CVaR
Sol Meliá
Telefónica
Sol Meliá
Evolución del CVaR en función a la proporciones
invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y
BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del
95 y un horizonte temporal de un día.
48.94 Sol Meliá 46.03 Telefónica 5.03
BSCH CVaR -gt 4.530
51
CVaR Histórico (1)
52
CVaR Histórico (2)
53
CVaR Histórico (3)
54
CVaR Histórico (4)
55
Descomposición del Value at Risk
56
Descomposición del VaR (1)
VaR
Incremental VaR
Marginal VaR
Portfolio VaR
Posición en un activo
100
57
Descomposición del VaR (2)

• Beta VaR
• Busca repartir el riesgo total entre cada una de
  las inversiones individuales, usando como
  coeficiente el índice beta entre el rendimiento
  del activo individual y el rendimiento de la
  cartera en su totalidad.

58
VaR No diversificado

• El VaR Histórico de la cartera
• Es el percentil a del vector Rj. Sea V la
  posición en el vector Rj en la que se localiza
  el escenario VaR (por lo tanto VaR RV).
• El VaR Diversificado de cada activo k será
  RV,k.
• El VaR No Diversificado de cada activo k será
  el percentil a del vector Rj,k.

59
Descomposición VaR por factor de riesgo

• El análisis Risk factor decomposition permite
  examinar el impacto aislado de los factores de
  riesgo de mercado sobre las pérdidas máximas
  esperadas de cada activo. Los tres factores de
  mercado considerados son
• Riesgo de tipo de cambio. Incluye los efectos de
  todos los tipos de cambio entre la moneda base y
  otras monedas.
• Riesgo de tasa de interés. Incluye todos los
  segmentos de las curvas de tasa de interés
  relevantes para todos los activos de renta fija y
  derivados.
• Riesgo bursátil. Incluye los precios de acciones
  e índices, pudiendo afectar a acciones, opciones
  sobre acciones e instrumentos de renta fija
  indexados.

60
Descomposición VaR por factor de riesgo

• La descomposición por factor de riesgo se realiza
  asumiendo, para cada factor, los cambios del
  escenario crítico que da lugar al VaR de la
  cartera (es decir, el escenario histórico que se
  halla en el percentil crítico), manteniendo el
  resto de factores de riesgo constantes.
• Por ejemplo, se evalúa únicamente el impacto de
  los cambios críticos en los tipos de cambio sobre
  el valor de la posición de cada activo de la
  cartera, manteniendo el resto de factores de
  riesgo constantes.

61
Contribution VaR

• El Contribution VaR constituye una descomposición
  que permite medir la participación de cada activo
  como parte del total de pérdidas de cartera que
  superan al VaR.
• se define como la proporción de pérdidas que
  igualan o exceden el VaR atribuible a cada
  activo.
• En otros términos, indica qué porcentaje de las
  pérdidas extremas totales que podrían superar el
  VaR se deben a cada activo.

62
Contribution VaR
63
VaR Marginal

• El VaR Marginal expresa el cambio esperado en el
  valor del VaR de la cartera ante pequeñas
  variaciones en la posición de un activo.
• Método Histórico
• Implica revalorar la cartera teniendo en cuenta
  la nueva posición en el activo
• Método paramétrico
• Emplea la derivada de la función VaR.
• Un VaR Marginal negativo
• indicaría que cada unidad adicional invertida en
  el activo incrementará la pérdida VaR esperada en
  la magnitud del VaR Marginal. Puede afirmarse
  también que una reducción de la posición en una
  unidad monetaria reduciría la pérdida esperada en
  dicha magnitud.

64
VaR Marginal

• El VaR Marginal (en unidades monetarias) se
  define como

65
VaR Incremental

• Es el cambio que se produciría en el VaR como
  resultado de la liquidación completa de la
  posición en un activo determinado.
• Las dos principales diferencias con el VaR
  Marginal son que
• La recomposición en la cartera puede corresponder
  en algunos casos a posiciones significativas.
• Los resultados numéricos no son directamente
  comparables entre sí, sino que deben analizarse a
  la luz las posiciones absolutas iniciales en cada
  activo.

66
VaR Incremental
67
Aplicación del Value at Risk 7 lecciones
importantes
68
Primera lecciónG.I.G.O. (Garbage in garbage out)

• Aspectos por considerar
• Cuidado con la forma de calcular rendimientos
• Un VaR a n días debería ser calculado
  utilizando rendimientos a n días. No es lo
  mismo calcular un retorno a 1 día y reexpresarlo
  utilizando el principio de las potencias.
• Cuidado con las eliminaciones de datos
• Al emplear el análisis histórico, debe cuidarse
  que todas las variables consideradas utilicen las
  mismas fechas de datos.
• Si se encuentran vacíos, es necesario reexpresar
  los retornos para que todos se encuentren en la
  misma base de tiempo

69
Segunda lecciónUsar el método más robusto

• En un mercado ilíquido y poco profundo, se
  presentan
• Discontinuidades en los rendimientos
• Colas anchas (incertidumbre producida por casos
  extremos)
• Histogramas caprichosos
• Siempre que sea posible, conviene utilizar el
  método histórico para procesar la información.
• Considerar que también existen mecanismos de
  análisis de riesgo más robustos que el VaR
• CVaR
• BetaVaR
• IncrementalVaR

70
Tercera lecciónIdentificar claramente los
factores de mercado

• A qué factores de riesgo está expuesto el valor
  de la cartera?
• Tasas de interés
• Es plana la curva de retornos?
• Se desplaza paralelamente o puede girar?
• Son constantes los spreads de riesgo por
  categoría?
• Tipos de cambio
• En qué moneda se busca preservar el valor?
• Índices bursátiles
• Es posible asociar el retorno de activos
  individuales a índices sectoriales, selectivos o
  generales?

71
Cuarta lección Reconocer que habrá información
faltante

• e implementar soluciones consistentes
• Qué hacer con los activos que no tienen precios
  de mercado?
• Renta fija valoración teórica cuidadosa
• Renta variable uso cuidadoso de índices y
  sensibilidades
• Alternativa integral usar el vector de precios
• Qué hacer con las tasas de interés?
• Es necesario construir curvas de retornos para
  los distintos tipos de inversiones (nacionales,
  soberanas, internacionales).
• Observar la necesidad de realizar interpolaciones
  y evitar los andenes.

72
Quinta lección Integrar el análisis de riesgo
en la plataforma operativa

• El análisis VaR debe ser permanente
• Idealmente, la institución debería poder contar
  con la información actualizada diariamente.
• Esto implica un reto a nivel del flujo de datos
  precisos sobre posiciones y cotizaciones de
  instrumentos.
• El considerable volumen de datos involucrados
  introduce el riesgo de errores humanos.
• Debe buscarse incorporar la generación de
  reportes de riesgo de modo automatizado.

73
Sexta lección Calibrar el sistema a las
necesidades de la empresa

• Utilizar el VaR ajustado a la media y el VaR
  relativo
• Cuánto se desvía la pérdida máxima del nivel
  esperado?
• Cuánto representa la pérdida como proporción de
  la cartera?
• Imponer límites a la exposición de riesgo
• Definir un sistema de alertas en función de las
  pérdidas relativas proyectadas.
• Poner a prueba su eficacia
• Utilizar procedimientos de back-testing para
  corroborar la capacidad predictiva del sistema y
  realizar los ajustes necesarios.

74
Sétima lección Distinguir el propósito de
reporte normativo y el propósito de gestión de
riesgo

• Los reportes solicitados por la Superintendencia
  de Banca pueden ser útiles con fines
  regulatorios, pero no necesariamente ofrecen la
  mejor evidencia para dirigir la empresa.
• Puntos por considerar
• Definir claramente el ámbito de la cartera
  sujeta a riesgo.
• Acercarse a los usuarios finales de los reportes
  de riesgo. Explorar la demanda de información.
• Capacitar a los potenciales usuarios. Permitir
  decisiones informadas.
• Un mismo reporte no es para todos.
• Explicitar las funciones objetivo de cada área
  y cada funcionario.
• Incorporar en la cadena a personal especializado.
• No perder de vista Qué hay más allá del VaR?

75
Método analítico

• V vector de flujos
• Wvector de proporciones

76
VaR Incremental

• El VaR incremental tiene por objeto calcular
  cuál es el VaR que aporta cada FM al VaR total de
  la cartera.
• Mide cual es la contribución al riesgo de un
  activo al portafolio de la cartera

77
VaR Incremental
78
Análisis Empírico Medidas Clásicas vs. Medidas
Modernas
79
Características de los Bonos
Tabla 20.1 Características de los Bonos
80
Estadísticos y gráficos de la evolución de los
rendimientos SERIE 2000-2003 SERIE
1993-1997 Fuente Reserva federal
81
Medidas Clásicas de Gestión
Tabla 20.4 Medidas Clásicas de los bonos
82
CAMBIOS PARALELOS La cartera con mayor convexidad
es la Cartera 6 (con 71.427). Le sigue la
Cartera 3 (con 71.373 de convexidad).
CAMBIOS NO PARALELOS La Cartera 19 y la Cartera
20 serían las mejores ya que la Cartera 19
minimiza el M-2 y la Cartera 20 minimiza el Ñ.
Tabla 20.5 Medidas clásicas de las carteras
83
Asumiendo Normalidad
Principales Carteras 1993-1997
Principales Carteras 2000-2003
84
Distribuciones Reales
VaR y CVaR de las Principales Carteras 1993-1997
VaR y CVaR de las Principales Carteras 2000-2003
85
OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR
(INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 1993-1997
CARTERA 1 W1 40.35 W9 59.65 CVaR
5.824 Dm 4.045 Cnx 26.749 M2 5.28
CARTERA 4 W2 34.932 W9 65.058 CVaR
6.250 Dm 4.322 Cnx 29.048 M2 5.286
CARTERA 2 W1 45.495 W10 54.505 CVaR
5.393 Dm 4.941 Cnx 43.157 M2 18.014
CARTERA 5 W2 43.04 W10 56.96 CVaR
5.819 Dm 5.118 Cnx 45.038 M2 18.014
CARTERA 3 W1 40.059 W11 56.941 CVaR
5.443 Dm 7.366 Cnx 112.407 M2 99.303
CARTERA 6 W1 41.42 W9 58.58 CVaR
5.869 Dm 7.548 Cnx 115.603 M2 99.30
86
OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR
(INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 2000-2003
CARTERA 1 W1 33.99 W9 66.01 CVaR
10.386 Dm 4.373 Cvx 29.447 M2 9.013
CARTERA 4 W2 33.92 W9 57.08 CVaR
10.707 Dm 4.374 Cvx 29.476 M2 4.374
CARTERA 2 W1 32.52 W10 67.48 CVaR
10.302 Dm 5.886 Cvx 17.443 M2 17.443
CARTERA 5 W2 32.51 W10 68.49 CVaR
10.638 Dm 5.885 Cvx 53.094 M2 17.456
CARTERA 3 W1 32.17 W11 67.83 CVaR
9.934 Dm 8.589 Cvx 133.629 M2 72.589
CARTERA 6 W1 40.52 W9 59.48 CVaR
10.238 Dm 7.649 Cvx 117.350 M2 65.667