BAB 2 INTEGRAL LIPAT

1
BAB 2 INTEGRAL LIPAT
2
2.1 Integral Lipat Dua pada Persegi Panjang
Telaah Ulang Integral Tentu
Misalkan f terdefinisi pada selang a,b.
Bagi a,b menjadi
n selang bagian xi-1, xi dengan lebar ?x
(b a)/n dan
pilih titik sampel
Bentuk jumlah Riemann
3
maka integral tentu f dari a ke b diberikan oleh
jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai
jumlah luas persegi panjang dalam Gambar 1, dan
menyatakan luas daerah di bawah kurva y f(x)
dari a ke b.
4
0
a
Gambar 1
5
Volume dan Integral Lipat Dua
Misalkan f fungsi dua peubah pada segiempat
tertutup
Misal
grafik f adalah permukaan z f(x,y).
Misalkan S adalah benda padat yang terletak di
atas R dan
di bawah grafik f, yaitu
Bagaimana mencari volume S ?
6
z
z f(x,y)
o
a
c
b
d
R
y
x
Gambar 2
7
Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi
beberapa segiempat bagian.
Bagi interval a,b menjadi m
interval xi-1, xi dengan lebar ?x (b a)/m,
dan bagi c,d
menjadi n interval yj-1, yj dengan lebar ?y
(d c)/n.
Buat garis-garis sejajar sumbu koordinat melalui
titik ujung
interval bagian ini, sehingga terbentuk segiempat
bagian
masing-masing dengan luas ?A ?x ?y.
8
y
Rij
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
yj
?
?
?y
?
?
?
?
?
?
?
?
yj-1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
c
a
x1
x2
xi-1
xi
b
0
x
?x
Gambar 3
9
Jika dipilih titik sampel
dalam setiap Rij, maka
bagian S yang terletak di atas Rij dihampiri oleh
kotak segi-
empat dengan alas Rij dan tinggi
Volume kotak
ini adalah
Jika prosedur ini dilakukan atas semua segiempat
dan
menambahkan volume kotak yang berkaitan, diperoleh
hampiran terhadap volume total S
1
10
z
o
a
c
b
d
x
y
Gambar 4
11
Hampiran dalam (1) akan menjadi lebih baik jika m
dan n
besar, sehinga diharapkan
2
Persamaan 2 didefinisikan sebagai volume benda
padat
S yang terletak di bawah grafik f dan di atas
segiempat R.
12
Definisi 3
Integral lipat-dua dari f pada segiempat R
adalah
jika limit ini ada.
Jika f kontinu, maka integral-lipat dua ada.
13
Jika
maka volume V dari benda padat yang
terletak di atas segiempat R dan di bawah
permukaan
z f(x,y) adalah
14
CONTOH 1
Taksirlah volume benda padat yang terletak di
atas bujur
dan di bawah paraboloida elips
sangkar
Bagilah R menjadi empat bujur sangkar
yang sama dan pilih titik sampel berupa pojok
kanan atas
dari setiap bujur sangkar Rij.
15
PENYELESAIAN
Perhatikan bujur sangkar berikut
y
(2,2)
(1,2)
2
R12
R22
1
(2,1)
(1,1)
R11
R21
0
1
2
x
Gambar 5
16
Paraboloida adalah grafik dari
dan
luas setiap bujur sangkar adalah 1. Dengan
menghampiri
volume menggunakan jumlah Riemann untuk m n
2,
diperoleh
17
CONTOH 2
Jika
hitunglah integral
PENYELESAIAN
Karena
integral dapat ditafsirkan sebagai volume
Jika
maka
dan
sehingga integral
lipat-dua yang diberikan menyatakan volume benda
padat
18
S yang terletak di bawah silinder lingkaran
dan
di atas segiempat R.
Volume S adalah luas setengah
lingkaran dengan jari-jari 1 kali panjang
silinder.
Jadi
19
Aturan Titik-Tengah
Aturan Titik-Tengah untuk integral Lipat-Dua
dengan
titik-tengah
dan
titik-tengah
20
CONTOH 3
Gunakan Aturan Titik-Tengah dengan m n 2 untuk
menaksir nilai integral
dengan
PENYELESAIAN
Dengan Aturan Titik-tengah untuk m n 2,
dihitung
21
di pusat-pusat empat segiempat bagian.
y
(2,2)
2
3/2
1
0
1
2
x
Gambar 6
Sehingga
dan
Luas setiap
22
segiempat bagian adalah ?A ½.
Jadi,
Jadi,
23
Nilai Rata-rata
Nilai rata-rata fungsi dua peubah f pada
segiempat R
dengan A(R) adalah luas R.
24
Sifat Integral Lipat-Dua