PENGGUNAAN INTEGRAL

1
PENGGUNAAN INTEGRAL

• Disampaikan Oleh
• Agus Sudiana, S.Pd

2
MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN
Penggunaan Integral
Penggunaan Integral
Matematika SMA/MA Kelas XII IPA Semester
1 Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi
(KBK)
3
Nama KASTOLAN, S.Pd.
Tempat Lahir Lamongan, 20 April 1970
Nama Sekolah MAN INSAN CENDEKIA SERPONG
Alamat Rumah Jl. Cendekia BSD sektor XI Serpong Tangerang Banten 15310 HP 08128404280 E-mail Mathkast_at_yahoo.com
Alamat Sekolah Jl. Cendekia BSD sektor XI Serpong Tangerang Banten 15310 Telp. [phone] Fax. [phone]
Jabatan Guru Matematika
4
(No Transcript)
5
Abdul Karim, dkk, Geometri Lingkaran, Semarang,
2005 Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri
Analitis Jilid 1, Erlangga, Jakarta
1996 Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA
Kelas XII Program IPA Jilid 3A,
Yudhistira, Jakarta 2005 _______, Kurikulum
Berbasis Kompetensi (KBK) Tahun 2004,
Depdiknas, Jakarta 2004 ________, Microsoft
Encarta Encyclopedia ________, Tutorial Maple
9.5 ________, Kitaro ________, Bersyukur -
Opick www. mathdemos.gcsu.edu www.
curvebank.calstatela.edu www. clem.mscd.edu www.ma
thlearning.net
6
Media Presentasi Pembelajaran ini disusun
untuk membantu guru dalam pembelajaran
penggunaan integral untuk menghitung luas daerah
dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah
diawali dari luas sebagai limit jumlah,
dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri
penggunaan integral tentu untuk menghitung luas
daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari
bentuk partisi setelah diputar yang meliputi
bentuk cakram, cincin, dan kulit tabung.
Agar dapat memahami keseluruhan materi, maka
pembahasan harus dilakukan secara berurutan
dimulai dari kompetensi, pendahuluan, luas
daerah, dan volume benda putar. Di akhir kegiatan
diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam
penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal
latihan untuk menambah pemahaman konsep dan
melatih keterampilan siswa. Untuk beberapa
slide guru perlu menekan tombol klik kiri agar
prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut
berjalan secara berurutan.
7
Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka
pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan
tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68
km/jam.
8
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas
membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan
dalam pokok bahasan menghitung luas daerah
dengan menggunakan integral.
9
Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai
benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut
garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan
dipelajari juga penggunaan integral untuk
menghitung volume benda putar.
10
Menentukan luas daerah dengan limit jumlah dapat
diilustrasikan oleh gambar di samping. Langkah
utama yang dilakukan adalah memartisi,
mengaproksimasi, menjumlahkan, dan menghitung
limitnya.
1/19
11

• Langkah menghitung luas daerah dengan limit
  jumlah adalah
• Bagilah interval menjadi selang yang sama
  panjang.
• Partisilah daerah tersebut.
• Masing-masing partisi buatlah persegi panjang.
• Perhatikan persegi panjang pada interval xi-1
  , xi.

xi
2/19
12

• Langkah menghitung luas daerah ( lanjutan )
• Tentukan luas persegi panjang ke-i (Li)
• Jumlahkah luas semua persegi panjang
• Hitung nilai limit jumlahnya

Luas sebuah persegi panjang Li f(xi) ?x
Jumlah luas persegi panjang L ? ? f(xi) ?x
Limit jumlah L lim ? f(xi) ?x ( n ? 8 )
3/19
13
Contoh 1.
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y
x2, sumbu X, dan garis x 3 dengan menggunakan
cara limit jumlah.

• Langkah penyelesaian
• Bagilah interval 0, 3 menjadi n buah selang
  yang sama panjang yaitu 3/n.
• Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang
  luar.
• Tentukan ukuran persegi panjang pada interval
  xi , xi1 dan hitunglah luasnya.
• x0 0
• x1 3/n
• x2 (3/n) 2 6/n
• Jadi xi 3i/n dan xi 1 3(i 1)/n

4/19
14

1. Jumlahkan luas semua partisi

1. Tentukan limitnya

Jadi luas daerah 9 satuan
5/19
15
Perhatikan gambar di bawah ini!
6/19
16
7/19
17
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas
dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah
kurva y f(x) pada interval a, b.
Jumlah Luas Partisi
8/19
18

• Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah
  dengan integral tentu adalah
• Gambar daerahnya.
• Partisi daerahnya
• Aproksimasi luas sebuah partisi Li ? f(xi) ?xi
• Jumlahkan luas partisi
• L ? ? f(xi) ?xi
• 5. Ambil limitnya L lim ? f(xi) ?xi
• 6. Nyatakan dalam integral

Li
xi
a
9/19
19

• Langkah penyelesaian
• Gambarlah daerahnya
• Partisi daerahnya
• Aproksimasi luasnya Li ? xi2 ?xi
• 4. Jumlahkan luasnya L ? ? xi2 ?xi
• Ambil limit jumlah luasnya
• L lim ? xi2 ?xi
• Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya

xi
10/19
20

• Langkah penyelesaian
• Gambar dan Partisi daerahnya
• Aproksimasi Li ? (4xi - xi2)?xi dan
  Aj ? -(4xj - xj2)?xj
• 4. Jumlahkan L ? ?(4xi - xi2)?xi dan
  A ? ? -(4xj - xj2)?xj
• 5. Ambil limitnya L lim ? (4xi - xi2)?xi
  dan A lim ? -(4xj - xj2)?xj
• Nyatakan dalam integral

xj
xi
11/19
21
12/19
22
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y
f(x) dan y g(x) dengan f(x) gt g(x) pada selang
a, b di bawah ini. Dengan menggunakan cara
partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,
integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah
antara dua kurva tersebut.

• Langkah penyelesaian
• Partisi daerahnya
• Aproksimasi Li ? f(x) g(x) ?x
• 4. Jumlahkan L ? ? f(x) g(x) ?x
• 5. Ambil limitnya
• L lim ? f(x) g(x) ?x
• 6. Nyatakan dalam integral tertentu

13/19
23

• Langkah penyelesaian
• Gambar daerahnya
• Tentukan titik potong kedua kurva
• x2 2 x ? x2 x 2 0 ? (x 2)(x
  1) 0
• diperoleh x -2 dan x 1
• Partisi daerahnya
• Aproksimasi luasnya
• Li ? (2 - x - x2)?x
• 4. Jumlahkan luasnya
• L ? ? (2 - x - x2)?x
• 5. Tentukan limit jumlah luasnya
• L lim ? (2 - x - x2)?x
• 6. Nyatakan dalam integral tertentu

14/19
24

15/19
25
Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal
menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya.
16/19
26
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal,
maka akan diperoleh satu bentuk integral yang
menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari
sebelumnya.
17/19
27

• Langkah penyelesaian
• Gambar daerahnya
• Tentukan titik potong kedua kurva
• y2 6 y ? y2 y 6 0 ? (y 3)(y
  2) 0
• diperoleh y - 3 dan y 2
• Partisi daerahnya
• Aproksimasi luasnya
• Li ? (6 - y - y2)?y
• 4. Jumlahkan luasnya
• L ? ? (6 - y - y2)?y
• 5. Tentukan limitnya
• L lim ? (6 - y - y2)?y
• 6. Nyatakan dalam integral tertentu

18/19
28

19/19
29
Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis
tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung
volume benda putar dengan integral adalah
partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan
limit, dan menyatakan dalam integral tentu.
1/17
30

• Dalam menentukan volume benda putar yang harus
  diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah
  partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
  tersebut, maka metode yang digunakan untuk
  menentukan volume benda putar dibagi menjadi
• Metode cakram
• Metode cincin
• Metode kulit tabung

2/17
31
Metode cakram yang digunakan dalam menentukan
volume benda putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume mentimun dengan
memotong-motongnya sehingga tiap potongan
berbentuk cakram.
3/17
32
Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai
tabung dengan jari-jari r f(x), tinggi h ?x.
Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai ?V
? ?r2h atau ?V ? ? f(x)2?x. Dengan cara
jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam
integral diperoleh V ? ? ? f(x)2 ?x
V lim ? ? f(x)2 ?x
4/17
33

• Langkah penyelesaian
• Gambarlah daerahnya
• Buat sebuah partisi
• Tentukan ukuran dan bentuk partisi
• Aproksimasi volume partisi yang diputar,
  jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam
  bentuk integral.

5/17
34
?V ? ?r2h ?V ? ?(x2 1)2 ?x V ? ? ?(x2
1)2 ?x V lim ? ?(x2 1)2 ?x
6/17
35

• Langkah penyelesaian
• Gambarlah daerahnya
• Buatlah sebuah partisi
• Tentukan ukuran dan bentuk partisi
• Aproksimasi volume partisi yang diputar,
  jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam
  bentuk integral.

7/17
36
?V ? ?r2h ?V ? ?(?y)2 ?y V ? ? ?y ?y V
lim ? ?y ?y
8/17
37
Metode cincin yang digunakan dalam menentukan
volume benda putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombay dengan
memotong-motongnya yang potongannya berbentuk
cincin.
9/17
38
Menghitung volume benda putar dengan menggunakan
metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan
rumus volume cincin seperti gambar di samping,
yaitu V ?(R2 r2)h
10/17
39

• Langkah penyelesaian
• Gambarlah daerahnya
• Buat sebuah partisi
• Tentukan ukuran dan bentuk partisi
• Aproksimasi volume partisi yang diputar,
  jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam
  bentuk integral.

11/17
40
?V ? ?(R2 r2) h ?V ? ? (2x)2 (x2)2 ?x
?V ? ? (4x2 x4) ?x V ? ? ? (4x2 x4) ?x
V lim ? ? (4x2 x4) ?x
12/17
41
Metode kulit tabung yang digunakan untuk
menentukan volume benda putar dapat dianalogikan
seperti menentukan volume roti pada gambar
disamping.
13/17
42
V 2?rh?r
14/17
43

• Langkah penyelesaian
• Gambarlah daerahnya
• Buatlah sebuah partisi
• Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
• Aproksimasi volume partisi yang diputar,
  jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam
  bentuk integral.

15/17
44
?V ? 2?rh?x ?V ? 2?(x)(x2)?x V ? ? 2?x3?x
V lim ? 2?x3?x
16/17
45
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi
secara horisontal dan sebuah partisi diputar
mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut
dihitung dengan metode cincin adalah sebagai
berikut.
?V ? ?(R2 r2)?y ?V ? ?(4 - x2)?y V ? ?
?(4 y)?y V lim ? ?(4 y)?y
17/17
46
1/19
47
Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini
dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai
....
A
D
B
E
C
2/19
48
Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini
dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai
....
A
D
B
E
C
Jawaban Anda Benar
3/19
49
Jawaban Anda Salah
4/19
50
5/19
51
Jawaban Anda Benar
6/19
52
Jawaban Anda Salah
7/19
53
8/19
54
Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini
sama dengan .
5 satuan luas
A
9 1/3 satuan luas
D
7 2/3 satuan luas
B
E
10 1/3 satuan luas
8 satuan luas
C
Jawaban Anda Benar
9/19
55
2
Jawaban Anda Salah
10/19
56
11/19
57
Jawaban Anda Benar
12/19
58
Jawaban Anda Salah
13/19
59
14/19
60
Jawaban Anda Benar
15/19
61
Jawaban Anda Salah
16/19
62
17/19
63
Jawaban Anda Benar
18/19
64
Jawaban Anda Salah
19/19
65
Media Presentasi Pembelajaran
Penggunaan Integral
Matematika SMA/MA kelas XII IPA Semester 1
Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi
Dibuat oleh
Kastolan, S.Pd.

Terima Kasih