Probabilits du programme de 3e

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Probabilités du programme de 3e
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La nouveauté dans les programmes de 3e
les probabilités

• Le programme de la classe de troisième a pour
  objectif de permettre
• ? dans la partie organisation et gestion de
  données, fonctions  
• - dapprocher la notion de fonction
• dacquérir une première connaissance des
  fonctions linéaires et affines et de synthétiser
  le travail conduit sur la proportionnalité dans
  les classes antérieures
• de poursuivre la mise en place de paramètres (de
  position et de dispersion) d'une série
  statistique et denvisager ainsi la notion de
  résumé statistique 
• - de mettre en pratique sur des exemples simples
  la notion de probabilité 
• ...

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Extrait du bandeau relatif au titre
1. Organisation et gestion de données,
fonctions. Pour les séries statistiques, l'étude
des paramètres de position est poursuivie 
médiane et quartiles. Une première approche de la
dispersion est envisagée. L'éducation
mathématique rejoint ici l'éducation du citoyen
prendre l'habitude de s'interroger sur la
signification des nombres utilisés, sur
l'information apportée par un résumé statistique.
De même, cest pour permettre au citoyen
daborder lincertitude et le hasard dans une
perspective rationnelle que sont introduits les
premiers éléments relatifs à la notion de
probabilité.
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Contenus
Compétences
Exemples dactivité, commentaires
1.4 Notion de probabilité Thèmes de
convergence
Comprendre et utiliser des notions élémentaires à
propos des probabilités dans des contextes
familiers dexpérimentation.
La notion de probabilité est abordée à partir de
situations familières (pièces de monnaie, dés,
roues de loteries, urnes).
Certaines de ces situations permettent de
rencontrer des cas pour lesquelles les
probabilités ne sont pas définies à partir de
considérations intuitives de symétrie ou de
comparaison mais sont approximativement évaluées
par les fréquences observées expérimentalement
(approche fréquentiste des probabilités).
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Exemples dactivité, commentaires
La notion de probabilité est utilisée pour
traiter des situations de la vie courante pouvant
être modélisées simplement à partir des
situations précédentes. Les situations étudiées
concernent les expériences aléatoires à une ou à
deux épreuves.
Un document daccompagnement portant spécialement
sur les probabilités et leur enseignement en 3e
est téléchargeable sur Éduscol. Des éléments de
langage et des propriétés y sont donnés (page 9
et 10). Le vocabulaire devra se mettre en place
sur des exemples. Le langage et la théorie des
ensembles ne doivent pas être utilisés au
collège.
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Les situations familières concernant les
instruments produisant du hasard
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G
P
En lançant un grand nombre de fois la punaise, on
obtient une suite de G et de P. Pour un petit
nombre dexpériences, cette suite ne semble
suivre aucune loi mais le résultat global
laisse apparaître une régularité dans la
fréquence de sortie de P et de G.
Au début, la fréquence (relative) du nombre de G
varie très fortement. Mais à la longue, elle tend
à se stabiliser autour dune valeur p qui vaut
à peu près 5/6.
Cest pour traduire ce fait empirique que lon
dit que la probabilité dobtenir G est p.
Pour le lancer de la punaise, on ne peut
approcher cette probabilité que par
lexpérimentation.
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En revanche, pour les jeux évoqués précédemment,
on peut obtenir la probabilité dun résultat
(dune issue) par des considérations de symétrie
ou de comparaison.
La probabilité dobtenir une boule jaune est
2/5.On a 3 chances sur 5 dobtenir une boule
rouge.
Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats
possibles ont la même probabilité 1/2
La probabilité de gagner est 1/4,
9
Autres exemples
Chaque résultat a la même probabilité 1/6.
Les résultats 1, 2, 3, 4 et 5 ont respectivement
comme probabilités 1/3, 1/6, 1/4, 1/6 et 1/12.
La probabilité dobtenir un résultat pair est
1/6 1/6, cest-à-dire 1/3.
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Un tireur novice tire parfaitement au hasard sur
la cible ci-contre. Tous les cercles sont
concentriques et leurs rayons sont r, 2r, 3r, 4r,
5r et 6r.
Quelles sont les probabilités pour le tireur
datteindre chacune des régions 10, 9, , 5 ?
Réponse 1/36, 3/36, 5/36, 7/36, 9/36, 11/36.
Le même tireur tire parfaitement au hasard sur
cette nouvelle cible. Tous les cercles sont
concentriques et leurs rayons sont r, 2r, 3r, 4r,
5r et le carré a un côté de longueur 12r.
Quelles sont les probabilités pour le tireur
datteindre chacune des régions 10, 9, , 5 ?
Réponse 0,022 0,065 0,109 0,153 0,196
0,455.
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Le jeu de Franc Carreau
Il consiste à prendre une pièce et à la lancer
sur un carrelage dont les carreaux sont des
carrés. Quelle est la probabilité que la pièce ne
touche pas les bords?
12
Un arbre probabiliste en fleuve...


.


.

Un exercice pour présenter des nouvelles
notations.

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Expériences à deux épreuves
Les résultats possibles sont (R, 1), (R, 2), (R,
3), (B, 1), (B, 2), (B, 3).
R
1
3
2
3
B
2
2
1
Chacun de ces résultats est représenté dans
larbre ci-contre par une branche (ou chemin).
1/6
1/2
2
R
1/4
1/3
3
Comment évaluer la probabilité de chacun deux ?
1
1/6
3/4
1/2
B
2
3
1/3
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Imaginons que lon reproduise 120 (ou N) fois
lexpérience.On peut supposer que 1/4 de ces
expériences suivront la branche vers R, et parmi
celles-ci 1/6 iront vers 1. Donc il y en aura
La fréquence (relative) du résultat (R, 1) est
donc 5/120 (ou 1/24).
Ceci conduit à admettre que, de manière générale,
la probabilité dun chemin est égale au produit
des probabilités rencontrées le long de ce
chemin.
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Lançons deux dés à six faces
Quelle est la probabilité davoir 12 ? Davoir 7 ?
Réponses immédiates des élèves On a une chance
sur douze davoir 12 et... euh... autant davoir
7.
Réponses en utilisant les dés On a une chance
sur trente-six davoir 12 ...et une chance sur
six davoir 7.
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On peut traiter avec les représentations en
arbres les questions relatives à deux tirages
successifs dans une urne, avec remise ou sans
remise.
Urne avec 3 boules Bleues, 2 boules Jaunes, 1
boule RougeProbabilité dobtenir deux boules de
la même couleur.
Tirages avec remise
Tirages sans remise
P(E) 1/6 . 1/6 1/3 . 1/3 1/2 . 1/2 7/18
? 39
P(E) 1/3 . 1/5 1/2 . 2/5 4/15 ? 27
R
J
1/6
2/5
1/3
3/5
B
R
R
1/2
1/6
1/6
R
1/5
1/6
1/3
1/5
1/3
1/3
J
J
J
J
3/5
1/2
B
1/2
1/2
1/5
B
R
B
B
2/5
J
B
2/5
B
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Exemple tiré de larticle de Bernard Parzysz Un
outil sous-estimé larbre probabiliste.
Bulletin de lAPMEP n 372, pp 47-52, 1990.
ScrutinGroupe I électeurs de moins de 35 ans
38 de lensemble des électeurs.Groupe II
électeurs de 35 à 60 ans 43 de lensemble des
électeurs.Groupe III électeurs de plus de 60
ans 19 de lensemble des électeurs.
0,81
V
Non V
I
0,38
V
0,84
0,43
II
Taux de participation Groupe I 81Groupe II
84Groupe III 69
Non V
0,19
0,69
V
III
Non V
On choisit un électeur au hasard. Quelle est la
probabilité quil ait voté ?Quel est le taux de
participation au scrutin ?
P 0,38.0,81 0,43.0.84 0,19.0,69 ? 0,80.
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Une petite énigme pour terminer par une
simulation

• Cest lhistoire dun garçon qui narrivait pas à
  se décider 
• Lune de ses deux amies habitait au Nord, lautre
  au Sud.
• Vers laquelle de ses deux amies aller?
• Chaque jour il allait à la gare et prenait le
  premier train qui se présentait.
• Les directions Nord et Sud étaient desservies
  toutes les dix minutes.
• Pourquoi allait-il (en moyenne) neuf fois sur
  dix au Nord ?

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Eléments de bibliographie
Engel A., 1975, Lenseignement des probabilités
et de la statistique, Cedic.Parzysz B, 1990, Un
outil sous-estimé larbre probabiliste,
Bulletin de lAPMEP n 372, pp. 47-52. Parzysz
B., 1993, Des statistiques aux probabilités
exploitons les arbres, Repères IREM n 10.
Dupuis C. et Rousset-Bert S., 1998, De
linfluence des représentations disponibles sur
la résolution de problèmes élémentaires de
probabilité et sur lacquisition du concept
dindépendance, Annales de didactique et de
sciences cognitives, Vol. 6, ULP IREM de
Strasbourg.
Pressiat A., 2005, De lépistémologie de la
statistique vers sa didactique dans
lenseignement secondaire, in Balises en
didactique des mathématiques, cours de la 12e
école dété de didactique des mathématiques,
coordonnés par A. Mercier et C. Margolinas.