Sin t

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Econometría
Capitulo 5 Modelos Pronósticos Ingenuos y
Adaptivos
Departamento de Informática Universidad Técnica
Federico Santa María
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Métodos Ingenuos
Definición y Notación Una serie cronólogica o
serie de tiempo es una colección de observaciones
de un cierto fenómeno hechas secuencialmente en
el tiempo (altura espacio etc). Denotaremos
una serie de tiempo mediante por la
siguiente secuencia x(t1) , x(t2) , ... ,
x(tn) donde x(ti) es el valor tomado por el
proceso estocástico en el instante ti
. Habitualmente supondremos que la serie es
equiespaciada, es decir, que existe
tal que
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Métodos Ingenuos
Entonces S.p.d.g. podemos considerar la
serie la cual también se puede
denotar Ejemplos de S.T. 1. Series
Físicas Meteorología agua caída, temperatura
máxima, velocidad del viento. Geofísica
series sismológica, series de temp.volcánica Med
icina electrocardiogramas, electroencefalogramas.
Química viscosidad de un proceso, temperatura
de un proceso Telecomunicaciones series de
señales. Astronomía brillo de una estrella,
actividad solar.
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Métodos Ingenuos
2. Series Económicas Precios de acciones,
precio del cobre en Londres, índice de
cesantía, IPC ADR PIB 3. Series de
Marketing Series de ventas, gastos,
utilidades, demanda, oferta. 4. Series
Demográficas Tasa de natalidad, tasa de
mortalidad, censos poblacionales. 5.
Series de Energia Demanda de energia
Actividad de Energia Solar etc.
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Métodos Ingenuos
Objetivos del Estudio de Series Cronológicas 1.
Modelación Encontrar un modelo estadístico que
explique el comportamiento de la
serie (y que explique en lo posible el
fenómeno que originó la serie). 2.
Predicción Predicción de valores futuros de la
serie dando, en lo posible, límites
de confianza. Metodología Etapa 1 análisis
exploratorio de datos Se grafica la
serie t en la abscisa, x(t) en la ordenada.
Esto debe hacerse siempre, independiente del
nivel de simplecidad de los
datos o de los modelos que se emplean
posteriormente.
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Métodos Ingenuos
a) Permite detectar posibles outliers
Los outliers son observaciones que se alejan
fuertemente del modelo estocástico subyacente
ya sea por errores de medición o porque en el
fenómeno en estudio presentó un comportamiento
absolutamente inusual.
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Métodos Ingenuos

• Observaciones
• Si se sospecha que una observación es un outlier,
  se debe reunir información adicional desde fuera
  del observador, sobre posibles factores que
  afectaron el proceso. De verificarse que se trata
  de una observación aberrante y mostrar la serie
  un comportamiento similar antes y después del
  outlier conviene pre-procesar la seríe usando por
  ejemplo un filtro de medias, obteniendosé un
  nueva seríe.
• En caso contrario ( huelgas actos de terrorismo
  terremotos etc) es necesario usar métodos o
  tecnicas especiales tales como el análisis de
  intervenciones.
• Otra alternativa es utilizar procedimientos
  robustos en el modelado de la serie cronológica.

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Métodos Ingenuos
b) Permite determinar tendencias
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Métodos Ingenuos
c) Permite determinar variaciones cíclicas o
estacionales.
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Métodos Ingenuos
Modelos Ingenuos Antes de recurrir a los
métodos más sofisticados uno debe preguntarse si
el problema en cuestión realmente lo justifica o
bien si bastaria con usar técnicas
baratas. Esto dependerá esencialmente de la
importancia de las decisiones que se tomarán en
base al modelo y sus predicciones ( Corto largo
o mediano plazo). Modelos a) x(t)
T(t)E(t)A(t) aditivo b) x(t) T(t) E(t)
A(t) multiplicativo c) x(t) T(t) E(t)
A(t) mixto
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Métodos Ingenuos
T Tendencia de la serie
Representa la dirección predominante de la serie,
es decir su comportamiento
promedio. E Variación estacional
Se caracteriza por períodos o ciclos de
la serie. A variaciones accidentales.
Se caracteriza cambios irregulares
ya sean de tendencia
variancia o ciclos de la serie).
Modelos x(t)
T(t)E(t)A(t) lnx(t)
lnT(t)lnE(t)lnA(t)
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Métodos Ingenuos
Estimación de la Tendencia a) Regresión
Mediante inspección gráfica se decide cual curva
ajustar. i) T(t) a bt (recta) ii)
T(t) a ebt (exponencial) iii) T(t) a
bt ct2 (parábola)
etc. b) Medias Móviles La idea es
remover el efecto estacional antes de estimar la
tendencia.
(anual) La estimación de T(t) se anotará
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Métodos Ingenuos
Estimación de la Variación Estacional Si se
utilizo regresión a x(t) para estimar tendencia
se calcula la serie residual W(t)
W(t) Es una serie en que
sólo deberían manifestarse los efectos
estacionales y accidentales. Si se
aplicó medias móviles se tendrá que, además de la
serie W(t) se puede estimar
mediante también será
una serie en que sólo se encontrará
presente efectos estacionales y
accidentales.
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Métodos Ingenuos
En cualquiera de estos casos denotaremos
mediante w(t) la serie residual en que se han
removido los efectos de la
tendencia. Caso aditivo Caso
mixto
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Métodos Ingenuos
Para estimar E(t) comenzaremos podemos
considerar e(h) promedio de los valores de w
en el mes h. Como es
razonable esperamos que el promedio de las
estimaciones sea 0 en el caso aditivo y
1 en el mixto, estimamos E(h)
mediante Para elegir entre ambos
modelos se suele utilizar el gráfico de la serie
residual. En caso de series de Índices se
sugiere usar modelos mixtos.
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Métodos Ingenuos
Formulacion General del Problema de Predicción
La predicción correspondiente, que
dependerá del modelo elegido y, en general, de
n y k, se anotará k es el horizonte
de predicción o número de pasos adelante que se
está prediciendo y n el origen de la
predicción. Una vez conocido x(nk) podemos
calcular el error de predicción correspondiente
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Métodos Ingenuos
Ejemplo Numérico Indíces Trimestrales de Precios
al Por Mayor de un País Se toma t 1 1er
Trimestre 1977. Se grafica la serie
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Métodos Ingenuos
Se suaviza la serie obteniéndose Se grafica
la serie suavizada
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Métodos Ingenuos
Se efectúa una regresión lineal con esta
serie (r2 0.96) Como se trata de un
índice usamos el modelo mixto. Calculamos la
serie residual usando de donde
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Métodos Ingenuos
Las predicciones para 1982 serán 1er
Trimestre 2do Trimestre 3er Trimestre
4to Trimestre
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Introducción Una de las críticas que se les
hace a los métodos ingenuos es que no se adaptan
a lo largo del tiempo en forma natural tanto
la tendencia como la estacionalidad, se estiman
una sóla vez y las estimaciones deben ser
actualizadas si se obtienen nuevas observaciones.
Una familia de modelos que aparece hacia fines
de la década de los años 60, intenta solucionar
este problema. Se les conoce técnicas de
suavizamiento exponencial, y se constituyó en un
avance en el modelado de series
cronológicas. Una de las principales
características de estas técnicas es que son
baratas. Debido a esto, aún siguen siendo
utilizadas en ciertas actividades de pronóstico
donde es necesario efectuar predicciones
rutinarias (en el corto plazo) de ventas, control
de inventario o planificación de la producción.
Aplicar técnicas más sofisticadas en este caso no
se justifica.
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Suavizamiento Exponencial Simple En este caso se
supone que la serie está compuesta por un nivel
(constante) y una componente residual
(impredecible) Es decir, la serie se supone
localmente constante la mejor predicción de
X(nh) será la estimación que tengamos del nivel
en el instante h. Luego parece razonable estimar
el nivel como promedio ponderado de las
observaciones dando un peso mayor a las últimas
observaciones.
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Observaciones 1) Las fórmulas de actualización
anteriores modifican las estimaciones al
considerar nuevos datos. 2) Como elegir la
constante de suavizamiento volveremos más
adelante. 3) Predicciones 4) A partir de la
ecuación 3) vemos que al obtener nuevos datos de
la serie las predicciones se actualizan
mediante 5) Se puede comprobar que
es el valor real z que minimiza la función
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Método de Holt - Winters La versión
anterior es la más simple de los llamados modelos
de suavizamiento exponencial. Se han
desarrollado una serie de variantes, las cuales
consideran la serie constituida localmente a
partir de un nivel de tendencia y (eventualmente)
por un factor de estacionalidad, además de un
residuo impredecible aditivo. Posiblemente la
extensión más natural del suavizamiento
exponencial simple sean los modelos de Brown
AEG, los el modelos de Holt y Winters entre
otros que veremos a continuación.
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Caso no estacional Supogamos que la
serie se comporta localmente como la suma de un
nivel y una tendencia lineal, más de un residuo
impredecible. Anotando y
como las estimaciones del nivel y de la
pendiente de la recta (de la tendencia lineal) en
el instante t, una propuesta razonable es tomar.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Observaciones (Caso no estacional) 1) Las
fórmulas de actualización anteriores modifican
las estimaciones al considerar nuevos
datos. 2) Las estimaciones del nivel y de la
pendiente en el instante t se
estiman como un promedio ponderado de la
estimación anterior y la estimación
sugerida apartir del nuevo dato. 3) Para
iniciar el algoritmo recursivo se propone
tomar. 4) Predicciones Siendo consecuentes
con el modelo se propone
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Modelo de Holt - Winters (Multiplicativo) A las
suposiciones del modelo anterior le agregamos un
factor estacional de período s, multiplicativo
(respecto de la tendencia) se
interpreta como un nivel desestacionalizado. Anot
ando a la estimacióm de la componente
estacional en el instante t parece razonable
tomar
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Modelo de Holt Winters (Aditivo) El
metodo anterior se adapta trivialmente al caso en
que la estacionalidad es aditiva con respecto de
la tendencia, en lugar de ser
multiplicativa
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Observaciones (Caso Estacional) 1) Las
formulas modifican las estimaciones considerando
nuevos datos. La estimación del nivel (t-1)
junto a la estimación de la
pendiente sugerirán un nivel
en el instante t. Esta
estimación se ve modificada al considerar la
nueva observación. La estimación en el
instante (t-1) de la pendiente .
Una nueva estimación de la pendiente sería
en el anterior y la
estimación sugerida por el valor tomado por la
serie en t. La estimación en el instante (t-s)
de la estacionalidad es Dado
una nueva estimación de la estacionalidad
sería . La estacionalidad en t
se estima como promedio ponderado de estimación
anterior y la sugerida por el valor tomado por
la serie en el instante t.
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
2) Inicialización Una manera de resolver el
problema de inicialización en el modelo de H-W
multiplicativo es tomando Para el caso
aditivo la estimación de la componte estacional
se modifica por
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
3) Predicciones Siendo consecuentes con las
suposiciones hechas para el modelo
multiplicativo se toma
Análogamente para el modelo aditivo se toma
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Determinación de las constantes de
suavizamiento Una alternativa es elegir
de acuerdo a las
características particulares que se atribuye a
las componentes de la serie. Si
, las predicciones dan
más importancia a observaciones pasadas que a
las presentes. Inversamente, si
, las prediccionesdan menor importancia
al pasado y más importancia al presente de la
serie. En el caso de suavizamiento
exponencial simple Si la serie varía
lentamente (valor típico 0.3) En
cambio si la serie varía bruscamente
(valor típico 0.7)
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Otro método más objetivo es elegir
que mejor habrían predicho los valores
conocidos de la serie. donde k se elige lo
suficientemente grande como para que el efecto
de inicialización del proceso sea
despreciable. Al estimar
numéricamente se pierde la simplicidad de los
métodos de suavizamiento exponencial. Como esta
es su carácteristica más importante, si se está
dispuesto ha resolver el problema de
minimización correspondiente entonces más vale
usar métodos más sofisticados como por ejemplo
Box y Jenkins o ANN
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Ejemplo No1. Indíces
Trimestrales de Precios al Por Mayor de un
País Usando el método de Holtz y Winter prediga
los valores de los índices trimestrales para
2002. Considere A0,30 B0,50 y D0,30
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Debido a que es una serie de índices el
modelo a ocupar debe ser el modelo
multiplicativo. Inicialización del método
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Formulas de actualización (1/3)
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Formulas de actualización (2/3)
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Formulas de actualización (3/3)
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Predicciones Las predicciones para 2002 son
las siguientes
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Modelos de Suavizamiento Exponencial
Es posible mejorar los valores iniciales
tomando donde promedio del 1er año
promedio del 2do año
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