ESTADISTICA INFERENCIAL

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ESTADISTICA INFERENCIAL
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LA ESTADISTICA

• Estadística descriptiva
• Método científico
• Muestreo
• Información de entrada y de salida
• Estadística inferencial
• Inferencias
• Intervalos de confianza
• Pruebas de hipótesis
• Dígitos significativos
• Diseño de experimentos
• Errores
• Distribuciones de probabilidad
• Toma de decisiones

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BASES DE PROBABILIDAD

• Experimento actividad con resultados inciertos
  y que dependen de los elementos del sistema
• Diámetro de una pieza, tiempo de proceso, tiempo
  de espera, número de piezas que se producen por
  turno?
• Espacio muestral lista completa de todos los
  posibles resultados individuales de un
  experimento

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BASES DE PROBABILIDAD

• Evento un subconjunto del espacio muestral
• Se denota por E, F, E1, E2, etc.
• Unión, intersección, complementos
• Probabilidad de un evento es la posibilidad
  relativa de que este ocurra al realizar el
  experimento
• Es un número real entre 0 y 1 (inclusive)
• Se denota por P(E), P(E ? F), etc.
• Interpretación proporción de veces que el
  evento ocurre en muchas repeticiones
  independientes del experimento

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BASES DE PROBABILIDAD

• Algunas propiedades de la probabilidad
• Si S es la totalidad de ocurrencias, entonces
  P(S) 1
• Si Ø es un evento, entonces P(Ø) 0
• Si EC es el complemento de E, entonces P(EC) 1
  P(E)
• La P(E o F) P(E ? F) P(E) P(F) P(E ? F)
• Si E y F son mutuamente excluyentes (ejemplo, E ?
  F Ø), entonces P(E ? F) P(E) P(F)
• Si E es un subconjunto de F (ejemplo, la
  ocurrencia de E implica la ocurrencia de F),
  entonces P(E) ? P(F)
• Si o1, o2, son resultados individuales en el
  espacio muestral, entonces

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VARIABLES ALEATORIAS

• Es una forma de cuantificar y simplificar eventos
  asociados a probabilidades
• Una variable aleatoria (VA) es un número cuyo
  valor está determinado por el resultado de un
  experimento
• Se pueden obtener inferencias sin tener que
  trabajar con el espacio muestral completo.
• VA es un número cuyo valor no conocemos con
  certeza pero que podemos conocer algo acerca de
  el.
• Se denota con letras latinas X, Y, W1, W2, etc.
• Su conducta probabilística se describe por medio
  de una distribución

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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Y DISCRETAS

• Dos formas básicas de VAs usadas para representar
  un modelo
• Discreta puede tomar solamente ciertos valores
  separados
• El número de valores posibles puede ser finito o
  infinito
• Continua puede tomar cualquier valor en un
  rango
• El número de valores es siempre infinito
• El intervalo puede ser abierto o cerrado en ambos
  o un lado

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DISTRIBUCIONES DISCRETAS

• Sea X una variable aleatoria discreta que puede
  tomar valores x1, x2, (lista finita o infinita)
• Función densidad de probabilidad (FDP)
• p(xi) P(X xi) para i 1, 2, ...
• La expresión X xi es un evento que puede o no
  ocurrir, sea que tiene una probabilidad de
  ocurrencia, que es medida por la FDP
• Dado que X debe ser igual a algún valor de xi, y
  dado que los valores xis son todos distintos,

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DISTRIBUCIONES DISCRETAS

• Distribución acumulada de probabilidad (DAP)
  probabilidad de que la VA sea ? a un valor fijo
  x
• Propiedades de la DAP
• 0 ? F(x) ? 1 para todo x
• Como x ? ?, F(x) ? 0
• Como x ? ?, F(x) ? 1
• F(x) no es decreciente en x
• F(x) es una función continua de la derecha que
  brinca de un valor discreto a otro

Estas cuatro propiedades son también
verdaderas para variables continuas
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DISTRIBUCIONES DISCRETAS

• Para calcular valores sumar los valores de p(xi)
  para aquellos xis que satisfacen la condición
• Tener cuidado con desigualdades

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VALOR ESPERADO DE LA MEDIA

• El conjunto de datos tiene un centro el
  promedio
• Las variables aleatorias tienen un centro
  valor esperado
• Se le llama también la media o esperado de X
• Se puede indicar con notación m, mX
• Promedio ponderado de los posibles valores de xi,
  donde los pesos son las respectivas
  probabilidades de ocurrencia
• Esperado significa
• Repetir el experimento muchas veces, observando
  muchos valores de X1, X2, , Xn
• E(X) es valor al que se converge cuando n ? ?

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VALOR ESPERADO DE LA VARIANZA

• Medidas de dispersión
• Varianza muestral
• Desviación estándar muestral
• Las VAs tiene medidas similares
• Otra notación
• Promedio ponderado de las desviaciones cuadradas
  de los posibles valores de xi de la media
• La desviación estándar de X es
• La interpretación es análoga a la de E(X)

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DISTRIBUCIONES CONTINUAS

• Sea X una variable aleatoria continua VA
• Rango limitado a la izquierda o derecha o ambos
• No importa lo pequeño del rango, el número de
  valores posibles de X es siempre incontable
  (infinito)
• No es significativa la P(X x) aunque x esté en
  el rango. Ese valor es un diferencial con valor
  cercano a 0
• Se describe la conducta de X en términos de
  intervalos

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DISTRIBUCIONES CONTINUAS

• Función densidad de probabilidad (FDP) es una
  función f(x) con las siguientes tres propiedades
• f(x) ? 0 para todos los valores reales de x
• El área total bajo la curva es f(x) es 1
• Para cualquier valor fijo de a y b con a ? b, la
  probabilidad de que X caiga entre a y b es el
  área bajo f(x) entre a y b

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DISTRIBUCIONES CONTINUAS

• Distribución acumulada de probabilidad (FAP)
  probabilidad de que la VA sea ? a un valor fijo
  x
• Propiedades de la FAP
• 0 ? F(x) ? 1 para todo x
• Si x ? ?, F(x) ? 0
• Si x ? ?, F(x) ? 1
• F(x) no es decreciente en x
• F(x) es una función continua con pendiente igual
  a FDP
• f(x) F'(x)

Estas cuatro propiedades son también
verdaderas para variables discretas
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VALOR ESPERADO DE LA MEDIA

• Esperado o media de X es
• Promedio ponderado continuo de los posibles
  valores de X
• Misma interpretación del caso discreto promedio
  de un número infinito de observaciones de la
  variable X

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VALOR ESPERADO DE LA VARIANZA

• Varianza de X es
• Desviación estándar de X es

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DATOS EN SIMULACION

• ENTRADA
• Distribuciones de entrada
• Recolectar datos
• Ajustar distribuciones de probabilidad
• Probar H0 los datos se ajustan a la distribución
  seleccionada
• SALIDA
• Comparar dos o mas diseños o modelos
• Probar H0 todos los diseños dan el mismo
  rendimiento, o H0 uno de los diseños es mejor
  que el otro u otros.

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MUESTREO

• Análisis estadístico estima o infiere algo
  acerca de una población o proceso basado en una
  única muestra extraída de ella.
• Muestra aleatoria es un conjunto de observaciones
  independientes e idénticamente distribuidas X1,
  X2, , Xn
• En simulación, muestreo se aplica al hacer varias
  corridas del modelo recolectando datos
• No se conocen los parámetros de la población (o
  distribución) y se quiere estimarlos o inferir
  algo acerca de ellos basado en una muestra

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MUESTREO

• Parámetro poblacional
• Media m E(X)
• Varianza s2
• Proporción P
• Parámetro se necesita trabajar con toda la
  población
• Fijo pero desconocido

• Estimado muestral
• Media x
• Varianza muestral s2
• Proporción muestral p
• Estadístico muestral puede ser calculado de una
  muestra
• Varía de una muestra a otra es una VA, y tiene
  una distribución, llamada distribución muestral.

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DATOS EN SIMULACION

• Los datos obtenidos de una simulación pueden ser
  de dos tipos datos de observación o datos
  dependientes del tiempo.
• Datos de observación son aquellos para los cuales
  el tiempo de recolección no modifica su valor.
  Ejemplo número de entidades procesadas en el
  sistema se recoleta al final de la corrida.
• Datos dependientes del tiempo son aquellos cuyo
  valor varía de acuerdo con el tiempo. Ejemplo
  número de entidades residentes en una cola pues
  al calcular el valor se debe considerar el tiempo
  que duró esperando.

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DIGITOS SIGNIFICATIVOS

• Los valores finales de una medida de efectividad
  se deben reportar en forma puntual, pero con
  cuántas cifras significativas?
• Si un determinado valor del tiempo de ciclo da
  14.87151 minutos, qué tan significativas son asl
  últimas tres cifras?
• Si en tres corridas se obtienen los valores de
  14.87151, 14.88155, 14.85141 es poco probable que
  nos equivoquemos si reportamos 14.8 minutos. En
  realidad la respuesta se da en términos de que
  tan grande es la desviación estándar del conjunto
  de tiempos de ciclo.

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DIGITOS SIGNIFICATIVOS

• Procedimiento
• 1. Recolectar los n-valores de la medida de
  efectividad.
• 2. Agrupe los valores según teorema del límite
  central
• 3. Calcule el promedio de promedios.
• 4. Calcule el valor de la desviación estándar s.
• 5. Calcule el valor de 2(s/?n)
• 6. Identifique el dígito mas significativo.
  Ejemplos
• 0.5678 es el (5) 1.235 es el (1) 13.45
  es el (1)
• 7. Reporte el valor de la variable basado en el
  promedio calculado en 3), pero con un dígito
  menos que el valor calculado en 5).

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DIGITOS SIGNIFICATIVOS

• Ejemplos
• Promedio 2(s/?n) Puntual Intervalo
• 14.6875 0.7585 14 10 - 20
• 188.8 6.8675 180 180-190
• 499.09 13.76 400 400-500
• 2529.89 3.2789 2520 2520-2530
• 10.1 5.277 10 10 - 20
• 508.67 16.243 500 500-600
• 1256.5 0.9876 1256 1256-1257

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INTERVALOS DE CONFIANZA

• Un estimador puntual es un simple número, con
  alguna incertidumbre o variabilidad asociada a el
• Intervalo de confianza cuantifica la imprecisión
  probable del estimador puntual
• Un intervalo que contiene el parámetro
  poblacional desconocido con una probabilidad alta
  especificada 1 a
• Intervalo de confianza para media poblacional m

tn-1,1-a/2 bajo el cual el área es 1 a/2 en t
student con n 1 grados de libertad
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PRUEBA DE HIPOTESIS

• Prueba alguna conjetura sobre la población o sus
  parámetros
• Nunca determina algo verdadero o falso con
  certeza, solamente da evidencia para tomar una de
  las dos direcciones
• Hipótesis nula (H0) lo que va a ser probado
• Hipótesis alternativa (H1 or HA) negación de H0
• H0 m 6 vs. H1 m ? 6
• H0 s lt 10 vs. H1 s ? 10
• H0 m1 m2 vs. H1 m1 ? m2
• Desarrolla una regla de decisión para decidir
  sobre H0 o H1 basado en los datos de la muestra

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ERRORES EN PRUEBA DE HIPOTESIS
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VALORES DE p

• Calcular el valor de p de la prueba
• p-value (valor p) probabilidad de obtener un
  resultado mas en favor de H1 que lo obtenido en
  la muestra
• Pequeño p (lt 0.01) evidencia convincente en
  contra de H0
• Gran p (gt 0.20) indica falta de evidencia contra
  H0
• Conección con el método tradicional
• Si p lt a, rechazar H0
• Si p ? a, no rechazar H0

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EJEMPLO 1
En un proceso de fabricación de piezas de
precisión se quiere que el valor nominal del
diámetro de una pieza sea 20,0 mm. Se conoce que
la desviación estándar de esta característica es
3,0 mm. Se toma una muestra de 25 piezas
obteniéndose un promedio de diámetro de 19,2 mm.
Se ha cumplido con lo requerido? Use ?5.
30
SOLUCION
Se seguirá el procedimiento planteado. a. Plante
o de la hipótesis H0 µ 20,0 Ha µ ?
20,0 b. La hipótesis es bilateral puesto que no
se cumple con lo requerido si el promedio de la
muestra es mayor o menor que lo
especificado. c. El nivel de significación es
dado, ? 5. d. El estadístico por usar es el
siguiente _ x
µ   Z ?/? n
31
SOLUCION
e.       Las áreas de cumplimiento de la
hipótesis . f. Cálculo del estadístico citado en
d. _ x µ 19,2 20,0 Z
1,33 ?/? n 3,0/ ?
25 g. El valor de Z calculado (1,33) se
encuentra en el área de cumplimiento de la
hipótesis nula. h. En conclusión, se puede
afirmar, con ?5, que estadísticamente se cumple
con el valor nominal requerido.
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EJEMPLO 6

• Una inspección de calidad efectuada sobre dos
  marcas de baterías para linterna, reveló que una
  muestra aleatoria de 61 unidades de la marca A
  generó un promedio de vida útil de 36,5 horas con
  una desviación estándar de 1,8 horas, mientras
  que otra muestra aleatoria de 31 unidades de la
  marca B generó un promedio de 36,8 horas con una
  desviación estándar de 1,5 horas.
• Con un nivel de significación del 5 se desea
  saber si hay diferencia significativa entre la
  vida útil de ambas marcas.

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SOLUCION

• Para probar si hay diferencia significativa
  entre los promedios se debe comprobar primero la
  diferencia entre las varianzas, para así
  seleccionar el estadístico adecuado.
• 1. Hipótesis de varianzas
• Siguiendo los pasos de una prueba de hipótesis
  se tiene
• a. Planteo de la hipótesis
• H0 ?2A ?2B
• Ha ?2A ? ?2B
• b. Como la hipótesis alternativa es de
  desigualdad, entonces es bilateral. Esto
  significa que puede darse una relación mayor o
  menor.

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SOLUCION

• c. El nivel de significancia es ? 5.
• d. El estadístico por usar es Fc s12/ s22
  (distribución F-Fisher), pues lo que se desea es
  medir la relación de varianzas.
• e. Las áreas de la hipótesis que se va a probar.
• v1 n11 61160 v2n2-1 31130
• De una Tabla F con ?/2 2.5 se tiene
• F 60,30,0.025 0,551
• F 60,30,0.975 1,440
• f. Fc s12/ s22 1,82/1,52 1,44
• g. Este valor calculado de Fc cae en el área
  donde se cumple Ho, por lo tanto se acepta Ho.

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SOLUCION

• h. Se concluye que ambas varianzas, al 5 de
  significancia, son iguales.
• Se procede entonces a hacer la hipótesis de
  promedios.
• Siguiendo los pasos de prueba de hipótesis se
  tiene
• a. Planteo de la hipótesis
• Ho µ1 µ2
• Ha µ1 ? µ2
• b. La hipótesis es bilateral al igual que en la
  hipótesis anterior.
• c. El nivel de significación es del 5 

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SOLUCION

• d.    Según la hipótesis anterior las varianzas
  son desconocidas pero iguales, además, los
  tamaños de muestra son mayores que 30. Por lo
  tanto el estadístico por usar es
•  
•  
•  
• e. Las áreas de cumplimiento y rechazo.
• v n1 n2 2
• v 61 31 2
• v 90

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SOLUCION

• De tablas se obtienen los valores
• t 90, 0,025 1,987 t90,0,9751,987    
• f. El estadístico calculado es
•  
•  
• En este caso (?1 ?2) 0 pues es de suponer
  que tratándose de un mismo producto las medias
  poblacionales son iguales.
• g. No hay evidencia estadística, con ? 5,
  para concluir que ambas medias sean diferentes.

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CORRIDAS DE SIMULACION

• No sacar conclusiones en simulación con base en
  una sola corrida. Se debe aplicar muestreo. Para
  ello
• 1. Hacer un número inicial de corridas ni (10).
• 2. Calcular la desviación estándar para la medida
  de efectividad mas importante del modelo.
• 3. Estimar el valor de h t?/2,n-1s/?n
• 4. Calcular n ni(h/h)2 h es el valor
  deseado de intervalo
• 5. Correr la simulación por el número de corridas
  faltantes sea por n - ni , cambiando la semilla
  de número aleatorios, de lo contrario se repite
  la salida. Si ni? n entonces no hay necesidad
  de mas corridas.

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CORRIDAS DE SIMULACION

• EJEMPLO
• Se han obtenido 10 corridas de una simulación
  que han generado los siguientes tiempos de ciclo
  93, 113, 107, 103, 112, 103, 112, 100, 98 y 105.
  Se desea un h de 3.
• 1. Calcular la desviación estándar, s 6.59
• 2. Estimar ht?/2,n-1s/?n 2.2626.59/?9 4.97
• t0.975,9 2.262 (en tablas)
• 3. Calcular n ni(h/h)2 10 (4.97/3) 2
  27.44 28
• 4. Obtener 18 corridas mas de la simulación.

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CALENTAMIENTO DE LA SIMULACION

• Los resultados de una simulación deben ser
  obtenidos en el estado estable de la corrida.
• El momento desde el inicio de la simulación hasta
  que se obtiene el estado estable se llama período
  de calentamiento.
• En el estado transiente el estado las entidades
  residentes inicia en cero lo cual puede no
  representar la realidad. Esto hace que el
  sistema aparezca funcionando mejor de lo que
  realmente puede ser.

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CALENTAMIENTO DE LA SIMULACION

• Formas de eliminar información obtenida durante
  el periodo de calentamiento
• 1. Seleccionar las condiciones iniciales del
  sistema antes de las corridas. Se debe conocer
  muy bien el sistema.
• 2. Descartar los datos obtenidos en la fase
  transiente, se utilizan para ello el método de
  los promedios móviles para identificar el inicio
  del estado estable de la corrida.
• 3. Correr el modelo por un periodo lo
  suficientemente grande a fin de que los
  resultados obtenidos durante la fase transiente
  sean absorbidos por los datos de la fase estable.