Teorem Kochen-Specker: Implikasi, Variasi

1
Teorem Kochen-SpeckerImplikasi, Variasi
Penyelesaian

• Hishamuddin Zainuddin
• Laboratori Sains Berkomputasi Informatik,
  Institut Penyelidikan Matematik
• dan
• Jabatan Fizik, Fakulti Sains
• Universiti Putra Malaysia, 43400 UPM Serdang,
  Selangor

2
Susunatur

• Latar belakang teori kuantum
• Teorem KS pembolehubah tersembunyi
• Teorem KS dua dimensi
• Teorem KS logik kuantum
• Topos asas fizik kuantum
• Penyelesaian atau tinjauan

3
Latar Belakang I

• Fizik kuantum sukar tapi popular/berjaya
• Permasalahan asas teori kuantum rumit, cenderung
  kepada polemik
• Kemajuan asas teori kuantum datang dari
  formalisme matematik e.g. ketaksamaan Bell untuk
  masalah EPR
• Konsep keterbelitan sumber berguna maklumat
  kuantum

4
Latar Belakang II

• Permasalahan teori pembolehubah tersembunyi lwn
  kem Compenhagen
• Bukti von Neumann bermasalah
• 35 tahun kemudian teorem Kochen-Specker dan Bell
  (lebih terperinci)
• Terkini lumba bukti teorem KS dan formalisme
  topos

5
Aksiom Kuantum

• Perbincangan teorem KS tidak cenderung kpd
  mana-mana tafsiran
• Guna aksiom lazim1. Vektor keadaan ?gt ? ruang
  Hilbert H2. Pembolehcerap operator swa-adjoin
  O3. Pengukuran nilai jangkaan
  ltOgt lt ?O ?gt4. Dinamik ?,t1gt
  U(t1?t0) ?,t0gt U(t) exp (?i2?Ht/h), H
  Hamiltonan

6
Bukti von Neumann

• Teori pembolehubah tersembunyi perlu memberi
  ramalan statistik sama dgn mekanik quantum
• von Neumann (1932) cuba bukti tiada pembolehubah
  tersembunyi
• Kaedah manipulasi nilai jangkaan
• lt a1O1a2O2anOn gt a1lt O1gt a2lt O2 gt
  an lt On gt
• Wujud operator ketumpatan ? lt O gt Tr(?O)
• Tiada ? yang homogen dan rebakan sifar ? tiada
  pembolehubah tersembunyi

7
Di Sebalik BvN

• Bukti von Neumann bermasalah tidak tolak terus
  teori pembolehubah tersembunyi
• Syarat lt O1 O2 gt lt O1 gt lt O2 gt untuk
  pembolehcerap tak serasi memang tiada keadaan
  rebakan sifar
• Hadkan kpd pembolehcerap serasi OK
• Ingat kembali kaitan nilai eigen nilai ukuran
  pembolehcerap
• Gerak hati tiada masalah jika pembolehcerap
  punyai nilai pra-tentu

8
Teorem KS I

• Mengambil ciri yang perlu saja nilai pra-tentu
  bagi pembolehcerap
• Cari fungsi nilaian bagi pembolehcerap O untuk
  sistem keadaan ?gt V?(O)
• Bagi pembolehcerap serasi A dan B
  V?(AB) V?(A) V?(B) atau V?(AB) V?(A)
  V?(B)
• Juga perlu V?(1) 1

9
Teorem KS II

• Teorem KS Tiada fungsi nilaian V? jika dimensi
  ruang Hilbert gt 2
• Kochen Specker (1967) Guna 117 vektor dalam R3
  untuk percanggahan nilaian
• Sangat kompleks ada perlumbaan untuk beri
  bukti yang paling mudah

10
Teorem KS III

• Peres (1993) 33 vektorConway Kochen 31
  vektor
• Dimensi ruang Hilbert 4 (kes 2
  qubit)Peres (1991) 24 vektorKernaghan (1996)
  20 vektorCabello, Esterbaranz, Garcia-Alcaine
  (1996) 18 vektor kes kritikal

11
Teorem KS IV

• Dimensi ruang Hilbert 8Kernaghan Peres
  (1995) 20 vektor
• Bukti dgn keadaan tertentuKP (1995) 13 vektor
• Bukti dgn operator unjuran pangkat 2Toh
  Hishamuddin (2009) 5 vektor

12
Ilustrasi KS I

• Ilustrasi (tanpa vektor) sistem 2 qubit
• 9 pembolehcerapSetiap baris/lajur
  saling serasi

1??z ?z?1 ?z? ?z
?x?1 1??x ?x? ?x
?x? ?z ?z? ?x ?y? ?y
13
Ilustrasi KS II

• Hasildarab dalam setiap baris (B)/lajur (L)B1
  (1??z)(?z?1)(?z ? ?z ) 1 ? 1B2
  (?x?1)(1??x)(?x ? ?x ) 1 ? 1B3 (?x? ?z)(?z
  ??x)(?y ? ?y ) 1 ? 1L1 (1? ?z)(?x ?1)(?x ? ?z
  ) 1 ? 1L2 (?z ? 1)(1 ? ?x)(?z ? ?x ) 1 ?
  1L3 (?z ? ?z)(?x ? ?x)(?y ? ?y ) ?1 ? 1

14
Ilustrasi KS III

• Pemetaan nilaianB1 m1z mz1 mzz 1B2 mx1 m1x
  mxx 1B3 mxz mzx myy 1L1 m1z mx1 mxz
  1L2 mz1 m1x mzx 1L3 mzz mxx myy ? 1
• Setiap nilai m muncul dua kali
• Hasildarab kanan 1 hasildarab kanan ?
  1Percanggahan jika nilaian tak berkonteks
• Jika nilaian berkonteks OK (lihat kes berwarna)

(1) (1) (1) 1(1) (1) (1) 1(1) (1) (1)
1(?1) (?1) (1) 1(?1) (?1) (1) 1(1) (1)
(?1) ?1
15
Implikasi KS I
Jika teori pembolehubah tersembunyi dibenarkan,
maka fungsi nilaian adalah berkonteks
Teori pembolehubah tersembunyi berkonteks
Atau tiada pra-nilaian pembolehcerap!
16
Variasi I KS I

• Gerak hati struktur matematik kuantum berbeza
  menyebabkan percanggahan nilaian
• Mengapa perlu kualifikasi dimensi ruang Hilbert
  (kes qubit tunggal)?
• Benarkan output pengukuran melebihi dimensi ruang
  Hilbert guna ukuran bernilai operator positif
  (POVM)

17
Variasi I KS II

• Set operator separa tentu positif Ei (i 1N)
  dgn ?i Ei 1 tidak semesti saling ortogon
• Bagi kes qubit Ei N?1(I n.?) dgn n vektor
  unit
• Nakamura heksagon dgn 6 operator EiCabello
  dodekahedron dgn 5 set operator (bilangan 20)
• Percanggahan dalam nilaian Ei berkonteks
• Toh Hishamuddin (2009) model Nakamura teritlak
  berdasarkan punca unit

18
Variasi II KS I

• Sebelum percanggahan nilaian dalam teorem KS
  nilaian 0,1 untuk operator unjuran dianggap
  sebagai nilai kebenaran logik
• Aljabar operator unjuran membentuk kekisi Hilbert
  ? logik kuantum tapi tidak teragih A ? (B ?
  C) ? (A ? B) ? (A ? C)

19
Variasi II KS II

• Itlakkan fungsi nilaian bukan semestinya nombor
• Isham Butterfield (1998) guna teori topos
  pra-rumpunan pengkelas subojek sebagai ganti
  0,1
• Logik berasaskan aljabar Heyting S ? ? S ?
  1
• Döring Isham (2008) penggunaan bahasa formal,
  perincian teori aljabar von Neumann
• Landsman rakan (2007) guna aljabar C sebagai
  ganti
• Hishamuddin (20??) kaedah topos utk kes 2 atau
  3 qubit (impian dlm proses)

20
Implikasi KS II
Jika dibangunkan logik untuk teori kuantum, maka
logik kuantum adalah berkonteks dan bernilaian
teritlak
Logik kuantum Logik berintuisi
Atau perlu hadapi logik tak teragih
21
Penyelesaian?(atau soalan)

• Mana satu dekat dgn konsep realiti yang dikenali?
  Pemboleh ubah berkonteks atau tiada pra-nilaian
  yang tentu?
• Mana satu dekat dgn fahaman logik yang dikenali?
  Logik berkonteks berintuisi atau logik tak
  teragih
• Pandangan luaran atau pandangan dalaman?

22
Tinjauan

• Bukti teorem KS umum dalam POVM
• Kaitan antara bukti teorem KS lazim dgn kaedah
  topos
• Melengkapkan kaedah topos utk pelbagai masalah
  teori kuantum
• Kaitan kaedah topos dgn kaedah lain spt kaedah
  rajah Bob Coecke
• Geometri atau struktur tambahan lain dalam kaedah
  topos

23
Penghargaan

• Geran SAGA P55c, ASM, MOSTIGeran Fundamental
  01-01-07-170FR, MOHE
• Perbincangan dengan Andreas Döring, Karl Svozil,
  L.C. Kwek
• Pengurusan ITMA dan INSPEM