Sin ttulo de diapositiva

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OPERACIONES 2Simulación
Profesor Pablo Diez BennewitzIngeniería
Comercial - U.C.V.
2
MODELOS DE SIMULACIÓN
En la administración de operaciones se utilizan
dos tipos de modelos

• Modelos de Optimización
• Modelos de Simulación

Responde a la pregunta Cuál es la mejor
decisión ?
Modelo de Optimización
Responde a la pregunta Qué pasaría si
............ ?
Modelo de Simulación
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MODELOS DE SIMULACIÓN
Un modelo de simulación corresponde a una
estructura de análisis de un sistema que permite
ir ensayando la respuesta del sistema, ante
diferentes condiciones
Las situaciones reales o sistemas deben ser
simplificadas a través de modelos, los que deben
ser representativos de la realidad, para así
formular soluciones útiles
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MODELOS DE SIMULACIÓN
Sistema
Condiciones de trabajo
Respuesta
Parámetros del modelo
Modelo
Respuesta
Variables de decisión
La simulación surge debido a que no siempre es
posible formular modelos de optimización que sean
representativos de la realidad
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SIMULACIÓN
Es observar el comportamiento de un sistema a
través de un modelo, ante diferentes situaciones
que se ensayan. Esto implica experimentación Se
simulan los experimentos usando relaciones
matemáticas (determinísticas o probabilísticas),
para medir los resultados representativos de la
realidad Simulación no es una técnica
optimizante ni busca la mejor solución o
decisión, aunque al menos debe proporcionar
soluciones cercanas a la óptima
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MODELOS DE SIMULACIÓN
Aunque para todo administrador resulte más
conveniente trabajar con modelos de optimización,
sin embargo, no existen en la variedad de casos
necesarios. Por lo tanto, los modelos de
simulación, tienen algunas ventajas
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MODELOS DE SIMULACIÓN
Ventajas de los modelos de simulación

• El modelo de simulación es más fácil de
  construir y comprender que uno de optimización
• Los modelos de optimización, generalmente, no
  evalúan todas las soluciones subóptimas. En
  cambio, los modelos de simulación si las evalúan
• El modelo de simulación hace experimentación en
  computadores, lo que le otorga

• Mayor rapidez para procesar la información
• Capacidad de anticipar resultados posibles en
  situaciones nuevas o imprevistas

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MODELOS DE SIMULACIÓN
Desventajas de los modelos de simulación

• El modelo de simulación requiere personal
  especializado para su realización y análisis
• Es imprescindible el uso de computadores
• No necesariamente alcanza resultados óptimos

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ETAPAS PARA HACER LA SIMULACIÓN EN UN PROGRAMA
COMPUTACIONAL
1) Formulación del Problema Definir la situación
o sistema a resolver, sus variables y un esquema
de la solución buscada 2) Construcción del
Modelo Hacer representación simplificada de la
realidad, con relaciones matemáticas acordes con
dicha realidad, lo que implica muchas veces
eliminar variables poco relevantes 3)
Recolección de Datos Identificar y recopilar la
información pertinente para especificar las
condiciones de trabajo del modelo
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ETAPAS PARA HACER LA SIMULACIÓN EN UN PROGRAMA
COMPUTACIONAL
4) Implementación del Modelo Traducir el modelo
a un programa computacional y verificar que el
programa pueda ejecutarse 5) Validación del
Modelo Es la evaluación del resultado del modelo
computacional respecto de su representación de la
realidad 6) Análisis de los Resultados Se hace
la experimentación propiamente tal y se
interpretan los resultados obtenidos
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SIMULACIÓN DE MONTECARLO
Es una técnica de muestreo aleatorio simple
(M.A.S.) en la que el muestreo se hace en un
espacio finito a partir de la generación de
números aleatorios la población son todos los
números aleatorios y el muestreo consiste en
determinar valores sucesivamente a partir de los
números aleatorios
Que tiene un comportamiento según alguna
distribución de probabilidades
X Variable aleatoria
12
SIMULACIÓN DE MONTECARLO
Se obtienen valores para X ( X1, X2, X3,
........., Xn )
X1 X2 X3 Xn
Son valores generados utilizado un M.A.S. de los
números aleatorios ri
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NÚMEROS ALEATORIOS
ri
Es cualquier número entre 0 y 99, con igual
probabilidad de selección todos los números
tienen la misma probabilidad de ser escogidos en
cualquier instante, es decir que tienen una
distribución de probabilidades uniforme
f (r)
ri
U ( 0, 99 )
ri
99
0
14
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Una sucursal bancaria canjea cierta cantidad de
cheques cada día, según el siguiente
comportamiento en un mes
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EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Histograma de Frecuencia Relativa
f i
0,45
0,25
0,15
0,1
0,05
Qcheques / día
500
2000
2500
1500
1000
16
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Mediante el uso de los números aleatorios es
posible simular una muestra (de M.A.S.)
Frecuencia Relativa Acumulada
Número Aleatorio
Clase nº
0,05 0,20 0,65 0,9 1
00 - 04 05 - 19 20 - 64 65 - 89 90 - 99
(1) (2) (3) (4) (5)
17
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Pertenece a la clase nº
Nº aleatorio
Esta es una corrida de 12 números aleatorios
84 18 31 61 04 52 40 75 89 16 37 97
(4) (2) (3) (3) (1) (3) (3) (4) (4) (2) (3) (5)
Clase fi fi / n
(1) (2) (3) (4) (5)
1 2 5 3 1
0,08 0,16 0,42 0,25 0,08
n 12
18
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Histograma de Frecuencia Relativa
f i
Al obtener el histograma de frecuencia relativa,
el comportamiento se mantiene, aunque no es
igual, debido a que se trata de una muestra
0,42
0,25
0,16
0,08
Qcheques / día
500
2000
2500
1500
1000
19
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Pertenece a la clase nº
Nº aleatorio
Esta es otra corrida de 12 números aleatorios
48 70 19 36 87 50 07 24 78 91 37 59
(3) (4) (2) (3) (4) (3) (2) (3) (4) (5) (3) (3)
Clase fi fi / n
(1) (2) (3) (4) (5)
0 2 6 3 1
0,00 0,16 0,50 0,25 0,08
n 12
20
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Histograma de Frecuencia Relativa
f i
Al obtener el histograma de frecuencia relativa,
una vez más el comportamiento se mantiene, sin
ser igual, debido a que se trata de otra muestra
0,50
0,25
0,16
0,08
Qcheques / día
500
2000
2500
1500
1000
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GENERACIÓN DE VALORES PARA DISTINTAS
DISTRIBUCIONES A PARTIR DE LOS NÚMEROS ALEATORIOS
En los modelos de simulación, cada variable de
decisión tiene una distinta distribución
(determinística o probabilística). Cada
distribución tiene una corrida diferente de
números aleatorios Un mismo número aleatorio no
puede ser usado para simular dos variables a la
vez, porque las variables son independientes
entre sí Para determinar los valores simulados
se utiliza la distribución de probabilidades
acumulada
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GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN
DISCRETA
Muchas variables de decisión no son continuas,
entonces se utilizan las categorías de frecuencia
relativa acumulada para generar los valores a
partir de los números aleatorios, siendo muy útil
para variables con distribuciones
determinísticas Ejemplo Supongamos que para el
precio de una acción existe una probabilidad del
20 de que baje, 50 de que se mantenga igual, y
30 de que suba su valor en la siguiente
transacción bursátil Entonces, se asigna un
intervalo 0, 1 proporcional a cada
probabilidad
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GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN
DISCRETA
Se asume que el precio de la acción baja
Si 00 ri 19
lt
lt
Se asume que el precio de la acción se mantiene
igual
Si 20 ri 69
lt
lt
Se asume que el precio de la acción sube
lt
Si 70 ri 99
lt
24
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN
UNIFORME
En el caso de una distribución uniforme en el
intervalo a, b , se consideran 99 números
aleatorios pertenecientes al intervalo 0, 1
fi (X)
X U (a,b)
P (Xi X) ri

lt
Xi - a b - a
lt

P (Xi X)
X
Xi
a
b
25
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN
UNIFORME
Xi - a b - a
ri

con ri ( b - a ) Xi - a

Xi a ri ( b - a )
0 ri 1

lt
lt
2
a b 2
( b - a ) 2


E (X)
V (X)
26
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
-

fi (X)

x

X exp ( )

e
f (X)
x gt 0

gt 0
1

E (X)

X
Xi
1

V (X)

P (Xi X) ri
2
0 ri 1
lt
lt
lt

27
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
con 0 ri 1

P (Xi X) ri
lt
lt
lt
-

Distribución de probabilidad acumulada
x
P (Xi X) 1 - e
lt

-

x
-
ri

1
e
-

x
1 ri
-

e
/ ln

-
-
ri

Xi
ln ( 1 )
-
ri
ln ( 1 )
-

Xi
con 0 ri 1
lt
lt
28
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE
WEIBULL
fi (X)

X W ( , )

• gt 1

• 1

• lt 1

X
Su función de densidad de probabilidades es

-
( - 1)

( x )

e
f (X, , )
X
gt
X 0
29
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE
WEIBULL

Nótese que si 1, entonces la distribución
de Weibull corresponde a la distribución
exponencial La función de densidad acumulada es

- ( xi )

P (Xi X) 1 - e

lt

- ( xi )

ri
1 - e

Luego, para generar valores de Xi de una variable
aleatoria con distribución de Weibull, a partir
de un número aleatorio

- ( xi )

1 ri
-

e

-
-
ri

( Xi )
ln ( 1 )
ri
30
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE
WEIBULL
1
1
ri
-
-

con 0 ri 1
lt

( ln ( 1 ) )
lt

Xi
Obs
La distribución de Weibull se utiliza en la
descripción de las 3 etapas (rodaje, vida útil y
desgaste) de la curva de fallas

( t )
Desgaste
Rodaje

• lt 1

• gt 1

Vida Útil

Proba-bilidad de falla
( t )

• 1

t
31
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
fi (X)

2
X N ( , )
La función de probabilidad acumulada corresponde a
Xi
-

( )
-
x
2
1
x
1
e
dx
lt

2
P (Xi X)

2
8
32
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
La función de probabilidad acumulada de la
distribución normal no puede ser resuelta por
métodos de integración corrientes, lo que impide
tener una fórmula cómoda para despejar
observaciones aleatorias simuladas de Xi a partir
de los números aleatorios
ri
No obstante, las observaciones se pueden generar
mediante el siguiente razonamiento
33
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Los números aleatorios tienen una distribución
uniforme en el intervalo 0 , 1
f (ri)
a b
1
ri
Para un número aleatorio


E ( )
2
2
(b - a)
1
ri


V ( )
12
12
ri
lt
0 ri 1
lt
Para una muestra de n números aleatorios, se
puede inferir su comportamiento gracias al
teorema del límite central
34
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

N
Xi
N
Si X
n
( )
n
n
Por lo tanto

ri
,
N
2
12
i1
Válido, solo en la medida en que n es un valor
bastante grande, lo que se asume cuando n 12
gt
n

n
ri
-
Entonces

-
2
Xi


i1
Z
n
12
35
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
( )
n

-
n
ri
0 ri 1
lt
lt
2

i1

Xi

n
gt
si n 12
12
gt
Aunque la expresión es válida para cualquier n
12, típicamente se usa n 12 para el muestreo de
las observaciones de variable con distribución
normal ya que se simplifica un cálculo
36
EJEMPLO DE GENERACIÓN DE VALORES CON
DISTRIBUCIÓN NORMAL

X tiene distribución normal, con 460 y
36
Observación para X con los números aleatorios
r6 0,74
r8 0,13
r1 0,46
r4 0,61
r10 0,55
r5 0,39
r7 0,26
r11 0,07
r2 0,95
r9 0,92
r3 0,23
r12 0,48
( )
n

-
n
ri
2

i1

Xi

n
12
36 ( 5,79 - 6 )


Xi
460
467,56
Xi
1