Teor

1
Teoría Axiomática General de Agregados (V)

• Jorge Baralt-Torrijos
• Universidad Simón Bolívar
• Octubre 2003

2
Contenido

• Axioma de Reemplazo
• Funciones
• Naturales según Peano
• Naturales según Zermelo
• Agregados Bien Fundados
• Políadas

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Axioma de Reemplazo
4
Df. EsUnvc

• EsUnvc(y)(x) a ?z (z Î Intsc(y)(Dom(x)) Þ
  !u (u Î x Ù EsParOrd(u) Ù z Prm(u)))
  EsUnvc(y)(x) s x es unívoco en y

5
Ts. EsUnvc

• EsVacio(Intsc(y)(Dom(x))) Þ EsUnvc(y)(x)
• EsMinimal(x) Ú EsMinimal(y) Þ EsUnvc(y)(x)
• EsUnvc(y)(x) Ù z Í y Þ EsUnvc(z)(x)
• EsUnvc(y)(x) Ù z Í x Þ EsUnvc(y)(z)

6
Ax. de Reemplazo

• EsUnvc(a)(x) ? EsClase(Img(x)(a))
  Þ EsElemento(Img(x)(a))

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Resumen de Axiomas (I)

• 1. Extensión (Op. 2)
• 2. Existencia (Op. 2)
• 3. Diferencia
• 4. Apareamiento (Op. 2)
• 5. Producto Cartesiano
• 6. Rotación
• 7. Transposición
• 8. Dominio

8
Resumen de Axiomas (II)

• 9. Reemplazo

9
Ts. de Reemplazo

• EsElemento(0Z)
• EsIntegrante(0Z)
• EsConjunto(0Z)

10
El vacío es un conjunto
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
0Z
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
11
Si todo agregado es clase
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
0Z
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
12
El universo de NBG
Minimales
Agrupaciones
Maximales
Integrantes
0Z
Elementos
Clases
Agregados
Individuos
13
Funciones
14
Df. ResAp

• ResAp(z)(y)(x) a u (u Î z Ù
  EsParOrd(u) Ù u ParOrd(y)(x)
  ) ResAp(z)(y)(x) s x es un resultado de
  aplicar z a y

15
Ts. ResAp

• x ResAp(z)(y)(x) ? y Î Dom(z)

16
Df. EstaDef

• EstaDef(y)(x) a z ResAp(x)(y)(z) EstaDef(y)(x)
  s x está definido para y

17
Ts. EstaDef

• EstaDef(y)(x) ? y Î Dom(x)

18
Df. EstaDet

• EstaDet(y)(x) a !z ResAp(x)(y)(z)EstaDet(y)(x)
  s x está determinado para y

19
Ts. EstaDet

• EstaDet(y)(x) Þ EstaDef(y)(x)

20
Df. DomS

• DomS(x) y a EsAgregado(y) Ù "z (z
  Î y Û EstaDet(z)(x))DomS(x) s el dominio de
  singularidad de x

21
Ts. DomS

• "y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ DomS(x) 0Z
• EsMinimal(x) Þ DomS(x) 0Z
• DomS(x) y Þ EsAgregado(y) Ù y ?
  Dom(x) Ù DomS(Nucleo(x))
  y Ù EsUnvc(y)(x) Ù
  (EsUnvc(z)(x) ? Intsc(z)(Dom(x))) Í y)

22
Df. Ap

• Ap(y)(x) z a EstaDet(x)(y) Ù
  ResAp(y)(x)(z)Ap(y)(x) s la aplicación de y a
  xy(x) a Ap(y)(x)

23
Ts. Ap

• Ap(y)(x) iz ResAp(y)(x)(z)
• DomS(y) u Ù x Î u Þ !z Ap(y)(x) z

24
Df. EsFuncion

• EsFuncion(x) a EsRelacion(x) Ù EsUnvc(Dom(x))(x)
  EsFuncion(x) s x es una función

25
Ts. EsFuncion

• EsFuncion(x) Þ DomS(x) Dom(x)
• DomS(x) Dom(x) Þ EsFuncion(Nucleo(x))

26
Df. EsOperacion

• EsOperacion(x) a EsFuncion(x) Ù
  EsRelacion(Dom(x)) EsOperacion(x) s x es una
  operación

27
Naturales según Peano
28
Df. EsFunSuc

• EsFunSuc(x) a EsFuncion(x) Ù Rng(x) Í Dom(x)
  Ù EsFuncion(Inv(x)) Ù y (y Î
  Dif(Rng(x))(Dom(x)) Ù "z (z Í Dom(x) Ù y
  Î z Ù "u (u Î x Þ (Prm(u) Î z Þ Sgd(u) Î z))
  Þ Dom(x) Í z ) )EsFunSuc(x) s x
  es una función de sucesión

29
Ts. EsFunSuc

• EsFunSuc(x) Ù y Î Dif(Rng(x))(Dom(x)) Þ "z (z
  Î Dif(Rng(x))(Dom(x)) Þ z y)
• EsFunSuc(x) Þ !y (y Î Dif(Rng(x))(Dom(x))

30
Df. Naturales de Peano

• 0P(x) y a EsFunSuc(x) Ù y Î
  Dif(Rng(x))(Dom(x)) 0P(x) s el cero de Peano de
  x
• 1P(x) y a EsFunSuc(x) Ù y x(0P(x)) 1P(x) s
  el uno de Peano de x
• nP(x) y a EsFunSuc(x) Ù y x(nP(x))nP(x)
  s el n de Peano de x

31
Diagrama de función de sucesión
x
x
x
x
x
0P(x) 1P(x) 2P(x) 3P(x)
4P(x)
32
Naturales según Zermelo
33
Df. SucZ

• SucZ(x) y a EsAgregado(y) Ù "z (z Î
  y Û z x)SucZ(x) s el sucesor de x según
  Zermelo

34
Ts. SucZ

• SucZ(x) Atm(x)
• EsIntegrante(x) Þ y SucZ(x) y
• x SucZ(a) x
• SucZ(x) y Þ EsIntegrante(y)
• EsIndivQ(x) Þ SucZ(x) x

35
Df. EsNatZ

• EsNatZ(x) a x 0Z Ú y (EsNatZ(y) Ù x
  SucZ(y)) EsNatZ(x) s x es natural según Zermelo

36
Ts. EsNatZ

• SucZ(x) y Þ y ? 0Z
• SucZ(x) SucZ(y) Þ x y
• EsFuncion(x) Ù "z (z Î x ? EsNatZ(Prm(z)) Ù
  Sgd(z)
  SucZ(Prm(z)) ) Þ EsFunSuc(x)

37
Df. de naturales Zermelo

• 1Z a SucZ(0Z)2Z a SucZ(1Z) 3Z a
  SucZ(2Z)...nZ a SucZ(nZ)

EsMbr
38
Df. NatZ

• NatZ x a EsAgregado(x) Ù "y (y Î x ?
  EsNatZ(y)) NatZ s los naturales según Zermelo

39
Agregados Bien Fundados
40
Df. AgrBnFnd

• EsAgrBnFnd(x) a EsVacio(x) Ú y (y Î x Ù
  "z (z Î y Þ z Ïx))
• EsAgrBnFnd(x) s x es un agregado bien fundado

41
Ts. AgrBnFund

• EsAgrBnFnd(x) Þ EsAgregado(x)
• EsVacio(x) Þ EsAgrBnFnd(x)
• EsAgrBnFnd(x) Þ EsAgrupacion(x) Ú
  EsIndividuo(x)
• x (EsMinimal(x) Ù x Î y) Þ EsAgrBnFnd(y)
• EsAgrBnFnd(x) Þ "y (y Î x Þ EsAgrupacion(y))

42
Df. AgrNoBnFnd

• EsAgrNoBnFnd(x) a EsAgregado(x) Ù
  EsAgrBnFnd(x)
• EsAgrNoBnFnd(x) s x es un agregado no bien
  fundado

43
Ts. AgrNoBnFnd

• EsAgrNoBnFnd(x) Þ EsAgrupacion(x) Ù "y
  (y Î x Þ z (z Î y Ù z Î x))
• x Î x Þ EsAgrNoBnFnd(Atm(x))
• x Î y Ù y Î x Þ EsAgrNoBnFnd(Par(y)(x))
• Atm(x) x Þ x Î x
• x1 Î x2 Ù x2 Î x3 ÙÙ xn-1 Î xn Ù xn Î x1 Ù "y
  (y Î z ? y x1 Ú y x2 Ú Ú y xn-1 Ú y xn)
  Þ EsAgrNoBnFnd(z)
• EsIndivQ(x) Þ EsAgrNoBnFnd(x)

44
Ts. AgrBnFnd (2)

• EsNatZ(x) Þ SucZ(x) ? x
• EsNatZ(x) Þ x Ï x
• EsNatZ(x) Þ EsAgrBnFnd(x
• NatZ x Þ EsAgrBnFnd(x)

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Políadas
46
Notación de naturales

• 0 a 0P(x) ? 0Z ?
• 1 a 0P(x) ? 0Z ?
• 2 a 0P(x) ? 0Z ?
• n a nP(x) ? nZ ?
• Suc(n) a nP(x) ? nZ ?

47
Df. EsPoliAdi

• EsPoliAdi(n)(x) a ( EsParOrd(x) ? n 1)
  ? (EsParOrd(x) ? (k)(EsPoliAdi(k)(Prm(x)) ?
  n Suc(k)) )EsPoliAdi(n)(x) s x es una
  políada de adicidad n

48
Df. Pol

• Pol(x1) a x1
• Pol(y)(xn)(x2)(x1) z a x Pol(xn)(x2)(x1)
  ? z ParOrd(y)(x) ltx1,x2,,xngt
  a Pol(xn)(x2)(x1)

49
Ts. EsPoliAdi

• EsParOrd(x) ? EsPolAdi(1)(x) ?
  EsPolAdi(2)(ltx,ygt) ? EsPolAdi(3)(ltltx,ygt,zgt)
  ?

50
Políadas de adicidad n

• ltx1gt a x1ltx1,x2gt ltltx1gt,x2gt ltx1,x2,x3gt a
  ltltx1,x2gt,x3gt ... ltx1,x2,,xngt a ltltx1,x2gt,,xngt