Escalogramas multidimensionales

1
Escalogramas multidimensionales
2
Introducción

• Dada una matriz de distancias, D, (contiene ceros
  en la diagonal es simétrica y cuadrada) obtener
  las variables que han generado estas distancias
• La matriz puede ser de similaridades (con unos en
  la diagonal y cuadrada y simétrica)
• distancia 1- similaridad

3
(No Transcript)
4
(No Transcript)
5
Coordenadas principales

• Dada la matriz D de distancias, Podemos
  encontrar las variables que podrían haberla
  generado?
• Es decir, Podemos encontrar una matriz de datos
  X que puede haber generado la D?

6

• Método entender como se genera una matriz D
  conocida la X y reconstruir el camino al reves
  para encontrar la matrix X a partir de la D

7
Obtención de las coordenadas principales
Definamos
(Esta matriz es una estandarización de la matriz
de distancias)
(determinamos el rango de la matriz de distancias
estandarizada)
8
Coordenadas principales
(Aproximamos la matriz Q como producto XX para
cierta X)
9
Ejemplo
10
(Estas distancias estandarizadas suman ahora cero
por filas y columnas, para facilitar la lectura,
la matriz se ha dividido por 10000)
11
Ejemplo
Los vectores y valores propios de Q son
12
Las coordenadas resultantes de tomar dos
dimensiones son
13
Ejemplo
14
(No Transcript)
15
Justificación del método
Con esta matriz de variables de media cero
podemos calcular
dos matrices cuadradas
La S de covarianzas entre variables y la Q
matriz de productos escalares entre observaciones
16
Relación entre la matriz de distancias, D, y la
Q
Conclusión Dada la matriz Q podemos obtener la D
17
Forma de recuperar la Q dada la D
Observemos que como las variables tienen media
cero, la suma de una fila de Q es cero.
t traza(Q)
18
Ecuación para recuperar la Q dada la D
19
Obtener la matriz X dada la Q

• Realizar la descomposición espectral de la matriz
  cuadrada Q
• QABAAB1/2B1/2A
• donde A y B contienen los valores y vectores
  propios no nulos. Entonces
• XAB1/2

20

• Diremos que la matriz D es compatible con una
  metrica euclidea si la matriz Q obtenida como
• Q-(1/2)PDP
• es semidefinida positiva

21
Ejemplo similitud entre productos
22
Ejemplo
23
Relación con componentes

• Componentes valores y vectores propios de S
• Coordenadas valores y vectores propios de Q

Si los datos son métricos ambos procedimientos
son idénticos Coordenadas generaliza componentes
para datos no exactamente métricos
24
BiplotsRepresentación en dos dimensiones de una
matriz de datos o distancias por filas y columnas
Representar conjuntamente los observaciones por
las filas de V2 y Las variables mediante las
coordenadas D1/2 A2
Se denominan biplots a los gráficos de dos
dimensiones para una matriz de datos, que
aproximan su estructura por filas y columnas
25
Biplot
26
Justificación
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
Escalado no métrico

• Se parte de una matriz de similaridades entre
  objetos
• Se supone que las variables que determinan las
  distancias euclídeas entre los elementos estan
  relacionadas con las similaridades observadas
  entre los objetos pero solo de una forma monótona
  
• similaridad F (distancia)

30
Escalado no métrico
31
Idea del método

• Si tenemos una relación monótona entre x e y debe
  haber una relación lineal exacta entre los rangos
  de x y los de y
• Asignar rangos estimar una regresión e iterar