Captulo 3' Radiacin producida por cargas en movimiento

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Capítulo 3. Radiación producida por cargas en
movimiento
En el electromagnetismo uno puede trabajar con
las leyes de Maxwell y los campos eléctrico E y
magnético B, o bien con los llamados potenciales
escalar y vectorial, de los cuales es posible
derivar E y B. En este capítulo se usa el enfoque
de los potenciales escalar y vectorial y luego se
deriva de ellos E y B.
También se usa la propiedad de la Delta de Dirac
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Capítulo 3. Radiación producida por cargas en
movimiento
1. Potenciales retardados.
Considere partícula con carga q, moviéndose a lo
largo de la trayectoria

• Velocidad

• Densidades de carga y corriente

• Carga total y corriente total

Usando la expresión para el potencial retardado ?,
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y las propiedades de la función ?, ?
Reemplazando la expresión (1) e integrando en
r, ?
Haciendo el cambio de variables
podemos escribir
donde
En forma similar se encuentra que
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Note que el argumento de la función ? se anula
para t'tret dado por c(t-tret)R(tret).
Haciendo el cambio de variables
tenemos
Por otro lado de la relación
?
donde

Definiendo
podemos escribir
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?
La integral se puede evaluar haciendo t''0, o
equivalentemente t'tret , ?
donde
En forma análoga se demuestra que
Estos son los potenciales de Lienard-Wiechert.
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(No Transcript)
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Difieren de los potenciales electromagnéticos
estáticos en dos formas
? El factor ? tiende a concentrar los potenciales
en un angosto haz alrededor de la velocidad
de la partícula, especialmente cuando la
velocidad tiende a la de la luz.
? Los potenciales están evaluados en el tiempo
retardado.
2. Campos electromagnéticos debidos a cargas en
movimiento
Para encontrar los campos en (r,t) debemos
determinar la posición y el tiempo retardados de
la partícula
En ese instante la partícula tiene una velocidad
Diferenciando los potenciales se encuentra que
y
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? El primer término del campo eléctrico se
denomina campo de velocidad. Decae como 1/R2 y
es la generalización de la ley de Coulomb para
partículas en movimiento.
? El segundo término es proporcional a la
aceleración de la partícula y perpendicular
a n, se denomina campo de aceleración.
Decae como 1/R , y es el que hace posible que una
partícula emita radiación.
Campo de radiación
Note que los vectores E, B, y n forman una triada
de vectores mutuamente perpendiculares y que
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(No Transcript)
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3. Radiación de un sistema de partículas no
relativistas.
Para partículas no relativistas
La razón entre las magnitudes de los campos de
radiación y de velocidad es
Si la partícula tiene una frecuencia de
oscilación característica ? (o bien nos enfocamos
en la componente de Fourier a la frecuencia ?),
entonces
? Dentro de la zona cercana, R?, el campo de
velocidad es mas intenso que el campo de
radiación (factor ? c/u).
? En la zona lejana, R gtgt ?(c/u), el campo de
radiación domina, con su dominio relativo
creciendo linealmente con R.
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Fórmula de Larmor
Cuando ? ltlt1, los campos de radiación se pueden
simplificar a
La magnitud de los campos es
donde ? es el ángulo entre el vector aceleración
y la dirección n.
El vector de Poynting está en la dirección n y
tiene por magnitud
La energía dW emitida por unidad de tiempo, en el
ángulo sólido d?, en la dirección n es igual a S
multiplicado por dAR2 d?, ?
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Integrando sobre el ángulo sólido, tenemos que la
potencia total emitida es
Fórmula de Larmor para la emisión producida por
una partícula acelerada.
Características
? Potencia emitida es ? al cuadrado de las cargas
y de la aceleración.
? Radiación es dipolar (? sin2?). No hay
radiación a lo largo de la dirección de la
aceleración y el máximo es emitido en la
dirección ?
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Clase 9. Espectro de la radiación
El espectro de la radiación depende de la
variación temporal del campo eléctrico.
? Se puede hablar del espectro de la radiación
solo si conocemos las características del
campo eléctrico sobre un intervalo de tiempo ?t.
Consideremos que la radiación tiene la forma de
un pulso finito. Podemos entonces expresar E(t)
en términos de una integral de Fourier
El inverso de esta relación es
E(?) contiene toda la información acerca del
comportamiento en frecuencias de E(t). E(?) es
una función compleja.
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Ya que E(t) es una función real se tiene que
Lo que queremos determinar es la distribución en
frecuencia de la energía.
La energía por unidad de tiempo y area es
La energía total por unidad de área emitida por
el pulso es, entonces
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Usando el teorema de Parseval para las
transformadas de Fourier
y que E(?)2 E(-?)2 , ?
? Podemos identificar la energía por unidad de
área y unidad de frecuencia como
Note que esta expresión es válida solo para el
pulso completo.
Solo si el pulso se repite en una escala de
tiempo T, podemos formalmente escribir
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Espectro de la radiación en el caso de la
aproximación dipolar.
En la aproximación dipolar tenemos que,
Por simplicidad supongamos que el vector d yace
en una sola dirección, de manera que
De la transformada de Fourier de d(t),
tenemos que,
y por lo tanto
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Usando la expresión anterior y la relación dARo2
d?, tenemos que la energía por unidad de ángulo
sólido y frecuencia es,
y por lo tanto,
? El espectro de la radiación dipolar está
directamente relacionado con la frecuencia
de oscilación del momento dipolar.
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(No Transcript)
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Dispersión de Thomson.
Este proceso físico se produce debido a que las
cargas libres radían en respuesta a una onda
electromagnética.
Despreciando las fuerzas magnéticas, la fuerza
ejercida en un electrón por una onda
monocromática linealmente polarizada es
donde ? denota la dirección del campo eléctrico.
Por lo tanto,
En términos del momento dipolar, der, tenemos,
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?
expresión que describe un dipolo oscilante con
amplitud
? La potencia por unidad de ángulo sólido,
promediada en el tiempo, es
?
Definiendo d? como la sección eficaz diferencial
de dispersiones en el ángulo d?, tenemos
donde ltSgt es el flujo incidente.
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?
donde
ro provee una medida del tamaño de una carga
puntual. Para un electrón ro 2.8x10-13 cm.
La sección eficaz total es,
?
Las secciones eficaces diferenciales y totales
son independientes de la frecuencia.
? la dispersión de Thompson es igualmente
efectiva en todas las frecuencias.
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• La dispersión de Thomson es válida mientras el
  fotón tenga una energía menor que la energía en
  reposo del electrón, 511 keV.
• Para altas energías del fotón hay que pasarse a
  la dispersión de Compton.
• La radiación dispersada está linealmente
  polarizada en el plano de la radiación incidente
  e y la dirección de la dispersión n.

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• Se puede encontrar la sección diferencial de
  dispersión para un haz de radiación sin polarizar
  y demostrar que la radiación dispersada queda
  polarizada en algunas direcciones.
• Para esto se considera que el haz sin polarizar
  puede representarse como la superposición de dos
  haces linealmente polarizados que están
  perpendiculares.

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(No Transcript)
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La componente polarizada debida a e1 es sen2 Q
cos2 q La componente polarizada debida a e2
es 1 Las dos componentes
anteriores son perpendiculares entre sí de modo
que Imax 1 y Imin cos2 q
Usando la definición de polarización
P (Imax Imin)/(Imax Imin) (1 - cos2 q)/(1
cos2 q)
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La dispersión de Thomson de radiación sin
polarizar tiene las siguientes características

• Simetría para adelante y para atrás (-q)
• La sección recta total es la misma que para la
  radiación polarizada
• El grado de polarización de la radiación
  dispersada depende del ángulo q con polarización
  de 0 en la dirección del haz incidente y de 100
  en la dirección perpendicular.

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Radiación producida por partículas ligadas.
1. Fuerza de reacción a la radiación.
La energía radiada por una carga acelerada debe
provenir de la energía de la partícula o del
agente que mantiene la energía de la partícula.
? existe una fuerza que actúa en la partícula en
virtud de la radiación que ésta produce.
Fuerza de reacción a la radiación
2. Radiación de partículas ligadas armónicamente.
Una partícula ligada mediante una fuerza
armónica, F-kx, oscilará sinusoidalmente con
una frecuencia natural ?o?k/m.
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Debido a la fuerza de reacción las oscilaciones
no son totalmente armónicas, produciéndose un
pequeño amortiguamiento.
Supongamos que ?? ltlt1, de manera que la ecn.(1)
es válida.
La ecuación de movimiento es
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Debido a que el término que
involucra a x es pequeño, en un primer orden
tenemos que el movimiento es armónico
Usando esta expresión, el término de
amortiguamiento se puede aproximar por
de manera que la ecn.(2) se puede escribir como
Este tipo de ecuaciones tiene soluciones del tipo
x(t) ? e?t , donde ? se determina de la
condición
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?
y ya que ?? ltlt1,
?

. Tomando como
condiciones iniciales x(0)x0 y x(0)0,
donde
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Para determinar el espectro de la radiación
debemos calcular la transformada de Fourier de
x(t)
eencontrándose que
La energía radiada por unidad de frecuencia es
entonces
Espectro típico de un oscilador que decae. Tiene
un máximo agudo en ??o, ya que ?/ ?o ltlt1.
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Usando la definición de ? y k?m?o2 (constante del
resorte), tenemos que
donde 1/2 kxo2 es la energía potencial de la
partícula.
Integrando sobre todas las frecuencias se
obtiene que W1/2 kxo2 .
El perfil del espectro emitido
se conoce como perfil de Lorentz.
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Oscilaciones forzadas debido a la presencia de un
haz de radiación.
La ecuación de movimiento de un electrón ligado
en presencia de un campo electromagnético
sinusoidal EEoei?t es
La solución de esta ecuación es
donde
y
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La potencia total radiada, promediada en el
tiempo, es
El flujo de energía incidente es
?La sección eficaz de dispersión en función de la
frecuencia es
donde
Casos particulares
1) Para ? gtgt ?o ?(?) ? ?T el valor para
los electrones libres.
Interpretación a altas energías incidentes el
amarre es despreciable.
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2) Para ? ltlt ?o ?(?) ? ?T (?/?o)4 El
campo eléctrico aparece como casi-estático.
Dispersión de Rayleigh.
3) ? ? ?o . Este caso está dominado por la
cercanía del factor ?2-?o2 a cero.
Escribiendo
y reemplazando ? por ?o , excepto en (?-?o),
tenemos
donde G?o2 t.
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Usando las definiciones de sT y t, tenemos que
En la vecindad de la resonancia la forma de la
sección eficaz de dispersión es la misma que
para la emisión de las oscilaciones libres del
oscilador.
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(No Transcript)