Movimiento relativo de la Tierra

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Movimiento relativo de la Tierra

• Sistema de referencia no inercial

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Ecuaciones de Movimiento

• Las ecuaciones de Newton para un sistema de
  partículas deben ser formuladas respecto a un
  sistema inercial de referencia. De ser necesario
  utilizar un sistema no inercial, ya sea porque
  esté acelerado o tenga rotaciones respecto al
  inercial.
• Podemos establecer las relaciones entre el
  movimiento absoluto, respecto al sistema
  inercial, y el movimiento relativo respecto al
  sistema no inercial en uso, como se explica a
  continuación.

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• Respecto a la figura (1) se indica el vector
  posición absoluto y se indica el vector posición
  relativo de una de las partículas del sistema,
  tenemos que
• Para relacionar velocidades y aceleraciones,
  debemos considerar que la velocidad relativa y

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• aceleración relativas son las derivadas del
  vector posición relativo con vectores unitarios
  considerados constantes, entonces si

la velocidad y aceleración relativas son
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(No Transcript)
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Fig. (1) SISTEMA DE REFERENCIA NO INERCIAL
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• La existencia del denominado vector velocidad
  angular del sistema móvil, será justificada en
  el capítulo sobre rotaciones de cualquier texto
  de Mecánica, por ahora bastará aceptar que las
  derivadas de los vectores unitarios móviles están
  dadas por el respectivo vector unitario, de modo
  que se puede obtener

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• y

Esta expresión es conocida como teorema de
Coriolis

• Aquí ? representa la aceleración angular o
  sea la derivada respecto al tiempo de la
  velocidad angular.
• En esta expresión los términos

En esta expresión los términos

es conocido como la
aceleración de Coriolis
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• y

es conocido como la aceleración de arrastre de la
partícula .
Considerando lo anterior, la Segunda Ley de
Newton en el sistema no inercial de referencia
tiene la expresión Ec.(1)
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• que puede interpretarse diciendo que la
  partícula obedece la segunda Ley en un sistema no
  inercial, pero a la fuerza real hay que
  agregarle fuerzas ficticias dadas por

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• MOVIMIENTO RELATIVO A LA TIERRA

Un ejemplo bastante cotidiano de sistema no
inercial de referencia lo constituye la Tierra.
Su no inercialidad se debe principalmente a la
rotación terrestre respecto a su eje, que es muy
aproximadamente constante y equivalente a una
vuelta completa en 24 horas. Su valor en
consecuencia es bastante pequeño
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• Ello justifica la denominada aproximación,
  
• donde se desprecian los términos en .
• Si consideramos como modelo de la Tierra,como
  perfectamente esférica de masa M y radio R,
• Podemos elegir como sistema no inercial, un
  sistema fijo en la tierra con origen en la
  superficie terrestre en una latitud que
  denominaremos ?.
• El eje z se elige vertical -no necesariamente
  radial.
• El eje x perpendicular a z dirigido hacia el Sur.
• el eje y perpendicular a los anteriores, o sea
  hacia el Este, como se indica en la figura (2).

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Fig. (2). Sistema de referencia fijo a la Tierra
La desviación entre la vertical del lugar y la
dirección radial e está exagerada en la figura.
Su estimación la veremos luego.
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. Vertical y aceleración de gravedad del lugar

• Un primer efecto de la no inercialidad del
  sistema de referencia terrestre es que
• la vertical del lugar se desvía de la dirección
  radial terrestre y que,
• la aceleración de gravedad depende de la
  latitud.
• En efecto, la definición de peso y de vertical se
  hacen de acuerdo a una plomada de masa m en
  situación estacionaria en la Tierra.

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Así la vertical es la dirección de la plomada y
el peso es de magnitud definida como la tensión
en el hilo de la plomada.

• Para esa situación estacionaria, la aceleración y
  velocidad relativas son cero, por lo tanto una
  aplicación de la Ec.(1) a esta situación,
  implica

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• donde se ha considerado que además de la fuerza
  gravitacional actúa la tensión del hilo, la
  velocidad angular es constante y
• De acuerdo a lo explicado
• la dirección de es el eje z y su
  magnitud se define como mg, el peso del cuerpo.
• y g la aceleración local de gravedad.
• Entonces tenemos que

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• Además la aceleración del origen A está dada por

Tomando el módulo de la Ec.2, tenemos
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• Que se reduce en el Polo a
• y en el Ecuador a

La razón entre la aceleración centrípeta en el
ecuadorestá dada por

y la aceleración de gravedad en el Polo,
usualmente designada por
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• De modo que
• Para el caso de nuestro planeta (Serway I), los
• valores numéricos, para el radio promedio
  terrestre ,
• masa de la Tierra ,
• permiten estimar gp y ge

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(No Transcript)
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Sin embardo la Tierra no es esférica y de
acuerdo a la Unión Internacional de Geodesia y
Geofísica de 1967, el valor de g al nivel del
mar varía con la latitud, de acuerdo a la
expresión
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Fig.(3) Gravedad local. Tierra esférica (a) y
real (b)
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• Ambas expresiones () y ()están graficadas en
  función de ?
• Para propósitos prácticos las antiguas fórmulas
  todavía se usan, la llamada fórmula de Cassinis
  se cita como referencia

Los errores obtenidos con esta fórmula alcanzan
los 1µm/s2 ó 0.1(mal).
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La Asociación Internacional de Geodesia propuso
en 1980 la fórmula para el cálculo de la gravedad
teórica g basada en un elipsoide de revolución
Esta fórmula reproduce valores de medidas
absolutas de gravedad a nivel del mar dentro de
un margen de error de 0.01µm/s2 ó 0.001(mgal).
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Desviación de la vertical.

• Una estimación del ángulo e, entre la vertical
  y la dirección radial, puede obtenerse de las
  Ec(2) y de la Ec(3)

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(No Transcript)
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• En el Ecuador desviación cero.
• En los Polos desviación cero.
• En latitud 45º desviación máxima, del orden 0,1º

De acuerdo a los valores señalados, la última
expresión
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Corrección por Latitud.

• La corrección por latitud se hace en la fórmula
  del g Teórico, reemplazando y transformando
  rad a Km.

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• Estos Km. Son en la dirección N-S
• corresponde a una latitud conocida (base para
  el trabajo que se hace, Estación considerada).
• En la fórmula de la anomalía de Bouguer

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• En el hemisferio Sur
• para mayor latitud se usa el signo (), es decir
  cuando el lugar considerado está más al sur de
  la estación de referencia.
• Para menor latitud se usa el signo menos , es
  decir cuando el lugar considerado está más al
  norte de la estación de referencia.

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• En el hemisferio Norte
• para mayor latitud se usa el signo (), es decir,
  cuando el lugar considerado está más al norte
  de la estación de referencia.
• Para menor latitud se usa el signo menos, es
  decir, cuando el lugar considerado está más al
  sur de la estación de referencia.
• Si el lugar de observación está mas cercano a los
  polos que la estación de referencia se suma al
  gTeo.. Esto es válido tanto en el hemisferio
  norte como en el Sur.

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Lugar considerado se ubica más hacia los polos
que la Estación.
Lugar considerado se ubica más hacia el Ecuador
que la Estación.